洛必达法则和导数应用

3
1 cos x cos 3 x 3 x cos 2 x sin x lim cos 1 x 0 6x2 1 cos x[sin x 3 x cos x sin x ] lim cos 1 x 0 6x2 1 cos x sin 2 x 3 x cos 2 x sin x lim[ ] 2 2 cos 1 x 0 6x 6x
x x
x
0 型 0
e x e x xe x 1 lim 12 x x 0 12
1 f ( x )在点x 0处可导, 且f (0) . 12
例4
x
lim ln(1 e
2x
2 ) ln(1 ) x
lim
ln(1 e
2x
)
注 本题可以用拉格朗日中值定理来证明
二. 函数的极值,最值
例11 若a1 0, an1 f (an )(n 1,2,3,), 其中函数
f ( x )可导，且 ( x ) 0，f ( x ) 0, f (0) 1，则 f
( A)• {an }单调递增； (B)• {an }单调递减； (C )• {a2n }单调递增 , {a2n1 }单调递减 ; ( D)• {a2n }单调递减 , {a2n1 }单调递增 .
x2 x2
x2 x2
x2
x2
lim (e t e t ) 2
t 0
解法二 lim e
e x 0 sec x cos x
x2 2 x2
x2
x2
e (e 1) lim x 0 sec x (1 cos 2 x )
e 2 x2 lim lim x 0 sec x x 0 sin 2 x
所以结论成立。
例10 若a 0, b 0，在[0, )上f ( x )单调增加，证明
f ( a ) f ( b ) f ( 0) f ( a b )
证明：即证当x 0时, f 0 f x b f x f b
令 F x f 0 f x b f x f b
1
x
2 ln(1 ) x
lim
2e
2x
1 e
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 1
x
2 ln(1 ) x
2
( 2 x 2 ) 2 1 x
2 2 ln(1 ) x x lim lim 2 1 2 1 4 x ( x 2 x ) x ( x 2 x )
d ln(1 x ) ln(1 x ) ln(1 x ) ln(1 0) ( x 0) dx xξ 1 x x 这里0 ξ x . 1 ξ
例9 设b a e, 证明b
ab
a .
ba
证明 原不等式等价于b ln a ln ln b a ln b ln ln a
(a2n1 a2n 3 ) f ( 2 ) f (1 )
a2n 2 a2n f (a2n1 ) f (a2n1 ) (a2n1 a2n1 ) f (1 )
1 (a2n1 , a2n1 )
0
2
例2 lim ( x 2 4 x x 2 6 x 2 x )
x
1 4t 1 6t 2 原式＝ lim ( ) 2 2 t t t t 0 1 4t 1 6t 2 ＝ lim t t 0 1 4 1 6 ＝ lim 2 1 4t 2 1 6t 1 t 0
x2
2.
例6
设f ( x )在点x 0处连续, 且f (0) 0, f (0) 1, f (0) 2, f (0) 3, f ( x) 计算极限 lim 2 x 0 x x
1 x2
.
f (0) 2 f ( ξ ) 3 解法一 : f ( x ) f (0) f (0) x x x 2! 3!
第五节 洛必达法则 导数的应用
罗比达法则的注意点
首先确认可以用罗比达法则(用前、用后)
尽量在用之前，使用等价代换 利用四则运算，适当分离非零因子，可以简化计算
罗比达法则并不是万能的
常见不等式
当x 0时， e x 1 x
ln(1 x ) x
sin x x
(1 x )n 1 nx
2(e x 1) 2 x x (e x 1) lim x 0 2 x 2 (e x 1)
2e 2 x xe lim x 0 2 x3
x
x x
x
0 型 0
2e 1 e xe lim 2 x 0 6x
e 1 xe lim 2 x 0 6x
1 x (1 ) e x
不等式证明的常用方法
中值定理 泰勒公式 单调性
凹凸性
一. 洛必达法则
2
例1
2
tan x x tan 2 x x 2 lim 2 lim 4 2 x 0 x cos(1 x ) x 0 x tan x cos(1 x )
tan 2 x x 2 1 1 tan 2 x x 2 lim lim lim 4 x 0 x 0 cos(1 x ) x cos 1 x 0 x4
1 exp 2
1 e2
解法二 : 1
f ( x) x2 lim 2 x 0 x x
1 型

