第六章工程力学
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30
[例6-7] 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内 求：力P对三个坐标轴的矩
解：①选研究对象；②画受力图；③选坐标列方程。
Pz P sin45 Pxy P cos45 Px Pcos45sin60 Py P cos45cos60
31
mz (P) mz (Px ) mz (P y ) mz (Pz ) 6 Px (5 Py ) 0
力对轴的矩的解析表达式
15
例6-2
手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如
图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果
CD=b，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等
于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。
16
解：应用合力矩定理求解。由于力与轴平行或相交时力对该轴 的矩为零，则有 M x F M x Fz Fz AB CD F l b cos M y F M y Fz Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD F l b sin
除基本式外，平衡 方程也有四矩式、五矩式和六矩式。
18
二、空间特殊力系的平衡方程
空间任意力系的平衡方程，是平衡方程的最一般的形式。其 它各种力系的平衡方程，都是空间任意力系平衡方程的特例。
1、空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 F 0 z
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个 坐标轴上的投影的代数和分别为零。 可见，空间汇交力系共有三个独立的平衡方程，可求解三 个未知量。
23
例6-5 在图中胶带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力 F = 2 000 N。已知胶带轮的直径 D=400 mm ，曲柄长 R=300 mm ，胶带 1 和胶带 2 与铅垂线间夹角分别为 和 β, =30o , β =60o ，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。
24
32
已知：Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm ，各尺寸如图。 求： (1) Fr , F （2）A、B处约束力 （3）O 处约束力 例6-8
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
33
F
结果：FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
M F 0 488 76 FBx 76F 388Fx 30 Fy
z
0
34
又： Fr 0.36 F , 结果：F 10.2kN,
FAx 15.64kN,
Fg 3.67kN,
FAz 31.87kN,
FBx 1.19kN,
FBy 6.8kN, FBz 11.2kN,
x 注意：空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影则是 矢量。 与平面力系一样，空间力在坐标轴上的投影也是一个基本 计算，应熟练掌握。其中二次投影法用得较多。
6
Fx F sin g cos Fy F sin g sin Fz F cos g
g
O
F
Fxy
y
解：以整个轴为研究对象，画受力图
列平衡方程
Fx 0 F
y
FAx FBx 0 F sin 60 F1 sin 30 2
0
00
F1 cos30 F2 cos 60 FAz F FBz 0
25
F
z
0
M F 0
x
M F 0 M F 0
19
例6-3 物重P=10kN，CE=EB=DE ， 30，求杆受力及绳拉力。
解：画受力图如图，列 平衡方程
F
F F
0
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
y
0
FA sin 30 F1 cos 45 cos30 F2 cos 45 cos30 0
0 F 0 M F M F 0
z
x y
F1 P FA FB FD 0 F1 0.2 P 1.2 FD 2.2 0 F1 0.8 P 0.6 FD 0.6 FB 1.2 0
解方程得
FD 5.27 kN FB 8.03 kN FA 4.7 kN
研究对象2：工件受力图如图 列平衡方程
F F
x y
0 0
FOxቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Fx 0
FOy Fy 0
F
z
0
FOz Fz 0
35
M F 0
x
M x 100 FZ 0
M y 30 FZ 0
M F 0
y
M F 0
z
M z 100 Fx 30 Fy 0
4、
如果已知空间力的各投 影量的大小也可以求出力的 大小和方向，即：
Fx Fz Fy
F FX FY FZ
2 2
2
FX FY FZ cos ,cos ,cos g F F F
7
例6-1 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力 Fn 的作用。已知 斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 ，试求力 F 沿 n x，y 和 z
200Z B 300 Pz 50Q sin 20 0, Z B 2040(N)
F
Z
0;
Z A ZB Pz Q sin 20 0, Z A 385(N)
29
方法(二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平
面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。
F F
x
0
0 0
F FBx FAx Fx 0
y
FBy Fy 0
F FBz FAz Fz 0
z
x
M F 0
M F 0
y
488 76 FBz 76 Fg 388Fz 0
F R Fz r 0
