第3章刚体力学 (2)

l l
12
2
C dm o x dx x
若棒绕一端o转动，由平行轴
定理， 则转动惯量为
o
Io
1 12
ml
2
m(
l 2
)2
1 3
ml 2
14
(2)均质细圆环(m, R)对中心轴的转动 惯量:
Ic
R2dm mR2
环
(3)均质圆盘(m,R)对中心轴 的转动惯量:
Ic
R
r
0
2
m
R
2
2rdr
1 2
dt
z
k o
j
i
y
L r (m ) mr
x
m(acosti bsintj ) (asinti bcostj )
mabsin2tk mabcos 2tk
mabk
i i 0 j i k
i jk j j0 28
质点所受的力矩:
M=rF
r
=acos dr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t i+bsin t j
对比： 角动量守恒定律是：M外=0， 则 L =常矢量。
动量守恒定律是： F外=0 ，则 p =常矢量。
30
角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，
它不仅适用于宏观体系， 也适用于微观体系，
而且在高速低速范围均适用。
角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：
•德国天文学家开普勒（1571-1630)
0
r
g
m
R2
2rdr
2 mgR
3
I 1 mR 2 2
水平桌面
o
dr r
M 4g
I 3R
21
M 4g
I 3R 求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
由 = o+ t = 0得
t o 3RO 4g
又由2-o2 = 2， 水平桌面
停下来前转过的圈数为
o
dr r
N o2 3o2 R 2 4 16g
第3章
Dynamics of Rigid Body
刚体力学基础
(6)
力矩的瞬时、时间、空间累积效应
1
§3.1 力矩的瞬时效应刚体的定轴转动 一. 刚体运动学
刚体—运动中形状和大小都保持不变的物体。 (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体是由许多质点(质元)组成的质点系。
V
V
z
y
V (xi yj)(xi yj )dm
x
V (x2 y2 )dm Ix I y
定理得证
12
例题1.1 质量离散分布: I=mi ri2 (1)轻杆连成的正三角形顶点各有一质点
m，此系统对通过质心C且垂直于三角形平面的
轴的转动惯量为
Ic 3 mr 2 ml 2 ,(r
3 l) 3
1 2
m2r22
1
T1 R
m: mg-T2= ma
m1
a=R1= r2 , 2=2ah
求解联立方程，代入数据，可得
T1
2
r
m2
T2
m
mg
=2m/s, T1=50N, T2=60N。
18
例题1.6 均匀细棒(m、长l)AB可绕o轴转 动，Ao= l/3。求棒从水平位置静止开始转过
角 时的角加速度和角速度。
t1
合外力矩的冲量(冲量矩)等于质点角动量的增量。
它是质点角动量定理的积分形式。
对比：
t2
M外dt L2 L1
t1 t2
t1 F外dt p2 p1
27
例题2.1 一质点的质量为m，位矢为：
r =acos t i+bsin t j (式中a、b、 均为常量);
求质解点的角d动r 量及它as所in受ti的 力矩bc。ostj
24
L
质点作匀速率圆周运动时，
· v 对圆心的角动量的大小为
O
R •m
L = mvR， 方向圆面不变。
同一质点的同一运动，其角动量却可以随固
定点的不同而改变。 例如：
锥摆 O
l
m
O
LO rom mv
LO lmv
方向变化
LO rom mv
LO lmv sin
方向竖直向上不变
25
2. 质点角动量定 理
t t0
dt
S r m•
v
dS / dt 行星运动的掠面速度
L
行星对太阳的矢径在单位时
间内扫过的面积。
行星运动的角动量守恒意味 着掠面速度保持不变。
34
例题2.2 光滑水平桌面，绳通过孔o拉着小球
m以o作半径r的匀速圆周运动，现向下缓慢拉绳，
求半径从r变为r/2过程中拉力的功。
解 小球对o点的角动量守恒：
关闭电源后有：
- Mf = I2 ; + 2t2 = 0
于是可以解得：
M
I
1 t1
1 t2
16
例题1.4 匀质柱体(M、R) 边缘用细绳挂 一质量为m的物体。求柱体的角加速度及 绳中的张力。
解 对柱体，由M=I有
mg·R=I
绳中张力Tmg！ 用隔离体法:
