江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)

江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题
1．若复数是纯虚数,则实数a 的值为( )A.0
B.1
C.-1
D.2．下列特征数中,刻画一组数据离散程度的是( )A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
3．已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为( )A.
C. D.
4．已知向量,,若,则( )
5
．一个水果盘子里有2
个苹果和3个桃子,从盘中任选
2个,则选中的水果品种相同的概率为( )6．若
( )
A.
7．某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度,在旗杆底部
O 的正东方向A 处
,测得旗杆顶端P 的仰角为,
在A 的南偏西
方向上的B 处,测得P 的仰角为（O ,A ,B
在同一水平面内）( )A.10m
B.14m
C.17m
D.20m
A. B. C. D.二、多项选择题
9．记的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．下列命题为真命题的是( )
()21i z a a =+-1
±π
2π()2,4a =-()1,b x =//a b
||b = πcos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭π26α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭60 30 45 ≈ 1.7≈tan tan B C =+∞⎫+⎪⎪⎭
⎫+∞⎪⎪⎭
()1,+∞()
2,+∞ABC △
A.若,则为直角三角形
B.若,则为等腰三角形
C.若,则为等腰三角形
为等腰直角三角形
10．已知a,b,c为三条直线,,,为三个平面．下列命题为真命题的是( ) A.若,,则 B.若,,,则
C.若,,则
D.若,,,则
11．一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球（标号为
1和2）,2
个白色球（标号为3和4）
,从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同
”,“两个球标号的和为奇数”,“
两个球标号都不小于2”,则( )
A.A与B互斥
B.A与C相互独立
C. D.
三、填空题
12．样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为______________．
13．已知向量,,向量在,则______________．
四、双空题
14．以棱长为2的正方体的六个面为底面,分别向外作形状相同的正四棱锥,得到一个多
数为____________．
五、解答题
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,．
（1）求B;
（2）若,求．
16．如图,在四棱锥中,底面是菱形,平面,E,F分别是棱,的中点．
222
sin sin sin
A B C
+=ABC
△
sin sin
a A
b B
=ABC
△
cos cos
a A
b B
=ABC
△
cos B
b
==ABC
αβγ
a c
⊥b c
⊥//
a b//
aαaβ
⊂b
αβ=
//
a b
aα
⊥aβ
⊂αβ
⊥αγ
⊥βγ
⊥a
αβ=
aγ
⊥
A=
B=C=
()()()
P AB P AC P A
+=()()()()
P ABC P A P B P C
=
a
2a
b
a b⋅=
ABC
△222
a c b
+=+
c=tan C
P ABCD
-ABCD PA⊥ABCD BC AP
（1）证明：;（2）证明：平面．
17．某班学生日睡眠时间（单位：h ）频率分布表如下：
;
（2）用比例分配的分层随机抽样方法,从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在的概率．
18．已知的面积为9,点D 在BC 边上,．（1）若
,①证明：;②求AC ;
（2）若,求AD 的最小值．
19．如图,等腰梯形ABCD 为圆台的轴截面,E ,F 分别为上下底面圆周上的点,且B ,E ,D ,F 四点共面．
的PC BD ⊥//EF PCD [)7,7.5[]8.5,9[77.5)，ABC △2CD DB =cos BAC ∠=
AD DC =sin 2sin ABD BAD ∠=∠AB BC =1OO
（1）证明：;
（2）已知,,四棱锥的体积为3．①求三棱锥的体积;
②当母线与下底面所成的角最小时,求二面角的正弦值．
//BF DE 2AD =4BC =C BEDF -B ADE -C BF D --
参考答案
1．答案：A
解析：根据题意,复数是纯虚数,所以且,解得.故选：A.2．答案：D
解析：平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量,
方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量,即刻画一组数据离散程度.故选：D.3．答案：B
解析：根据题意圆锥的母线长
即可求得．故选：B.4．答案：B
解析：因为,