FA cos 30 P F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 0
FA 8.66kN
20
z
解得： F1 F2 3.54kN
2、空间平行力系的平衡方程
设各力平行于z 轴，则空间任意力系的6 个平衡方程中有3个恒为零，即
F
i 1
n
xi
1
§6–1 工程中的空间力系问题
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力
系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系；
(b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
3
§6-2
力在空间坐标轴上的投影 1.力在空间的表示：
力的三要素： 大小、方向、作用点(线) 大小： F F
g
O
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向： Fxy
由、、g三个方向角确定
由仰角 与俯角 来确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：
FX F cos , FY F cos , FZ F cos g
5
3、
间接（二次）投影法
z
Fxy F sin g
z
一、力对轴之矩的概念
力使物体绕某一轴转动效应的 度量，称为力对该轴的矩。
F
Fz
d
Fxy
M z ( F ) M O ( F xy )
力对轴的矩的定义
Fxy d
力对轴之矩是代数量
10
一、力对轴之矩的概念
M z ( F ) Fxy d
正负号规定
或用右手法则来判定
M
y
0;
Pz 50 100 Qx 0,Q 746(N)
28
300 P 50 P 200 X 50 Q cos 20 0, X B 437(N) M 0; x y B z
M
F
X
x
0;
0;
X A X B Px Q cos 20 0, X A 729(N)
空间力系的合力矩定理：空间力系的合力对某一轴的矩， 等于力系中各分力对同一轴的矩的代数和。
Mx
FR M x F1 M x F2 M x Fn Mx
即
F M F
R x i
14
三、力对轴之矩的解析表达式
先看对z轴的矩:
[例6-6] 已知: RC=100mm,
Py=352N, Pz=1400N
RD=50mm,
Px=466N,
求：平衡时(匀速转动)力Q=？ (Q力作用在C轮的最低点）和轴承A , B的约束反力？ 解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程
最好使每一个方程
有一个未知数，方便求 解。
27
由 FY 0; YA Py 0,YA Py 352(N)
0,
F
i 1
n
yi
0,
M z (F i ) 0
n i 1
则空间平行力系的平衡方程：
F 0 M
z
x
0
M
y
0
21
例6-4 如图所示三轮小车，自重Ｐ = 8 kN，作用于E点， 载荷F1 = 10 kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束 力。
22
解： 以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行 力系，受力分析 如图。 列平衡方程
11
[思考] 在什么情况下
M z (F ) 0
d
M z ( F ) Fxy d
(1) Fxy = 0 (2) d = 0
当力与轴共面时，力对该轴的矩等于零。
12
平行于 z 轴 F F 作用线通过 z 轴
F 与z轴共面
力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
13
二、合力矩定理
轴的投影。
8
解： 将力 Fn 向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin
Fxy Fn cos
将力 Fxy向x，y 轴投影
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
9
§6–3 力对轴之矩
17
§6–4 空间力系的平衡方程
一、空间任意力系的平衡方程
空间任意力系的平衡方程为：
F
x
0
x
F
y
y
0
0
F
z
z
0
0
M
0
M
M
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中 每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐 标轴的矩的代数和也等于零. 空间任意力系有六个独立的平衡方程，可解六个未知量。
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O (F x ) M O (F y ) y Fx x F
y
类似地，有：
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
m x ( P ) m x ( P x ) m x ( P y ) m x ( P z ) 0 0 6 Pz 6 Psin45 84.8( Nm)
6 P cos 45 sin 60 5P cos 45 cos 60 38.2(N m)
my (P ) m y ( P x )m y ( P y )m y ( P z ) 0 05Pz 5Psin4570.7( Nm)
y
z
F1 cos30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBz 400 0
D F2 F1 F R 0 2
F1 sin 30 200 F2 sin 60 200 FBx 400 0 解得： F1 3000N, F2 6000N, FAx 1004N, FAz 9397N, FBx 3348N, FBz 1799N, 26
[例6-7] 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内 求：力P对三个坐标轴的矩
解：①选研究对象；②画受力图；③选坐标列方程。
Pz P sin45 Pxy P cos45 Px Pcos45sin60 Py P cos45cos60
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mz (P) mz (Px ) mz (P y ) mz (Pz ) 6 Px (5 Py ) 0
力对轴的矩的解析表达式
