教资考试-科目三-初中-数学模考-3

22上科三初中数学模考题3
1.若、表示向量，则以下命题正确的是( )
A.若、共线，则当且仅当存在，使得
B.不等式中的等号不能同时取得
C.若，则
D.若、不共线，则与不共线
2.对于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出的教学中应当注意的几个关系，下列说法错误的是（）。

A.面向全体学生与关注学生个体差异的关系
B.“预设”与“生成”的关系
C.合情推理与演绎推理的关系
D.使用现代信息技术与教学思想多样化的关系
3.有人认为，在数学课堂教学中，每节课都应该大量地使用现代多媒体技术，这样可以充分地提高课堂教学效率。

比如，课前把授课内容制作成多媒体课件，授课时就可以“多快好省”地给学生传递大量的信息。

你赞成这种看法吗？为什么？
4.数学发展史上曾经发生过三次危机，触发第三次危机的事件是（）。

A.无理数的发现
B.微积分的创立
C.罗素悖论
D.数学命题的机器证明
5.以下是《直线、射线、线段》一课的教学片段:
师:同学们,你们在小学阶段已经学过直线、射线与线段,现在回忆一下,再相互讨论一下他们的区别与联系。

(学生们议论纷纷,3分钟后,老师让同学们安静下来。

)
(接着,老师从头上拔下一根头发,同学们很惊奇地看着老师。

)
师:大家刚才讨论直线、射线与线段的区别与联系,这个头发是直线、射线、线段中的哪一种? 现在小组讨论后组员代表分别说说。

(2分钟后,各组员代表举起了手。

)
生1:我们小组经过讨论认为该头发是一条射线,其中毛囊是射线的端点,发梢可以无限延伸。

生2:我们小组认为该头发是一条线段,既然头发已经拔下来了,那它也不长了。

师:挺好的,从头发拔下来不再长了这一角度看,是一条线段,从头发还可以再长这个角度看,又是一条射线,还有其他意见吗?
生3:我们小组经过讨论认为老师的问题有错误, 该头发既不是线段,射线也不是直线,而是曲线,因为老师没有把该头发绷紧。

(学生们大笑起来,老师也微笑着环顾同学们。

)
师:真是后生可畏,老师们真为你们有这种质疑的精神点赞,你们小组认真严谨的学习态度征服了我,俗话说:长江后浪推前浪。

和大家一起探索数学的奥秘,老师也收获不少,真是谢谢大家!
根据以上材料,回答下列问题:
(1)对生3小组敢于质疑和批评教师这种行为阐述你的看法。

(2)简述如何做好小学与初中衔接内容的教学。

(3)在数学课堂教学中,如何更好地实施分组讨论教学。

6. 设A,B为n阶非零矩阵，且AB=0，则（）
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数在上存在两个零点，且。

（1）求实数a的取值范围；
（2）若方程的两根为，且，求证。

8. 如何理解教师主导作用与学生主动性相结合?
9. 汽博会开幕在即，甲乙丙三个人得到了两张参观票，于是三个人通过抽签决定这两张票的归属。

在
所设计的三个签中有两个签上写着“有”，一个签上写着“无”，抽签顺序是甲先、乙次、丙最后抽取。

如果已知乙已经抽到了参观票，则甲也抽到参观票的概率是（）
A.
B.
C.
D. 1
10. 设，则（）。

A. ，都存在
B. 不存在，存在
C. 存在，存在
D. ，都不存在
11. 设是四阶矩阵，为的伴随矩阵，若
是方程组的基础解系，则的基础解系可为（）。

A.
B.
C.
D.
12. 对学生数学学习的评价，既要关注学习结果，也要关注学习过程，你认为对学生数学学习过程的评价应关注哪些方面?试举例说明。

13. 《义务教育教学课程标准（2011年版）》关于平行四边形的性质的教学要求是：探索并证明平行
四边形的性质定理——平行四边形的对边以及对角相等，请基于该要求，完成下列教学设计任务：（1）设计平行四边形性质的教学目标；（6分）（2）设计两种让学生发现平行四边形性质的教学流程；
（12分）（3）设计平行四边形性质证明的教学流程，使学生领悟证明过程中的教学思想方法。

