相似中考题(难度大)

一、选择题
1、（2011•遵义）如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（）
A、5
B、6
C、7
D、12
2、（2011•肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、
B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）
A、7
B、7.5
C、8
D、8.5
3、（2011•义乌市）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：
①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；
③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；
一定正确的结论有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4、（2011•徐州）平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=-图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
5、（2011•乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为____________________
6、（2011•潼南县）如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；
②OE=OF；
③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是（）
A、①②
B、②③
C、②④
D、③④
7、（2011•泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）
A、16
B、17
C、18
D、19
8、（2011•台湾）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为何？（）
A、1：2
B、2：3
C、2：5
D、4：9
9、（2011•台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC=∠C=∠D=90°，AD=3，BC=9，CD=8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）
A、4.5
B、5
C、5.5
D、6
10、（2011•深圳）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（）
A、3：l
B、2：l
C、5：3
D、不确定
11、（2011•陕西）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形共有（ ）
A 、2对
B 、3对
C 、4对
D 、5对 12、（2011•攀枝花）如图，在△ABC 中，AB=BC=10，AC=12，BO ⊥AC ，垂足为点O ，过点A 作射线A
E ∥BC ，点P 是边BC 上任意一点，连接PO 并延长与射线AE 相交于点Q ，设B ，P 两点之间的距离为x ，过点Q 作直线BC 的垂线，垂足为R ．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（ ） ①△AOB ≌△COB ；
②当0＜x ＜10时，△AOQ ≌△COP ；
③当x=5时，四边形ABPQ 是平行四边形； ④当x=0或x=10时，都有△PQR ∽△CBO ； ⑤当x=
4
15时，△PQR 与△CBO 一定相似．
A 、2条
B 、3条
C 、4条
D 、5条 13、（2011•内江）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，
E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=
3
4，则△ABC 的面积为（ ）
A 、38
B 、15
C 、39
D 、312
14、（2011•聊城）如图，矩形OABC 的顶点O 是坐标原点，边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC 面积的
4
1，则点B1的坐标是（ ）
A 、（3，2）
B 、（-2，-3）
C 、（2，3）或（-2，-3）
D 、（3，2）或（-3，-2）
15、（2011•河池）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 上一点，EF 交AC 于G ，AF=2cm ，DF=4cm ，AG=3cm ，则AC 的长为（ ）
A 、9cm
B 、14cm
C 、15cm
D 、18cm
16、（2011•河北）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）
A 、
2
1 B 、
2 C 、
3 D 、4
17、（2011•东营）如图，△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（-1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A 、2
1-
a B 、2
1-
(a+1) C 、2
1-
(a-1) D 、2
1-
(a+3)
18、（2011•德阳）如图，有一块△ABC 材料，BC=10，高AD=6，把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边GH 在BC 上，其余两个顶点E ，F 分别在AB ，AC 上，那么矩形EFHG 的周长l 的取值范围是（ ）
A 、0＜l ＜20
B 、6＜l ＜10
C 、12＜l ＜20
D 、12＜l ＜26
19（2010•烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 20、（2010•潍坊）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AD
AB 等
于（ ）
A 、0.618
B 、
2
2 C 、2D 、2
21、（2010•威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A1，作正方形A1B1C1C ；延长C1B1交x 轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）
A 、2009
235⎪
⎭
⎫ ⎝⎛ B 、2010
495⎪
⎭
⎫
⎝⎛ C 、2008
495⎪
⎭
⎫
⎝⎛ D 、4018
235⎪
⎭
⎫
⎝⎛
22、（2010•铜仁地区）如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（ ）
A 、94143
⎪⎭⎫
⎝⎛⨯ B 、10
4143⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯ C 、92143
⎪⎭⎫
⎝⎛⨯D 、10
2143⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯
23、（2010•嘉兴）如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为
斜边并且在AB 的同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连接AE 交CD 于点M ，连接BD 交CE 于点N ，给出以下三个结论：①MN ∥AB ；②BC
AC MN
11
1=
；③MN ≤
4
1AB ，其中正
确结论的个数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
24、（2010•嘉兴）如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ，如果3
2=EC
AE ，
那么
AC
AB =（ ）
A 、
3
1 B 、
3
2 C 、
5
2D 、
5
3
25、（2010•衡阳）如图，在▱ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=42，则△CEF 的周长为（ ） A 、8 B 、9.5 C 、10 D 、11.5
26、（2009•孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）
A、4cm
B、6cm
C、8cm
D、10cm
27、（2008•烟台）如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c 满足的关系式是（）
A、b=a+c
B、b=ac
C、b2=a2+c2
D、b=2a=2c
28、（2008•咸宁）如图，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；
②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中正确的是（）
A、②④
B、①④
C、②③
D、①③
二、填空题
1、（2008•潍坊）如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，P是BC边上一点，作PE ⊥AB于E，PD⊥AC于D，设BP=x，则PD+PE=__________________
