高中数学 学案 分层抽样

2.1.3 分层抽样
学 习 目 标
核 心 素 养
1.记住分层抽样的特点和步骤(重点)
2．会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点、难点) 3．给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．(易错易混点)
1.通过分层抽样的学习,培养数学运算素养．
2．借助多种抽样方法的选择,提升逻辑推理素养.
1．分层抽样
一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法是一种分层抽样．
当总体是由差异明显的几部分组成时,往往选用分层抽样的方法． 2．分层抽样的实施步骤
第一步,按某种特征将总体分成若干部分(层)． 第二步,计算抽样比．抽样比＝样本容量
总体容量
.
第三步,各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比． 第四步,依各层抽取的个体数,按简单随机抽样从各层抽取样本． 第五步,综合每层抽样,组成样本． 思考：什么情况下适用分层抽样？
[提示] 当总体中个体之间差异较大时可使用分层抽样．
1．为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,且男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A ．简单随机抽样
B ．按性别分层抽样
C ．按学段分层抽样
D ．系统抽样
C [依据题意,了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,且男女生视力情况差异不大,故要了解该地区学生的视力情况,应按学段分层抽样．]
2．为了保证分层抽样时每个个体被等可能地抽取,必须要求( ) A ．每层等可能抽取 B ．每层抽取的个体数相等
C ．按每层所含个体在总体中所占的比例抽样
D ．只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制 C [分层抽样为等比例抽样．]
3．某校高三一班有学生54人,二班有学生42人,现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是( )
A ．8,8
B ．10,6
C ．9,7
D ．12,4
C [抽样比1654＋42＝16,则一班被抽取人数为54×16＝9人,二班被抽取人数为42×1
6＝7人．]
4．在抽样过程中,每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样,那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中,为不放回抽样的有________个．
三 [三种抽样方法均为不放回抽样．]
分层抽样的概念
【例1】 下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是( ) A ．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B ．某社区有500个家庭,其中高收入的家庭125个,中等收入的家庭280个,低收入的家庭95个,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本
C ．从1 000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间
D ．从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
B [A 中总体个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽样；
C 中,
D 中总体个体无明显差异且个数较多,适合用系统抽样；B 中总体个体差异明显,适合用分层抽样．]
分层抽样的特点
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况． (2)样本能更充分地反映总体的情况．
(3)等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都相等．
1．某校有在校高中生共1 600人,其中高一学生520人,高二学生500人,高三学生580人．如果想通
过抽查其中的80人来调查学生的消费情况,考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别,而同一年级内消费情况差异较小,问：应采用怎样的抽样方法？高三学生中应抽查多少人？
[解] 因为不同年级的学生消费情况有明显差别,所以应采用分层抽样． 因为520∶500∶580＝26∶25∶29. 所以将80分成26∶25∶29的三部分． 设三部分各抽取的个体数分别为26x,25x,29x, 由26x ＋25x ＋29x ＝80得x ＝1, 所以高三学生中应抽查29人．
分层抽样的设计及应用
1．怎样确定分层抽样中各层入样的个体数？ [提示] 在实际操作时,应先计算出抽样比＝
样本容量
总体容量
,获得各层入样数的百分比,再按抽样比确定每
层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝样本容量
总体容量
×该层个体数目．
2．计算各层所抽个体的个数时,如果算出的个数值不是整数怎么办？ [提示] 可四舍五入取整,也可先将该层等可能地剔除多余个体． 3．分层抽样公平吗？
[提示] 分层抽样中,每个个体被抽到的可能性是相同的,与层数、分层无关．
如果总体的个数为N,样本容量为n,N i 为第i 层的个体数,则第i 层抽取的个体数n i ＝n·N i
N ,每个个体
被抽到的可能性是n i N i ＝1N i ·n ·N i N ＝n
N
.