（12分）
14. 设球面方程为。

求它在点处的切平面方程。

15. 已知n维向量线性无关，证明，向量组，，
线性无关。

16. 一台自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为假设产品的优
质品率为。

如果各件产品是否为优质品相互独立。

计算生产线在俩次故障间共生产了k件（k=0,1,2,…）优质品的概率。

计算生产线在俩次故障间共生产了k件（k=0,1,2,…）优质品的概率。

17. 下列命题中，正确的是（）。

A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
第1题
【知识点】向量的基本运算
【答案】 D
【解析】本题考查向量的基本性质。

A选项中未考虑零向量的情形，若为零向量，为非零向量，那么、共线，但不存在，使得，故A选项描述错误；
B选项中也未考虑零向量的情形，若、均为零向量，则两个等号同时取得，故B选项描述错误；
C选项中，把等式两边平方，整理可得，若
、为非零向量时，根据数量积运算规则，可进一步推出向量、的夹角的余弦值为，说明两者平行且方向相反，而非垂直，所以不一定成立，故C选项描述错误；
D选项中，由于逆反命题与原命题等价，所以只需证明其逆反命题成立即可，若与
共线，则存在不全为零的实数、，使，整理可得
，由于、不能同时为零，则与也不能
同时为零，从而证明、共线，即D选项所述命题的逆反命题成立，所以原命题成立，故D选项描
述正确．
综上，本题选D．
第2题
【知识点】数学教学建议
【答案】 D
【解析】本题考查义务教育数学课程标准。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出的教学中应当注意的几个关系：
1、面向全体学生与关注学生个体差异的关系；
2、“预设”与“生成”的关系；
3、合情推理与演绎推理的关系；
4、使用现代信息技术与教学手段多样化的关系。

综上，本题选D。

第3题
【知识点】数学教学方法
【解析】不赞成这种看法。

教师在课堂教学中，应首先明确“用多媒体技术干什么”，找准多媒体
的最佳作用点，优化教学过程，提高课堂教学效率。

在课堂教学中，针对部分教师难以讲清，学生难以
听懂的数学知识，通过多媒体技术直观演示，为学生提供探索知识的机会，让他们在观察、演示、操作、讨论的过程中进行思考和交流，研究数学现象本质，发现数学规律，掌握数学知识。

第4题
【知识点】数学史
【答案】 C
【解析】本题主要考查数学的经历路程。

第三次数学危机为罗素悖论的产生，其引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题，导致无矛盾的集合论公
理系统的产生。

故正确答案为C。

第5题
【知识点】数学案例分析
【答案】答:(1)新课程标准指出:学生是数学学习的主体。

在积极参与学习活动的过程中不断得到发展,学生获得知识,必须建立在自己思考的基础上。

本案例中,教师让学生观察头发,来理解直线、射线、线段, 其中生3根据他的观察和思考,觉得教师没有归纳正确,质疑正确答案应该是曲线。

教师在教学活
动中,充分的给予学生足够的时间进行思考和讨论,体现了学生是学习的主体,生3的质疑正是学生这个
原则的体现。

教师对生3的回答,肯定了学生的结果正确。

激发了学生学习的欲望,培养了学生独立思考
的能力。

(2)首先重视中小学数学内容的衔接。

数与代数领域的衔接,主要变化就是从数字的具体运算到代数式的
形式化运算的转变,在初中要积累半形式化运算的经验,还有一点就是列简易方程,要引导学生从算术思
维逐步向代数思维转变。

在空间与图形领域的衔接,让学生从直观感知转变逻辑论证。

其次数学思想方
法的衔接。

主要体现在教学中如何把已经渗透的基本数学思想方法直接的迁移到成熟的数学思想。

(3)合作前一定要有独立思考的过程;合作一定要给予足够的时间和空间;合作一定不能过密;合作必须要
有要求和分工。

【解析】答:(1)新课程标准指出:学生是数学学习的主体。

在积极参与学习活动的过程中不断得到发展,学生获得知识,必须建立在自己思考的基础上。

本案例中,教师让学生观察头发,来理解直线、射线、线段, 其中生3根据他的观察和思考,觉得教师没有归纳正确,质疑正确答案应该是曲线。

教师在教学活
动中,充分的给予学生足够的时间进行思考和讨论,体现了学生是学习的主体,生3的质疑正是学生这个
原则的体现。

教师对生3的回答,肯定了学生的结果正确。

激发了学生学习的欲望,培养了学生独立思考
的能力。

(2)首先重视中小学数学内容的衔接。

数与代数领域的衔接,主要变化就是从数字的具体运算到代数式的
形式化运算的转变,在初中要积累半形式化运算的经验,还有一点就是列简易方程,要引导学生从算术思
维逐步向代数思维转变。