2、（2011•台州）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE= 80°．
3、（2011•苏州）如图，巳知△ABC是面积为3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，
∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于3-34（结果保留根号）．
4、（2011•青岛）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn= 12n-1．
5、（2011•六盘水）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.80cm，下身长约93.00cm，她要穿约 6.98
cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到0.01cm）．
27、（2011•鸡西）如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011= 38•(14)2010（表示为(12)4023•3亦可）．
6、（2011•呼和浩特）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为157．
7、（2011•贵港）如图所示，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，点F 的坐标为（-1，1），点C 的坐标为（-4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 （2，0）或（-43，23）．
8、（2009•孝感）如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 144 ．
9、（2009•太原）如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割．已知AB=10cm ，则AC 的长约为 6.2cm （结果精确到0.1cm ）．
10、（2009•鸡西）如图，Rt △ABC 中，∠ACD=90°，直线EF ∥BD ，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ．若S △AEG=
3
1S 四边形EBCG ，则
AD
CF = 12．
11、（2009•湖州）如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…Sn．则Sn= _________S△ABC（用含n的代数式表示）．
12、（2009•德州）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是127或2．
13、（2008•温州）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A3B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．
14、（2008•荆门）如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是（1，0），（-5，-2）．
三、解答题
1、（2011•遵义）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0＜t＜10）．（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？
（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．
2、（2011•株洲）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO 的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
3、（2011•重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=23，点O是AB的中点，点P在AB 的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
4、（2011•岳阳）如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．
（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F 在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．
求证：BH•GD=BF2
（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．
探究：FD+DG= DB．请予证明．
5、（2011•扬州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动．同时，动点Q从点
N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ丄MP．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由：
（2）若∠ABC=60°，AB=43厘米．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式．
6、（2011•襄阳）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD 并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当APAB的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．
7、（2011•盐城）情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是AD，∠CAC′= 90°．
问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME 和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．
8、（2011•温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P 关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：DC=1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．
9、（2011•泰州）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l 分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．
10、（2011•泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC 的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．
11、（2011•南京）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
12、（2011•眉山）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD 于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．
13、（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、
B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
14、（2011•乐山）如图（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E 在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）．试探究线段EF与EG的数量关系．
（1）如图（2），当m=1，n=1时，EF与EG的数量关系是EF=EG．证明：
（2）如图（3），当m=1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是1nEG．证明：（3）如图（1），当m，n均为任意实数时，EF与EG的数量关系是1mnEG．（写出关系式，不必证明）
15、（2011•兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
16、（2011•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．
17、（2011•衡阳）如图，在矩形ABCD 中，AD=4cm ，AB=m （m ＞4），点P 是AB 边上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接PD ，过点P 作PQ ⊥PD ，交直线BC 于点Q ．
（1）当m=10时，是否存在点P 使得点Q 与点C 重合？若存在，求出此时AP 的长；若不存在，说明理由；
（2）连接AC ，若PQ ∥AC ，求线段BQ 的长（用含m 的代数式表示）； （3）若△PQD 为等腰三角形，求以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围．
