4.5矩阵的分块

3 A 1 2 A*
2
A n A
解 3A1 2 A*
A* A n1
1 A1 2 A* 3
1 A* 2 A* 3A
A 1 A * 注意A 1和A*互化！ A
4 A* 3



4 3
3

A*


64 27

1 2
2
C2t


Crt
s
其中 Cij
Aik Bkj .
k 1
把A，B的子块看成元素，按矩阵乘法法则进行运算。
分块对角阵（准对角阵）（P186第一段） 若矩阵A的分块矩阵具有以下形式
A11 0
0

A


0 0
A22 0
0

0


0 0 0 Ass
它的特点就是：主对角线上的子块是全是方阵， 其它子块全是零矩阵，则称A为分块对角矩阵或 准对角矩阵。
B22

Br1 Br2
B1s
B2
s


Brs
A11 B11 A12 B12
则
A

B


A21

B21
A22 B22

Ar1 Br1 Ar2 Br2
A1s B1S
A2s

B2S


Ars Brs
注意：对应子块相加，相减。
又 A = 5 3 1 =5 0，故A可逆，由 21
5 1


1 5

,
3

2
11 1
1



2
1 3

，
1 5 0 0

A1



0 0
1 2
31 .
例2
设
D
A C
0 B
,
(P184)
其中 A, B 分别为 k 级和 r 级可逆矩阵，C为 r k
证明：D 可逆，并求其逆．
证
D

A C
0 B

AB
0
∴ D 可逆. 设逆阵
D1


X X
11 21
X X
12 22

,
于是
A C
0 B

X X
11 21
X X
12 22



Ek 0
0 Er

,
即
AX11 Ek

AX
12
CX11

0 BX
形式如
A


A2
O


O
,
As
的分块矩阵，其中主对角线子块 Ai 为 ni 级方阵 其它子块为零块，称为准对角矩阵或分块对角矩阵.
●准对角矩阵的行列式
★ 分块对角矩阵举例
2 3 0 0 0 0

0
1
0
0
0
0

0 0 0 0 0 0

0
0
0
1
0
9

结论2： R( AB) R( A)并且R( AB) R(B)
结论3： 初等变换不改变矩阵的秩 结论4： R( A) R(PA) R( AQ) R(PAQ)
P , Q可逆
A* A A A* A E
A1 A . A
A* A n1 P202 例
1
例 设三阶方阵A的伴随矩阵为 A* ，且 A ，求
行分块方法相同，
A11 A12
A


A21
A22
Ar1 Ar 2
A1s
A2
s

,
Ars
B11 B12
B


B21
B22

Bs1 Bs2
B1t
B2t


Bst
C11 C12
则
AB


C21
C22

Cr1 Cr2
C1t
(1) 设准对角矩阵 A, B 级数相同，并且分法相同,则
A1
A


A2
O
O


,
As
B1
B


B2
O
O


,
Bs
则
A1 B1
A B

O
A2 B2
O

，

As

BS

A1B1
AB
A2 B2

O
对角线上子块不全是方阵， 不是分块对角阵
●准对角矩阵定义（ P186）
A1
形式如
A


A2
O


O
,
As
的分块矩阵，其中主对角线子块 Ai 为 ni 级方阵 其它子块为零块，称为准对角矩阵或分块对角矩阵.
●准对角矩阵的行列式
●准对角矩阵定义（ P186）
A1


16 27
0 0 0 2 0 8 0 0 0 3 0 7
是分块对角 矩阵
2 3 0 0 0 0

0
0
1
0
00Biblioteka 0 0 1 0 0 0

0
0
0
1
0
9

0 0 0 2 0 8 0 0 0 3 0 7
不是分块对角矩阵
●准对角矩阵的运算性质 （P186）
2 3 0 0 0 0

0
1
0
0
0
0

0 0 0 0 0 0

0
0
0
1
0
9

0 0 0 2 0 8 0 0 0 3 0 7
是分块对角阵
2 3 0 0 0 0

0
0
1
0
0
0

0 0 1 0 0 0

0
0
0
1
0
9

0 0 0 2 0 8 0 0 0 3 0 7
分块矩阵的数乘
A11 A12
设将A分块得
A


A21
A22
Ar1 Ar2
kA11
则
kA


k
A
21

kAr1
kA12 kA22
kAr 2
每个子块都乘以数k。
A1s
A2
s

k
R

Ars
kA1s
kA2s
.

kArs
分块矩阵与分块矩阵的乘法（P183） 矩阵A的列数等于B的行数，A的列分块方法与B的
,
其中
A11


a11 a21
A21 a31
a12
a22

a32
A12

a13

a23
A22 a33
a14
a24

a34
a11
2)
A


a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34





A11 A21 A31


,
a11 a12 a13 a14
3)
A


a21
a22
a23
a24

a31 a32 a33 a34
分块矩阵
1 2 3 4
如：

5
4
6 3
7 2
8

1
8 7 6 5
1 2 3 4
a21
a22
a23
a24

,
将矩阵A分成
a31 a32 a33 a34
子块的方法有很多种，下面就是三种不同的分
块形式
a11
1)
A


a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34




A11 A21
A12 A22

21
两边左乘A 1
0


X
X11 A1 X12 0 21 B1CA1
CX12 BX 22 Er
X 22 B1
用用到两边左乘B1
A


C
0 1 A1
B




B 1CA1
0 B 1

.
结论1：矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩

5
6
7
8

4 3 2 1
8 7 6 5
则不是分块矩阵。
分块矩阵的加法，减法
设A、B同型，且采用完全相同的分块方法，得
A11 A12
A


A21
A22

Ar1 Ar2
A1s
A2
s


Ars
B11 B12
B


B21
一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 三、准对角矩阵
矩阵的分块（P181-183）
处理阶数较高的矩阵时，常用到矩阵的分块，把 大矩阵的运算化为小矩阵的运算。
用穿过矩阵A的横线和竖线将矩阵A分割成若干个子块 以这些子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。
a11 a12 a13 a14
例如：设A



O

.

As
BS

A1
(2) 准对角矩阵
A


A2
O
Ai可逆，i 1, , s
O

As
可逆
且

A11
A1
A21

O

O



As1

5 0 0
例1
A


0 0
3 2
1 1

，求A1
解： 将A如图进行分块，则A为准对角阵。