【例2】 某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施操作．
思路点拨：观察特征→确定抽样方法→求出比例→确定各层样本数→从各层中抽样→样本 [解] ∵机构改革关系到每个人的不同利益,故采用分层抽样方法较妥． ∵100
20
＝5, ∴105＝2,705＝14,20
5
＝4. ∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人．
因副处级以上干部与工人数都较少,他们分别按1～10编号和1～20编号,然后采用抽签法分别抽取2
人和4人；对一般干部70人进行00,01,…,69编号,然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．
1．(变条件)某大型工厂有管理人员1 200人,销售人员2 000人,车间工人6 000人,若要了解改革意见,从全厂人员中抽取一个容量为46的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施操作．
[解] 改革关系到每个人的利益,采用分层抽样较好．抽样比：461 200＋2 000＋6 000＝1
200.
∵1 200×1200＝6(人),2 000×1200＝10(人),6 000×1
200
＝30(人)．
∴从管理人员中抽取6人,从销售人员中抽取10人,从车间工人中抽取30人． 因为各层中个体数目均较多,可以采用系统抽样的方法获得样本． 2．(变结论)在本例中的抽样方法公平合理吗？请说明理由．
[解] 从100人中抽取20人,总体中每一个个体的入样可能性都是20100＝1
5,即抽样比,按此比例在各层
中抽取个体；副处级以上干部抽取10×15＝2人,一般干部抽70×15＝14人,工人抽20×1
5＝4人,以保证每
一层中每个个体的入样可能性相同,均为1
5
,故这种抽样是公平合理的．
分层抽样的步骤
抽样方法的选择
14人在120分以上,35人在90～119分,7人不及格,现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节
聚会,要产生两位“幸运者”．就这三件事,合适的抽样方法分别为( )
A ．分层抽样,分层抽样,简单随机抽样
B ．系统抽样,系统抽样,简单随机抽样
C ．分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样
D ．系统抽样,分层抽样,简单随机抽样
思路点拨：根据各抽样方法的特征、适用范围判断．
D [①每班各抽两人需用系统抽样．②由于学生分成了差异比较大的几层,应用分层抽样．③由于总体与样本容量较小,应用简单随机抽样．故选D.]
抽样方法的选取
(1)若总体由差异明显的几个层次组成,则选用分层抽样；
(2)若总体没有差异明显的层次,则考虑采用简单随机抽样或系统抽样．
当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大,样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大,样本容量也较大时宜用系统抽样；
2．为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查．事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A ．简单随机抽样
B ．按性别分层抽样
C ．按年龄分层抽样
D ．系统抽样
C [因为不同年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异．而男女对此活动差异不大,所以按年龄段分层抽样最合理．]
1．对于分层抽样中的比值问题,常利用以下关系式[解] (1)样本容量n 总体容量N ＝各层抽取的样本数该层的容量
； (2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比． 2．选择抽样方法的规律
(1)当总体容量较小,样本容量也较小时,制签简单,号签容易搅匀,可采用抽签法． (2)当总体容量较大,样本容量较小时,可采用随机数法． (3)当总体容量较大,样本容量也较大时,可采用系统抽样法． (4)当总体是由差异明显的几部分组成时,可采用分层抽样法．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当总体由差异明显的几部分组成时,往往采用分层抽样．( )
(2)由于分层抽样是在各层中按比例抽取,故每个个体被抽到的可能性不一样．( )
(3)分层抽样中不含系统抽样和简单随机抽样．( )
[答案](1)√(2)×(3)×
2．甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生( )
A．30人、30人、30人B．30人、45人、15人
C．20人、30人、40人D．30人、50人、10人
B[根据各校人数比例有3 600∶5 400∶1 800＝2∶3∶1,由于样本容量为90,不难求出甲校应抽取30人、乙校应抽取45人、丙校应抽取15人．]
3．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家,其中农民家庭1 800户,工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本,调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到的抽样方法有( )
①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样
A．②③B．①③
C．③D．①②③
D[由三种抽样方法的特点知,应先采用分层抽样对农民家庭需用系统抽样得到样本,对工人家庭需用简单随机抽样．]
4．一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
[解]因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样的方法．
具体过程如下：
(1)将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层．
(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．
(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
(4)将300人合到一起,即得到一个样本．
W。