18、（2011•包头）在Rt △ABC 中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处，将三角板绕点O 旋转，三角板的两直角边分别交AB ，BC 或其延长线于E ，F 两点，如图（1）与（2）是旋转三角板所得图形的两种情况．
（1）三角板绕点O 旋转，△OFC 是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△OFC 是等腰直角三角形时BF 的长）；若不能，请说明理由；
（2）三角板绕点O 旋转，线段OE 和OF 之间有什么数量关系？用图（1）或（2）加以证明；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P 处（如图（3）），当AP ：AC=1：4时，PE 和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．
19、（2011•巴中）已知如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 是AD ）的中点．连接BM 交AC 于N ．BM 的延长线交CD 的延长线于E ． （1）求证：
BC
AM EB
EM ；
（2）若MN=1cm ，BN=3cm ，求线段EM 的长．
20、（2010•烟台）如图，△ABC中AB=AC，BC=6，点D位BC中点，连接AD，AD=4，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由．
（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t ≤6）秒，平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围．
21、（2010•乌鲁木齐）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C 分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．
（1）当点E坐标为（3，0）时，试证明CE=EP；
（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）（t＞0），结论CE=EP 是否成立，请说明理由；
（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由．
22、（2010•威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．
﹙1﹚将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C=∠B1BC．
﹙2﹚若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F，试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．
﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形．
23、（2010•山西）在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=5
3．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
24、（2010•淮安）如（a）图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周．
（1）点C坐标是（3，4），当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是（9，4）；
（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；
（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如（b）图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似？（只考虑以点A、O为对应顶点的情况）
25、（2010•呼和浩特）如图，等边△ABC的边长为12cm，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=4cm，若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）设△EGA的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（2）在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否改变？若不变，求其值；若改变，请说明理由；
（3）请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．
26、（2010•河北）在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1=∠2=45°．
（1）如图1，若AO=OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO=OB ．求证：AC=BD ，AC ⊥BD ；
（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求AC BD
的值．
27、（2010•包头）如图，已知矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=a 厘米（a ＞4）．动点P 、Q 同时从C 点出发，点P 在线段CB 上以1厘米/秒的速度由C 点向B 点运动，点Q 在线段CD 上以相同的速度由C 点向D 点运动，过点P 作直线垂直于BC ，分别交BQ 、AD 于点E 、F ，当点Q 到达终点D 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）如图①，若a=5厘米，在运动过程中，当点E 在矩形ABCD 的对角线AC 上时，求t 的值；
（2）如图②，若a=6厘米，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得∠BFQ=90°？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若经过t 秒后，恰好使矩形ABPF 的面积与直角三角形BCQ 的面积相等，求a 的取值范围．
28、（2010•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，3），点D 为线段OA 上一点，且OD=25
．分别过A ，D 作AB ⊥y 轴于点B ，DC ⊥y 轴于点C ．反比例函数x
k
y 的图象经过点D ．
（1）求k 的值；
（2）求四边形ABCD 的面积？
29、（2009•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，点C （-3，0），点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且满足32
OB +|OA-1|=0．
（1）求点A 、点B 的坐标；
（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 由C 向B 运动，连接AP ，设△ABP 的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A ，B ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
30、（2009•鄂尔多斯）在△ABC 中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC 边的中点O 处（如图1），绕O 点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt △ABC 的两边AB ，AC 分别相交于点E ，F （如图2）．设BE=x ，CF=y ．
（1）探究：在图2中，线段AE 与CF 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
（2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC 边的中点O 处（如图3），绕O 点顺时针方向旋转，其他条件不变．
①试写出y 与x 的函数解析式，以及x 的取值范围；
②将三角尺绕O 点旋转（如图4）的过程中，△OEF 是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF 为等腰三角形时x 的值；若不能，请说明理由．
31、（2008•福州）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B 两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．
32、（2006•莱芜）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．
33、（2006•达州）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF的长．
34、（2005•扬州）等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC 于点E、F．
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．。