对m: mg-T=ma
对柱： TR=I a=R
解得 =2mg/[(2m+M)R]
T=Mmg/(2m+M)
M •R
T m
mg
17
例题1.5 两匀质圆盘(m1=25kg, m2=5kg)，用 轻绳挂m=10kg的物体。求m从静止下落 h=0.5m时的速度及 绳中的张力(g=10m/s2)。
解
m1:
T1R=
1 2
m1R2
1
m2:
T2r-T1r =
as inti
bcostj
a
dt
d
2 (acosti
bsintj )
2
r
dt
F=ma=-m2r
M=rF=-m2rr =0
29
3. 质点角动量守恒守律
t2
L2
Mdt
t1
L1
dL
L2
L1
若合外力矩为零(即M=0), 则
L=常矢量
这就是说,如果质点所受的合外力矩为零时, 则 此质点的角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点 角动量守恒定律。
23
质点对o点的角 动量(动量矩)为
L
Lr p
角动量L的大小
L=rpsin=mrsin=md
力F 对o点的力矩定义为：
M=r×F
力矩的大小
o r m
d
M
M=Frsin=Fd’
or F
问题:一质量为m的质点沿一直线以 d’
速率运动,它对直线上某点的角动量
为 0; 它对与直线相距d的某点的角动量为 md。
开普勒第一定律：行星围绕太阳作椭圆运动，太阳位 于椭圆的一个焦点上。 第二定律：由太阳到行星的矢径，在相等时间内划过 相等的面积。 第三定律：行星公转周期的平方与它同太阳距离的立 方成正比。
31
有心力场中物体的运动规律*
若物体所受作用力指向同一固定点，称为有心力或 中心力，对应的力场称为有心力场或中心力场
解 重力集中在质心，其力矩为
Mo
mg
l cos
6
A
Io
1 ml 2 12
m( l )2 6
1 9
ml 2
Mo 3g cos
Io 2l
2 o2 2
o
B
C
mg
oC l l l 236
19
Mo 3g cos d
Io 2l
dt
又因
d
dt
d d
d
dt
d d
3g cos
2l
d
r1
r2
f12
r12
f12
0
即一对内力的力矩的矢量和为零。
也可以从力矩大小对应于平行四边形面积的角 度来看。 两个平行四边形底和高都相等，故而面积相同； 两力矩大小相等，方向相反，于是矢量和为零。
任意质点系的合内力矩都为零。
7
三. 转动惯量 1.转动惯量的物理意义
M
I
F ma
质量m—物体平动惯性大小的量度。
22
§3.2 力矩的时间累积效应角动量守恒定律
一. 质点角动量守恒定律
1. 质点的角动量
设质点的位矢为r，动量为p=m ，则质点对o点的
角动量(也称动量矩)为
L r p r ( m )
L
角动量L的大小
L=rpsin=mrsin =md
o r m
d
式中是r 与 两矢量间的夹角。
角动量的方向垂直于矢径r 和 所组成的平面,指 向是r 经小于180o的角转到 时右螺旋的前进方向。
3gcosd
0
0 2l
完成积分得 3gsin
l
A
o
C
B
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 mg
(2)当=90°时， =0， 3g
l
20
例题1.7 匀质圆盘(m、R)以o转动。将
盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为µ， 求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
解 摩擦力矩:
M
R
V
Ic
I
l r’ r ‘l
Ic
Ml2
2l
rdm
V
=0
Ic是转轴过质心的转动惯量，于是
I Ic Ml2
11
转动惯量的垂直轴定理：一个平面薄板刚体对垂直于平面 的任一转轴的转动惯量，等于刚体对在平面内并与该垂直轴 相交的任二正交轴转动惯量之和。 I I x I y
证明：因 I r2dm (r r )dm
r
1
p
cos
•行星对太阳角动量的大小： L mv r sin 常量
L S r m•
v
L mv r sin
mr d r sin m lim r r sin
dt
t 0
t
33
L mv r sin mr d r sin m lim r r sin
dt
t0 t
r r sin 2S L 2mlim S 2m dS
o
力矩的大小: 方向:
Mr =FF r右sin手螺=F旋d
d
r
F
注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会
Mz
F
产生力矩; 平行于转轴的力是