f ( x) x2 x exp lim 3 x 0 x ( x 1)
f ( x) x2 x exp lim 3 x x 0
2
解法二 lim ln(1 e
x
2x
2 ) ln(1 ) x
2x
原式 lim ln(1 e
x
2 ) x
2e 2 lim x 1 e 2 x
4
2x
e e 例5 计算 lim x 0 secx cos x
e e e e lim lim 2 x 0 1 cos x x 0 secx cos x cos x x2 x2 x2 t e e et et lim cos x lim 2 x x 0 t t 0
设f ( x ) x ln a ln ln x a ln x ln ln a
1 a f ' ( x ) ln a x ln x x a 1 (ln a ) 0( x a ). x x ln x
所以，f ( x )单调递增，
f (b) f (a ) 0
例7 计算 lim
令
e sinx sin x e x cos x x cos x x3
x 0
f ( u) e u u
f ( u) ( u 1)e u
原式 lim
(1 )e (sin x x cos x ) x3

x 0
介于 sin x 和 x cos x之间
(•D )
若a1 0, an1 f (an )(n 1,2,3,), 其中函数 f ( x )可导，且 ( x ) 0，f ( x ) 0, f (0) 1，则 f
a2n1 a2n1 f (a2n ) f (a2n 2 ) (a2n a2n 2 ) f (1 )
1 ( a 2 n , a 2 n 2 ) [ f (a2n1 ) f (a2n 3 )] f (1 )
2 (a2n1 , a2n 3 )
a2n1 a2n1与a2n1 , a2n 3同号 数列{a2n1 }单调 a2 f (a1 ) f (0) 1 a3 a1 f (a2 ) f (1) 0 {a2n1 }单调增
0 型 0
f ( x ) 2 x 1 exp lim x 0 3x2
f ( x ) 2 exp lim f ( x ) exp lim x 0 6 6x x 0
1 e2
则 F 0 0
且 F ' x f ' x b f ' x 0 F x 单调递增.
当x 0时, F x F 0 0
a 0, F a 0 .
即f 0 f a b f a f b
1 型

1 f ( x) f ( x) 1 exp lim 2 ln 2 1 2 exp lim 2 x 0 x x 0 x x x x x
f ( ξ ) f ( x) x2 x exp lim exp lim 3 x 0 x 0 6 x ( x 1)
sin x 1 x 2 2 1 1 2 tan x sec x 2 x lim cos x cos3 x lim cos 1 x 0 2x cos 1 x 0 4x3
1 sin x x cos x lim cos 1 x 0 2 x 3 cos 3 x 1 sin x x cos 3 x 1 lim lim 3 x 0 cos 3 x cos 1 x 0 2x
1 令t x
5
例3
1 1 x e x 1, 讨论函数f ( x ) 1, 2
在 x = 0点处的可导性
x 0, x0
1 1 1 x f ( x ) f ( 0) x e 1 2 解 : lim lim x0 x 0 x0 x 0
1 tan 2 x x 2 lim cos 1 x 0 x4 1 tan x x tan x x lim lim 3 x 0 cos 1 x 0 x x
2 2 tan 2 x 2 sec x 1 lim lim 2 2 3 cos 1 cos 1 x0 3 x cos 1 x 0 3 x
1 x x f ( ξ ) x 3 ( ξ在0, x之间) 6 f ( x ) f ( x) 0 lim lim 2 型 x 0 2 x 1 1 x 0 x x 0
2
f ( x) lim 2 x 0 x x
1 x2
lim (1 )e lim
x 0
sin x x cos x x3
x 0
lim
x sin x 3 x2
x 0
1 3
二.不等式的证明
例8 设x 0, 证明(1
1 x) x
e
ln(1 x) 证明：原不等式等价于 1 x
即ln(1 x ) x
在[0，x ]上对ln(1 x )应用中值定理：
2
2 3 cos 1
解法二
tan 2 x x 2 lim 2 x 0 x tan 2 x cos(1 x ) tan 2 x x 2 lim 4 x 0 x cos(1 x ) tan 2 x x 2 1 lim lim 4 x 0 x 0 cos(1 x ) x