在空间与图形领域的衔接,让学生从直观感知转变逻辑论证。

其次数学思想方法的衔接。

主要体现在教学中如何把已经渗透的基本数学思想方法直接的迁移到成熟的数学思想。

(3)合作前一定要有独立思考的过程;合作一定要给予足够的时间和空间;合作一定不能过密;合作必须要有要求和分工。

第6题
【知识点】线性方程组
【答案】 A
【解析】本题考查矩阵得秩。

假设,则存在
由AB=0得B=0，矛盾。

所以.
同理：.
综上，本题选A。

第7题
【知识点】高等数学
【答案】 (1)
(2)见证明过程；
【解析】解：（1）令,得。

令，则
，在上，的变化情况如下表：
所以，当
时，；当时，，故
在上存在两个零点时，。

（2）由（1）知，且，。

则有
，且，又在（1，e）上单调递减，在上单调递增，所以，则。

第8题
【知识点】数学教学建议
【答案】好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。

一方面，学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。

实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的主导作用。

教师富有启发性的讲授；创设情境、设计问题,引导学生自主探索、合作交流;组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等,都能有效地启发学生的思考,使学生成为学习的主体，逐步学会学习。

【解析】本题考查义务教育课程标准。

在《义务教育数学课程标准(2011年版)》中好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。

一方面，学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。

实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的主导作用。

教师富有启发性的讲授；创设情境、设计问题,引导学生自主探索、合作交流;组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等,都能有效地启发学生的思考,使学生成为学习的主体，逐步学会学习。

第9题
【知识点】条件概率
【答案】 B
【解析】本题为概率问题。

由于乙已经确定“有”，在剩下的两张票（一张中奖一张不中奖）中，甲中奖的概率就是1/2，因此本题选B。

（抽签顺序对于结果没有影响）
第10题
【知识点】多元微分-偏导数
【答案】 B
【解析】本题考查函数求偏导数。

极限不存在，所以偏导数不存在。

偏导数存在。

综上，本题选B。

第11题
【知识点】线性方程组
【答案】 D
【解析】本题考查矩阵。

因为只有1个线性无关的解，即，从而，那么。

故的基础解系中有3
个线性无关的解,可见选项(A)(B)均错误。

再由,及，有
,知的列向量全是的解，而秩
，故的列向量中必有3个线性无关。

最后，按，即
，即，说明
相关相关。

综上，本题选D。

第12题
【知识点】数学评价建议
【答案】《课程标准》指出：数学学习的评价既要重视结果，又要重视过程。

对学生数学学习过程的
评价，包括学生参与数学活动的动机和态度，完成数学学习的自信，独立思考的习惯，合作交流的意识，数学认知的发展水平等方面。

一、关注学习的准备状态从学习的准备来看，关注学习的准备状态非常重要。

在学习即将进行时，应充
分调动学生的积极情绪和思维，唤起学习的欲望。

此项活动应包括原有知识的储备、相应的能力态度、
激活的思维等。

为学习活动的顺利进行作好心理的准备后，有助于学生愉快而高效率地学习，也只有这样，学生才能坚定学好数学的信念，会更加勤奋刻苦地学习数学，当遇到困难时，会克服困难，始终保
持旺盛的学习斗志。

比如在学习正余弦定理的应用第一课时如何测量底部不可到达的建筑物的高度，教
学中不直接给出例题，而是先提问题：如何测量学校旗杆的高度呢？测量旗杆的高度问题是初中所讲的
一个内容，学生比较熟悉，从学生熟悉的例子入手，感觉不困难。

经过思考，学生很快就提出了各种解
决问题的方案，调动了学生学习的积极性。

随后又提出问题：若旗杆底部被埋，底部不可到达，又如何
测量呢？学生经过刚才的思考，有了准备，都积极的进行思考，发表自己的意见。

这样激发了学生学习
的兴趣，提高了课堂效率。

二、关注对学生学习动机和合作精神的评价在评价中应关注学生是否积极主动地参与数学学习活动，是
否愿意与同伴交流数学学习的体会，与他人合作探究数学问题.在评价过程中应努力引导学生正确认识
数学的价值，产生积极的学习态度、动机和兴趣.例如在教学时注重公式的推导，要思考公式是如何推
导而来，学生之间可相互合作讨论，发表见解，这样，学生学习时就会有动机：要搞清知识是怎么来的，学习这些知识能够解决哪些问题。