所以,即所以,所以所以
故选：B.5．答案：C
解析：根据题意,设2个苹果分别记为：1和2,3个桃子编号为A ,B ,C ,
从盘中任选两个,可得,,,,,,,,,共10种情况．
选中的水果品种相同的选法有：,
,
,有4种．故选：C.6．答案：B
()21i z a a =+-0a =210a -≠0a =l ==πrl 侧＝π1S ⨯=侧＝//a b =a b λ
()()()()2,4=2,4=1,,x x λλλ⇒--2==2
4==2
x x λλλ--⎧⎧⇒⎨⎨
-⎩⎩()1,2b =- ||b ==
()1,2()1,A ()1,B ()1,C ()2,A ()2,B ()2,C (),A B (),A C (),B C ()1,2(),A B (),A C (),B C =
解析：令,,则
令
所以故选：B.7．答案：C
解析：如图,设米,则
米.在中,由题意可得,,
由余弦定理可得
解得米.故选：C.8．答案：A
,
所以
π3x α=-π2
cos 33
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos x =2y α=π
22
y x =-2
2ππ21sin 2sin sin 2cos 22cos 1216239y x x x α⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-==-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
OP h =tan 60h OA =
= tan 45h
h ==
OAB △60OAB ∠= 2
cos cos 60OAB ∠== 17h =≈tan tan B C =+()sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos B C B C B C B C A B C B C B C B C
++=+===
cos B =
=
又因为三角形ABC 为锐角三角形,所以所以
,故选：
A.9．答案：
ABD
解析：对于A,若,由正弦定理得,所以
为直角三角形,故A 正确;
对于B,若,由正弦定理得,所以,所以为等腰三角形,
故B 正确;
对于C,若,由正弦定理得,
所以或,
即或
是等腰或直角三角形,故C 错误
;,所以,,即
为等腰直角三角形,故D 正确;故选：ABD.10．答案：BCD
解析：对于A 选项,令,,若,则一定有,,而在同一平面的a ,b 两条直线可以平行,也可以相交,故A 错误;对于B 选项,这是线面平行的性质定理,故B 正确;对于C 选项,这是面面垂直的判定定理,故C 正确;
()πsin sin 13tan cos cos 2A A B A A A ⎛
⎫+ ⎪+⎝⎭====+
ππ00ππ222ππ
π6200322A A A A C ⎧
⎧
<<
<<⎪
⎪⎪
⎪⇒⇒<<⎨
⎨
⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩
tan A ⎫
∈+∞⎪⎪⎭
1tan 2A ⎫=++∞⎪⎪⎭
222sin sin sin A B C +=222a b c +=C =
ABC △sin sin a A b B =22a b =a b =ABC △cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B =1
2sin 22
A B =22A B =22πA B +=A B =A B +=ABC cos B b ==cos cos sin sin B C
B C
==
cos sin B B =cos sin C C =B ==ABC a α⊂b α⊂c α⊥a c ⊥b c ⊥
对于D 项,设,,过平面内一点A ,分别作,,如图所示,
因为,,,,所以,又因为,所以,同理：,又因为,、,所以,故D 项正确.故选：BCD.11．答案：BC
解析：根据题意,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,则,
,,
所以有
对于A,,事件A 、B 可以同时发生,则A 、B 不互斥,A 错误;对于B,,A 、C 相互独立,B 正确;对于C,,C 正确;对于D,,D 错误．故选：BC ．12．答案：11
解析：首先对数据从小到大进行排序：7,8,10,11,12,13,15,17,共有8个数据
m αγ= l βγ= γAB m ⊥AC l ⊥αγ⊥m αγ= AB γ⊂AB m ⊥AB α⊥a α⊂AB a ⊥AC a ⊥AB AC A ⋂=AB AC γ⊂a γ⊥()()()()()(){}Ω=1,21,31,42,32,43,4、、、、、()()()(){}()()()(){}1,31,42,32,4,1,2142334A B ==、、、、,、,、,()()(){}2,32,43,4C =、、()(){}()(){}()(){}1,42,3,2,32,4,2,33,4AB AC BC ===、、、(){}2,3ABC =()46P A =
=()46B ==()31
62
C ==()26P AB =
=()26AC ==()16
P ABC =()(){}1,42,3AB =、()()()=P A P C P AC ()()()+=P AB P AC P A ()()()()P ABC P A P B P C ≠
,
所以这个样本数据的第40百分位数为第四位,即11,故答案为：11.13．答案：2
解析：由已知向量在
,
.