不会产生力矩的。
(2)力矩的方向沿转轴。
5
2.刚体定轴转动定理
mi: 切向方程:
Fi sin i fi sin i miai miri
(1) 在有心力作用下运动的物体，角动量守恒； (2) 所有有心力都是保守力，因而在有心力场中运 动的质点机械能守恒；
(3).平方反比中心力场中质点的运动满足开普勒运 动定律
太阳产生的引力场就是平方反比中心力场，太阳 系中各星体的运动都要满足角动量守恒。
32
• 角动量L方向不变：行星总在一个平面内运动，可 以证明它的轨道方程是圆锥曲线：
L
dL
rrpdp
r (m
dr
)
p
由于
dt
dr
,
dt
dt p
0,
F
dp
所以
dt dL
r
F
M
dt
dt
M
dL
dt
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变
化率。这个结论叫质点的角动量定理。
26
M
dL
dt
t2
L2
Mdt dL L2 L1
t1
t2
Mdt
L1
冲量矩
mr2 o= m(r/2)2
=4o
o
由动能定理，拉力的功为
m ro
A
1 2
m 2
1 2
mo2
F
1 2
m( r )2 2
2
1 2
mr
2 2 o
3 2
mr
2 2 o
35
例题2.3 光滑水平面上，轻弹簧为原长(lo=0.2m ,
m
通过o点且垂直于三角形
l
l
平面的轴的转动惯量为
·c
mr
m
IO= ml2+ml2 =2ml2
o
l
=ml2 +(3m)r2=2ml2
13
例题1.2 质量连续分布: I r 2dm
(1)均质细直棒(质量m、长l)，求通过质心C且
垂直于棒的轴转动的转动惯量。
解
记住！
l
Ic
2 x2m dx 1 ml2
2.定轴转动的描述
定轴转动刚体上各质点的线 量(速度、加速度)不同。
但各质点的角量(如角位移、 角速度和角加速度)相同。
r
d , d
dt
dt
3
若角加速度 =c(恒量)，则有
o t
ot
1 2
t 2
r
2 o2 2
4
二. 刚体的定轴转动
1.力矩
M
力F 对o点的力矩定义为：
M=r×F
转动惯量I—物体转动惯性大小的量度。
注意：1. 转动惯量是刚体的固有属性
2. 转动惯量不仅依赖质量大小，还和质量 对转轴的空间分布有关。
8
2.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
I=mi ri2
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量 乘以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
I r 2dm
mR2
R
dm
r dr
15
M I 刚体定轴转动定理
例题1.3 电风扇开启电源时，经过t1时间达到 额定转速，关闭电源后经过t2时间停止转动。 设风扇转动惯量为I，且电磁力矩和摩擦力矩均 为恒量，求风扇电机的电磁力矩。
解 设电磁力矩和摩擦力矩分别为M和Mf，则 开启电源时有：
M - Mf = I1 ; = 1t1
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
9
3.平行轴定理
I = Ic + Ml2
Ic 通过刚体质心的轴的转动 惯量
M 刚体系统的总质量 l 两平行轴(o,c)间的距离
I l Ic
o
C M
10
I r2dm
(r r )dm
V
V
V (r l ) (r l )dm (r2 2l r l2 )dm
Firi sin i firi sin i miri2
Firi sin i firi sin i miri2
Z
合i 外力矩
M
f i
o ri
i
mi i
Fi
合i 内力矩
0
M I
i
I(转动惯量)
刚体定轴转动定理
6
取一对内力的力矩来研究：
r1 f12 r2 f21 r1 f12 r2 f12
1.刚体的平动和转动
如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平 行，这样的运动就称为平动。
平动刚体内各质点的运动状态完全相同。
平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。
2
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转 轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。
转轴固定不动定轴转动。 刚体一般运动可看作是平
动和转动的结合。