三、关注学生学习数学的独立思考和独立学习能力的评价。

独立思考和独立学习是数学学习的基本特征
之一，而每个学生，除了有特殊原因外，都有相当强的潜在的和显在的独立思考和独立学习能力的能力，因此，我们在教学中，应建立评价学生是否独立思考的方法与过程，从根本上提高学生的独立思考、独
立学习的能力。

例如在课堂上，备课时设计好问题，课堂中给学生足够的时间进行思考讨论，让他们能
独立的完成，发表意见，师生再进行评析，及时鼓励学生。

再次课下给学生做题的时间，根据学生学习
的基础及学习能力，有针对性的给学生布置适量的课外作业，让他们独立完成，及时检查，肯定做得好
的学生，鼓励其他学生也要做得更好，这样培养了学生独立学习的能力。

四、关注学生学习数学的差异性。

每个学生都有自己独特的内心世界、精神世界和内在感受，有着不同
于他人的观察、思考和解决问题的方式。

因此每个学生具体的数学学习方式是不同的。

由于具备的认知
基础和情感准备以及学习能力倾向不同，他们对同样的内容和学习速度和掌握所需要的时间及需要的帮
助不同。

例如，课堂上回答不出问题的学生，我会和他商量好，课堂上我不叫他回答问题了，让他自己
思考，课下再好好钻一钻，有什么问题到办公室我帮他解决。

五、关注学生对数学思想方法的学习评价。

从分析数学认知结构与解决数学问题可知，它们所需要的知识，是那些具有较高概括性和包容性，显示数学特色和贯穿数学前后的基本概念、原理、观念和方法，即数学思想方法。

一旦学生掌握了它，就能触类旁通，因此学习基本的数学思想方法是形成和发展数学
能力的基础。

例如（1）课堂中及时总结公式、定理的推导、例题中所渗透的数学思想及方法，让学生
体会；（2）做习题，整理笔记，写总结时重视思想方法的总结，对做得好的学生提出表扬，建议其他
学生也这样做，让他们养成一个做完题后总结方法的好习惯。

【解析】本题主要考查的是对新课标的解读。

具体步骤: 1.把握题干，将题目涉及相关理论进行完善
并完整论述； 2.举例阐述对学生数学学习过程的评价具体应该关注的方面。

第13题
【知识点】中学数学教学设计
【答案】（1）平行四边形性质的三维教学目标是：①知识与技能目标：掌握平行四边形边、角、对角
线的有关性质，并会运用平行四边形的性质解决简单问题。

②过程与方法目标：在体会通过数学活动，
探索归纳获得数学结论的过程，感受平行四边形性质在解决问题中的作用。

通过对问题解决的过程的反思，获得解决问题的经验，积累解决问题的方法。

③情感态度价值观目标：通过积极参与数学活动，让
学生学会在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的探讨，享受运用知识解决问题的成功体验，增强
学好数学的信心。

（2）两种让学生发现平行四边形性质的教学流程如下：第一种：观察—猜想—验证—归纳。

通过多媒体PPT展示各种图形，让学生找出平行四边形，并说说自己的理由，当学生说出“两
组对比分别平行之外”，教师提问“平行四边形除了两组对边分别平行之外，还有没有其他性质呢？”
让学生猜一猜，然后再让学生通过画一画（在格点纸上画一个平行四边形）、量一量、剪一剪（将所化
的平行四边形沿其中一条对角线剪开）等活动验证自己的猜想，最后总结出平行四边形对边与对角的性质。

第二种：动手操作—小组讨论—归纳总结。

在学生了解平行四边形定义之后，让学生用一张半透明
的纸复制学生之前画的平行四边形，并将复制后的四边形绕一个顶点旋转180度，并提问：你能平移该
纸片，使它与你画的平行四边形重合吗？”让学生思考，并讨论“通过以上的活动，你能得到哪些结论？平行四边形的对边、对角分别有什么关系？”用这些问题引导学生发现平行四边形对边相等，对角相等。

（3）你能证明“平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等”吗？师生共议，写出已知、求证及
证明过程。