所以故答案为：2.
14．答案：①.16②.12
解析：根据题意,如图,以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥,
取底面中心O ,中点E ,
因为平面,平面,所以,又,,,平面,所以平面,则
所以,
从而该多面体的体积为,
考虑到四棱锥的侧面夹角为
.故答案为：16;12.15．答案：（1）（2）-2
的840% 3.2⨯=a b
1,2b a b b b ⋅=
,1a b = ()
cos ,cos ,2
a b a b a b a a b b ⋅==⋅= P ABCD -CD PO ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD PO ⊥CD PE ⊥PO PE P = PO PE ⊂POE CD ⊥POE PEO ∠=1h PO ==1
2226221163
V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=π12=π4
B =
解析：（1）,
故
因,所以
（2）设,,代入
中,
,故,
解得,
由余弦定理得
则
故.
16．答案：（1）见解析（2）见解析
解析：（1）连接
,交于点O ,由四边形是菱形得,因为平面,平面,所以,
因为,,,,平面,所以平面,又平面,所以．（2）连接,,
因为四边形是菱形,所以点O 为,中点,又E ,F 分别是棱,的中点,所以,,
因为平面,平面,所以平面,同理可得平面,因为,平面,且,
为222222a c b a c b +=+⇒+-=222cos 2a c b B ac +-===
()0,πB ∈B =
a t =c =222a c
b +=+2228t t b +=+⋅225b t =b =222cos 2a b
c C ab +-===sin C ==sin tan 2cos C
C C ===-AC B
D ABCD AC BD ⊥PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥PA BD ⊥AC BD ⊥PA AC A = PA AC ⊂PAC BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD PC ⊥O
E O
F ABCD AC BD BC AP //FO PC //OE CD PC ⊂PCD FO ⊄PCD //FO PCD //EO PCD EO FO ⊂EFO EO FO O =
所以平面平面,又平面,所以平面．
17．答案：（1）
解析：（1）因为容量,
所以,,
;（2）由（1）知,该班日睡眠时间在和频率比为,由比例分配的分层随机抽样方法,分别从和两组的学生中抽取2人,3人,记中抽取的2人为a ,b ,中抽取的3人为c,d,e ,设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件A ,则,,
所以A 发生的概率
所以2人中至少有1人的日睡眠时间在
18．答案：（1）证明见解析,（2）
4
解析：（1）①因为,,所以,在//EFO PCD EF ⊂EFO //EF PCD 8.03h
200.450n =÷=500.126y =⨯=50(4206)20x =-++=()7.2547.75208.25208.756⨯+⨯+⨯+⨯()()12915516552.58.03h 50
=⨯+++=[)7,7.5[]8.5,92:3[)7,7.5[]8.5,9[)7,7.5[]8.5,9[)7,7.5{}(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e Ω={}(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,)A a b a c a d a e b c b d b e =()P A =AC =2CD DB =AD DC =2AD DB =△=
所以;②设,则
因为,所以
设,因为,所以,
在中,,
由①知,
所以,
所以,整理得,又因为,,所以
因为,所以,在中,因为,,
所以,所以,则,所以
（2）记的内角为A ,B ,C ,所对边为a ,b ,c ,
因为,
所以,所以,在中,因为,
所以由余弦定理可得,
整理得,
sin sin 2sin AD ABD BAD BAD BD
