2021年中考数学 全等三角形专项 培优训练(含答案)

2021中考数学全等三角形专项培优训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为()
A.16 cm
B.17 cm
C.20 cm
D.16 cm或20 cm
2. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是()
A．五边形B．六边形
C．七边形D．八边形
3. 如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得其中两个角的度数分别为28°，62°，于是他很快判断出这个三角形是()
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
4. 如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条()
A．1根B．2根C．3根D．4根
5. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()
A．AB＝DE B．AC＝DF
C．∠A＝∠D D．BF＝EC
6. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()
A．24 B．30
C．36 D．42
7. 若三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形的最大内角是()
A．75°B．90°C．105°D．120°
8. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是()
A.∠1=∠EFD
B.BE=EC
C.BF=CD
D.FD∥BC
9. 如图，已知长方形ABCD，一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形.若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是()
A.360°
B.540°
C.720°
D.630°
10. 如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝________°.
12. 已知:∠AOB，求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N;②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是.
13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC 即为∠AOB的平分线，理由是______________________．
14. 如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________．
15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．
16. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD=158°，则∠EDF=°.
17. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．
18. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．
三、解答题（本大题共8道小题）
19. 如图，D是BC上一点，△ABC≌△ADE，AB=AD.
求证:∠CDE=∠BAD.
20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证:△BDE≌△CDF;
(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.
21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
求证：∠CBE＝∠BAD.
22. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.
(1)求证：AD＝BE；
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；
(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．
23. 在△ABC中，∠B＝55°，且3∠A＝∠B＋∠C，求∠A和∠C的度数.
24. 如图，BE ，CF 都是△
ABC 的高，在BE 上截取BD ＝AC ，在射线CF 上截取
CG ＝AB ，连接AG ，AD . 求证：(1)△BAD ≌△CGA ； (2)AD ⊥AG .
25. 如图，AB
为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，
ED ︵＝BD ︵
，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；
(2)判断△BCF 的形状并说明理由；
(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵
的长度(结果保留π).
26. 如图①所示，在△
ABC 中，∠1＝∠2，∠C >∠B ，E 为AD 上一点，且EF ⊥BC
于点F .
(1)试探索∠DEF 与∠B ，∠C 之间的数量关系；
(2)如图②所示，当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？
2021中考数学全等三角形专项培优训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】C
2. 【答案】D
3. 【答案】C
4. 【答案】C[解析] 添加3根木条以后成为如右所示图形，其由若干三角形组成，具有稳定性．
5. 【答案】C[解析] 选项A中添加AB＝DE可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；
选项B中添加AC＝DF可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；
选项C中添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D中添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意．
故选C.
6. 【答案】B[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4.
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝1
2AB·DH＋
1
2BC·CD＝
1
2×6×4＋
1
2×9×4
＝30.
7. 【答案】C[解析] ∵一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，∴可设这个三角形的三个内角分别为2x，3x，7x.
由题意，得2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.
∴7x＝105°.
8. 【答案】D[解析] 在△AFD和△AFB中，
∴△AFD≌△AFB.
∴∠ADF=∠ABF.
∵AB⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ABC=90°.
∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°.
∴∠ADF=∠ABF=∠C.
∴FD∥BC.
9. 【答案】D[解析] 一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形的情况有以下三种:
(1)直线不经过原长方形的顶点，如图①②，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形，
∴M+N=540°+180°=720°或M+N=360°+360°=720°;
(2)直线经过原长方形的一个顶点，如图③，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N=360°+180°=540°;
(3)直线经过原长方形的两个顶点，如图④，此时长方形被分割为两个三角形，∴M+N=180°+180°=360°.
10. 【答案】A[解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 【答案】150[解析] ∵DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，
∴AD是∠BAC的平分线．
∵∠BAC＝40°，∴∠CAD＝1
2∠BAC＝20°.
∴∠DGF＝∠CAD＋∠ADG＝20°＋130°＝150°.
12. 【答案】SSS[解析]由作图可得OM=ON，MC=NC，而OC=OC，
∴根据“SSS”可判定△MOC≌△NOC.
13. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
14. 【答案】∠B＝∠D
15. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB ＝AE＋EB＝AB.
16. 【答案】68[解析] ∵∠AFD=158°，
∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°.
∵FD⊥BC，
∴∠FDC=90°.
∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°.
∵∠B=∠C，DE⊥AB，
∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°. ∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.
17. 【答案】5
或10 [解析] ∵AX ⊥AC ，∴∠PAQ ＝90°.∴∠C ＝∠PAQ ＝90°.
分两种情况：①当AP ＝BC ＝5时， 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，⎩⎨⎧AB ＝QP ，BC ＝PA ，
∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL)； ②当AP ＝CA ＝10时，
在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，⎩⎨⎧AB ＝PQ ，
AC ＝PA ，
∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL)．
综上所述，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．
18. 【答案】32°
[解析] ∵PD ＝PE ＝PF ，PD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，PE ⊥AC
于点E ，PF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ， ∴CP 平分∠ACF ，BP 平分∠ABC. ∴∠PCF ＝12∠ACF ，∠PBF ＝1
2∠ABC.