已知：如图，四边形为平行四边形求证：，；，分析：连结对角线将平行四边形的问题通过
转化为全等三角形的问题进行解决。

设计意图：注重直观操作与逻辑推理的有机结合，把几何论证作为
探究活动的自然延续和必然发展。

同时，通过证明，验证了猜想的正确性，让学生感受到数学结论的确
定性和证明的必要性。

总结：性质1：平行四边形的对边相等符号语言: ∵四边形为平行四边形∴，性
质2：平行四边形的对角相等.符号语言: ∵四边形为平行四边形∴，师生共议：以上性质为证明（解决）线段相等，角相等，提供了新的理论依据。

设计意图：对平行四边形性质的归纳，是学生对平行四
边形特征的更深入认识，也是知识的一次升华，突出了教学重点.
【解析】本题主要以初中数学教学中的重要内容之一“平行四边形的性质定理”为例，平行四边形的
性质定理的基础知识，初中数学课程内容、课程标准及实施建议，教学过程的基本要素及教学方法的选择，教学设计中的教学目标、教学过程及教学策略等相关知识，比较综合性地考查学科知识、课程知识、教学知识以及教学技能的基本知识和基本技能。

（1）新课标倡导三维教学目标，知识与技能目标、过
程与方法目标、情感态度与价值观目标。

知识与技能目标，是对学生学习结果的描述，即学生同学习所
要达到的结果，又叫结果性目标。

这种目标一般有三个层次的要求：学懂、学会、能应用。

过程与方法
目标，是学生在教师的指导下，如何获取知识和技能的程序和具体做法，是过程中的目标，又叫程序性
目标。

这种目标强调三个过程：做中学、学中做、反思。

情感态度与价值观目标，是学生对过程或结果
的体验后的倾向和感受，是对学习过程和结果的主观经验，又叫体验性目标。

它的层次有认同、体会、
内化三个层次。

知识与技能目标是过程与方法目标、情感态度与价值观目标的基础；过程与方法目标是
实现知识与技能目标的载体，情感态度与价值观目标对其他目标有重要的促进和优化作用。

（2）让学
生发现平行四边形性质的教学流程，可以从不同角度进行设计，如“观察—猜想—验证—归纳”，“动
手操作—小组讨论—归纳总结”等，但重要的是让学生在学习过程中进行主动学习，教师只是起到引导
的作用，充分体现“学生是主体，教师是主导”的教学理念。

（3）平行四边形关于边、角的性质定理，即平行四边形的对边以及对角相等，这一定理的证明是通过证明三角形全等来证明对边、对角相等来进
行的。

注意在平行四边形性质证明的教学流程中，务必使学生领悟证明过程中所用到的转化思想与方法。

第14题
【知识点】空间解析几何
【答案】因为球面方程为，故可设，有
所以
所以在点(1,2,2)处，
n=(1,2,2)是法线的一个方向向量。

由此可得球面在点(1,2,2)处的切平面方程为，
【解析】本题主要考查空间曲面及曲线方程的知识。

对曲面求偏导数:
，在点处处的偏导数为：所以，由于偏导数不同时为零，存在着
切平面，方程为：为整理即可。

第15题
【知识点】多维向量
【答案】设即
因为
线性无关，故
因为
即齐次线性方程组只有零解，故必有，因此，向量组
，，线性无关。

【解析】设即
因为
线性无关，故
因为
即齐次线性方程组只有零解，故必有，因此，向量组
，，线性无关。

第16题
【知识点】函数零点的存在性定理
【答案】设事件=两次故障间共生产k件优质品，事件=两次故障间共生产i件产品，
i=0,1,2,…。

显然构成一个完备事件组，且。

当时，在i个产品中不可能有k个优质品，故;
当时，在i个产品中有k个优质品，且各产品是否优质品相互独立，故
,其中。

应用全概率公式，有
【解析】设事件=两次故障间共生产k件优质品，事件=两次故障间共生产i件产品，
i=0,1,2,…。

显然构成一个完备事件组，且。

当时，在i个产品中不可能有k个优质品，故;
当时，在i个产品中有k个优质品，且各产品是否优质品相互独立，故
,其中。

应用全概率公式，有
第17题
【知识点】不等式的基本性质
【答案】 C
【解析】本题主要考查不等关系与不等式。

A项，当，，，
时，，，此时
，故A项错误。

B项，当时，若
，则，故B项错误。

C项，不等式两边可同乘以，
因为，所以可得。

故C项正确。

D项，当，
，，时，
，，则
，故D项不正确。

综上，本题选C。