∠=⨯∠=∠BAC θ∠=cos θ=
0πθ<<sin θ==C α∠=AD DC =C CAD α∠=∠=ABD △π,B BAD θαθα∠∠=--=-sin 2sin ABD BAD ∠=∠sin()2sin()θαθα+=-sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin θαθαθαθα+=-cos 4sin αα=22sin cos 1αα+=0πα<<sin αα==2CD DB =263
ACD ABC S S ==△△ACD △AD DC =C α∠=cos 2AC AD α=2cos AC AD AC α==21sin 62ACD S AD AC AC α=⨯⨯⨯== AC =ABC △2CD DB =()22213333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+ 222414cos 999
AD c b bc BAC =++∠ ABC △AB BC =2222cos c c b bc BAC =+-∠2cos c BAC b ∠=c =
因为,所以
所以,所以,当且仅当
所以AD 的最小值为
4.19．答案：（1）证明见解析
解析：（1）证明：在圆台中,平面平面,因为平面平面,平面平面,所以;
（2）①将圆台的母线延长交于一点P ,
连接,延长交底面于点Q ,连接,,在圆台中,平面平面,
因为平面平面,平面平面,所以,又由（1）可知,所以,
又,,,,,平面,
1sin 92ABC S bc BAC =∠=△bc =2
36cos sin BAC b BAC ∠=∠22294cos cos sin b c BAC BAC BAC ==∠∠∠22412cos 412cos sin cos sin sin cos BAC BAC AD BAC BAC BAC BAC BAC
∠+∠=+=∠∠∠∠∠ 224sin 16cos sin cos BAC BAC BAC BAC
∠+∠=∠∠sin 4cos 416cos sin BAC BAC BAC BAC ∠∠⎛⎫=+≥ ⎪∠∠⎝⎭sin BAC ∠=BAC ∠=1OO //ADE BFC BEDF ADE DE =BEDF BFC BF =//BF DE 1OO PE PE BQ CQ 1OO //ADE BFC PCQ ADE DE =PCQ BFC CQ =//ED CQ //BF ED //BF CQ CF BF ⊥BQ CQ ⊥BF CF BQ CQ ⊂BFC
所以,所以四边形为平行四边形,所以,在圆台中,,,
所以,所以,连接,交
所以A ,C 到平面
所以②在等腰梯形中,过点D 作边的垂线,垂足为G ,在平面内过点G 作的平行线交于点H ,连接,易得,因为平面,所以平面,所以为母线与下底面所成角,
因为,,所以,所以,要使最小,只要最小即可,
因为,所以,所以,设,因为为圆的直径,
所以,所以,
,所以,当且仅当
所以因为,,所以,
因为平面,平面,所以,因为,,平面,所以平面,所以,因此为二面角的平面角,
//BQ CF BFCQ BF CQ =1OO 2AD =4BC =AD BC ==AD BC ==2BDF BDE S S = 223
D BFC C BDF C BEDF V V V ---===AC AD BC ==BEDF 1124B AD
E A BDE C BED C BD
F V V V V ----====ABCD BC D
G BFC CF G
H BF DH 1//DG OO 1OO ⊥BFC DG ⊥BFC DCG ∠2AD =4BC =1CG =tan DCG DG ∠=DCG ∠DG 2D BFC V -=123
D BFC BFC V S DG -=⋅=△Δ6BFC DG S =CBF θ∠=BC 1O BF FC ⊥4sin FC θ=4cos FB θ=Δ14sin 242BFC S FC FB θ=
⋅=≤θ=BF ==DG CF BF ⊥//CF GH GH BF ⊥DG ⊥BCF BF ⊂BCF DG BF ⊥DG HG G = DG HG ⊂DGH BF ⊥DGH BF DH ⊥DHG ∠C BF D --
在
因为平面,平面,所以,
在中,
由勾股定理得
所以二面角
BCF △
BG
BC
===
DG⊥BFC HG⊂BFC DG HG
⊥
Rt DGH
△DH=DHG
∠=
C BF
--。