∴∠BPC ＝∠PCF －∠PBF ＝12(∠ACF －∠ABC)＝1
2∠BAC ＝32°.
三、解答题（本大题共8道小题）
19. 【答案】
证明:∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B=∠ADE. 由三角形的外角性质，得∠ADC=∠B+∠BAD. 又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE ，
∴∠CDE=∠BAD.
20. 【答案】
解:(1)证明:∵CF ∥AB ， ∴∠B=∠FCD ，∠BED=∠F . ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF .
(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE=CF=2，
∴AB=AE +BE=1+2=3.
∵AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴AC=AB=3.
21. 【答案】
证明：∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠C ，
∵AD 是BC 边上的中线，
∴AD ⊥BC ，
∴∠BAD ＋∠ABC ＝90°，(3分)
∵BE ⊥AC,
∴∠CBE ＋∠C ＝90°，
∴∠CBE ＝∠BAD.(5分)
22. 【答案】
解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，
∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°.
∵CE ⊥BD ，
∴∠BCE ＋∠DBC ＝90°.
∴∠ABD ＝∠BCE.
在△DAB 和△EBC 中，
⎩⎨⎧∠ABD ＝∠BCE ，
AB ＝BC ，
∠DAB ＝∠EBC ＝90°，
∴△DAB ≌△EBC(ASA)．
∴AD ＝BE.
(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE.
∵BE ＝AD ，
∴AE ＝AD.
∴点A 在线段ED 的垂直平分线上．
∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，
∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°.
∵∠BAD ＝90°，
∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°.
在△EAC 和△DAC 中，
⎩⎨⎧AE ＝AD ，
∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，
∴△EAC ≌△DAC(SAS)．
∴CE ＝CD.
∴点C 在线段ED 的垂直平分线上．
∴AC 是线段ED 的垂直平分线．
(3)△DBC 是等腰三角形．
理由：由(1)知△DAB ≌△EBC ，∴BD ＝CE.
由(2)知CE ＝CD.
∴BD ＝CD.
∴△DBC 是等腰三角形．
23. 【答案】
解：∵在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，3∠A ＝∠B ＋∠C ，
∴4∠A ＝180°，
解得∠A ＝45°.
∵∠B ＝55°，∴∠C ＝180°－45°－55°＝80°.
24. 【答案】
证明：(1)∵BE ，CF 都是△ABC 的高，
∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∠ACF ＋∠BAC ＝90°.
∴∠ABE ＝∠ACF.
在△BAD 和△CGA 中，⎩⎨⎧AB ＝GC ，
∠ABD ＝∠GCA ，BD ＝CA ，
∴△BAD ≌△CGA(SAS)．
(2)∵△BAD ≌△CGA ，∴∠G ＝∠BAD.
∵∠AFG ＝90°，
∴∠GAD ＝∠BAD ＋∠BAG ＝∠G ＋∠BAG ＝90°.∴AD ⊥AG .
25. 【答案】
(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，
∴BC CA ＝CD BC ，
∵∠C ＝∠C ，
∴△CBD ∽△CAB ，
∴∠CBD ＝∠BAC ，
又∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，
∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，
即AB ⊥BC ，
又∵AB 为⊙O 的直径，
∴BC 为⊙O 的切线；
(2)解：△BCF 为等腰三角形．
证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，
∴∠DAE ＝∠BAC ，
又∵△CBD ∽△CAB ，
∴∠BAC ＝∠CBD ，
∴∠CBD ＝∠DAE ，
∵∠DAE ＝∠DBF ，
∴∠DBF ＝∠CBD ，
∵∠BDF ＝90°，
∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，
∵BD ＝BD ，
∴△BDF ≌△BDC ，
∴BF ＝BC ，
∴△BCF 为等腰三角形；
(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，
∴∠ABC ＝90°
∵BC 2＝CD ·CA ，
∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，
由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，
∴⊙O 的半径为r ＝
AB 2
＝10， ∵∠BAC ＝36°，
∴BD ︵所对圆心角为72°.
则BD ︵＝72×π×10180＝4π.
26. 【答案】
解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝12∠BAC.
又∵∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠C)，
∴∠1＝12[180°－(∠B ＋∠C)]＝90°－12(∠B ＋∠C)．
∴∠EDF ＝∠B ＋∠1＝∠B ＋90°－12(∠B ＋∠C)＝90°＋12(∠B －∠C)．
∵EF ⊥BC ，∴∠EFD ＝90°.
∴∠DEF ＝90°－∠EDF ＝90°－[90°＋12(∠B －∠C)]＝12(∠C －∠B)．
(2)当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，在(1)中探索得到的结论仍成立．。