15
例6-2
手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如
图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果
CD=b，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等
于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。
16
解：应用合力矩定理求解。由于力与轴平行或相交时力对该轴 的矩为零，则有 M x F M x Fz Fz AB CD F l b cos M y F M y Fz Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD F l b sin
除基本式外，平衡 方程也有四矩式、五矩式和六矩式。
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二、空间特殊力系的平衡方程
空间任意力系的平衡方程，是平衡方程的最一般的形式。其 它各种力系的平衡方程，都是空间任意力系平衡方程的特例。
1、空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 F 0 z
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个 坐标轴上的投影的代数和分别为零。 可见，空间汇交力系共有三个独立的平衡方程，可求解三 个未知量。
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例6-5 在图中胶带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力 F = 2 000 N。已知胶带轮的直径 D=400 mm ，曲柄长 R=300 mm ，胶带 1 和胶带 2 与铅垂线间夹角分别为 和 β, =30o , β =60o ，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。
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已知：Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm ，各尺寸如图。 求： (1) Fr , F （2）A、B处约束力 （3）O 处约束力 例6-8
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
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F
结果：FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
M F 0 488 76 FBx 76F 388Fx 30 Fy
z
0
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又： Fr 0.36 F , 结果：F 10.2kN,
FAx 15.64kN,
Fg 3.67kN,
FAz 31.87kN,
FBx 1.19kN,
FBy 6.8kN, FBz 11.2kN,
x 注意：空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影则是 矢量。 与平面力系一样，空间力在坐标轴上的投影也是一个基本 计算，应熟练掌握。其中二次投影法用得较多。
6
Fx F sin g cos Fy F sin g sin Fz F cos g
g
O
F
Fxy
y
解：以整个轴为研究对象，画受力图
列平衡方程
Fx 0 F
y
FAx FBx 0 F sin 60 F1 sin 30 2
0
00
F1 cos30 F2 cos 60 FAz F FBz 0
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F
z
0
M F 0
x
M F 0 M F 0
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例6-3 物重P=10kN，CE=EB=DE ， 30，求杆受力及绳拉力。
解：画受力图如图，列 平衡方程
F
F F
0
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
y
0
FA sin 30 F1 cos 45 cos30 F2 cos 45 cos30 0
0 F 0 M F M F 0
z
x y
F1 P FA FB FD 0 F1 0.2 P 1.2 FD 2.2 0 F1 0.8 P 0.6 FD 0.6 FB 1.2 0
解方程得
FD 5.27 kN FB 8.03 kN FA 4.7 kN
研究对象2：工件受力图如图 列平衡方程
F F
x y
0 0
FOxቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Fx 0
FOy Fy 0
F
z
0
FOz Fz 0
35
M F 0
x
M x 100 FZ 0
M y 30 FZ 0
M F 0
y
M F 0
z
M z 100 Fx 30 Fy 0
4、
如果已知空间力的各投 影量的大小也可以求出力的 大小和方向，即：
Fx Fz Fy
F FX FY FZ
2 2
2
FX FY FZ cos ,cos ,cos g F F F
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例6-1 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力 Fn 的作用。已知 斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 ，试求力 F 沿 n x，y 和 z
200Z B 300 Pz 50Q sin 20 0, Z B 2040(N)
F
Z
0;
Z A ZB Pz Q sin 20 0, Z A 385(N)
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方法(二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平
面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。
F F
x
0
0 0
F FBx FAx Fx 0
y
FBy Fy 0
F FBz FAz Fz 0
z
x
M F 0
M F 0
y
488 76 FBz 76 Fg 388Fz 0
F R Fz r 0
FA cos 30 P F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 0
FA 8.66kN
20
z
解得： F1 F2 3.54kN
2、空间平行力系的平衡方程
设各力平行于z 轴，则空间任意力系的6 个平衡方程中有3个恒为零，即
F
i 1
n
xi
1
§6–1 工程中的空间力系问题
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力
系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系；
(b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
3
§6-2
力在空间坐标轴上的投影 1.力在空间的表示：
力的三要素： 大小、方向、作用点(线) 大小： F F
g
O
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向： Fxy
由、、g三个方向角确定
由仰角 与俯角 来确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
由图可知：
FX F cos , FY F cos , FZ F cos g
5
3、
间接（二次）投影法
z
Fxy F sin g
z
一、力对轴之矩的概念
力使物体绕某一轴转动效应的 度量，称为力对该轴的矩。
F
Fz
d
Fxy
M z ( F ) M O ( F xy )
力对轴的矩的定义
Fxy d
力对轴之矩是代数量
10
一、力对轴之矩的概念
M z ( F ) Fxy d
正负号规定
或用右手法则来判定
M
y
0;
Pz 50 100 Qx 0,Q 746(N)
28
300 P 50 P 200 X 50 Q cos 20 0, X B 437(N) M 0; x y B z
M
F
X
x
0;
0;
X A X B Px Q cos 20 0, X A 729(N)
空间力系的合力矩定理：空间力系的合力对某一轴的矩， 等于力系中各分力对同一轴的矩的代数和。
Mx
FR M x F1 M x F2 M x Fn Mx
即
F M F
R x i
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三、力对轴之矩的解析表达式
先看对z轴的矩:
[例6-6] 已知: RC=100mm,
Py=352N, Pz=1400N
RD=50mm,
Px=466N,
求：平衡时(匀速转动)力Q=？ (Q力作用在C轮的最低点）和轴承A , B的约束反力？ 解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程
最好使每一个方程
有一个未知数，方便求 解。
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由 FY 0; YA Py 0,YA Py 352(N)
0,
F
i 1
n
yi
0,
M z (F i ) 0
n i 1
则空间平行力系的平衡方程：
F 0 M
z
x
0
M
y
0
21
例6-4 如图所示三轮小车，自重Ｐ = 8 kN，作用于E点， 载荷F1 = 10 kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束 力。
22
解： 以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行 力系，受力分析 如图。 列平衡方程
11
[思考] 在什么情况下
M z (F ) 0
d
M z ( F ) Fxy d
(1) Fxy = 0 (2) d = 0
当力与轴共面时，力对该轴的矩等于零。
12
平行于 z 轴 F F 作用线通过 z 轴
F 与z轴共面
力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
13
二、合力矩定理
轴的投影。
8
解： 将力 Fn 向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin
Fxy Fn cos
将力 Fxy向x，y 轴投影
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
9
§6–3 力对轴之矩
17
§6–4 空间力系的平衡方程
一、空间任意力系的平衡方程
空间任意力系的平衡方程为：
F
x
0
x
F
y
y
0
0
F
z
z
0
0
M
0
M
M
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中 每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐 标轴的矩的代数和也等于零. 空间任意力系有六个独立的平衡方程，可解六个未知量。
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O (F x ) M O (F y ) y Fx x F
y
类似地，有：
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
m x ( P ) m x ( P x ) m x ( P y ) m x ( P z ) 0 0 6 Pz 6 Psin45 84.8( Nm)
6 P cos 45 sin 60 5P cos 45 cos 60 38.2(N m)
my (P ) m y ( P x )m y ( P y )m y ( P z ) 0 05Pz 5Psin4570.7( Nm)
y
z
F1 cos30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBz 400 0
D F2 F1 F R 0 2
F1 sin 30 200 F2 sin 60 200 FBx 400 0 解得： F1 3000N, F2 6000N, FAx 1004N, FAz 9397N, FBx 3348N, FBz 1799N, 26