系统稳定性及其李雅普诺夫稳定

第四章系统稳定性及其李雅普诺夫稳定
4－1 稳定性一般概念
对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地发挥作用的。

从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。

系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。

外部稳定又称作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。

输出稳
定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。

系统内部稳定主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。

当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。

在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。

因此经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。

系统的稳定性是系统本身的特性，与系统的外部输入（控制）无关。

在经典控制论中，我们通过研究线性定常系统的特征根的情况来判断系统的输出稳定性：如果系统的特征根都有负的实部（即都在复平面的左部），则系统输出稳定。

对于n阶线性连续系统，其特征方程为：
…………………………（4－1）
当n≥4时，要求出其所有特征根是非常困难的，从而要想通过解出高阶系统的特征根来判别系统稳定性也是不现实的。

所以1877年劳斯（Routh）和1895年霍尔维茨（Hurwitz）分别提出了有名的劳斯－霍尔维茨稳定判据，它可以通过
线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。

有关Routh-Hurwitz判据的详细内容请参阅有关经典控制论教材。

当系统不是线性定常系统时，或者对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好解决了，这就需要下面介绍的李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性的理论。

4－2 李雅普诺夫稳定性定义
4－2－1 系统的平衡状态
设控制系统的齐次状态方程为：
…………………………………………………（4－2）
其中，X(t)为系统的n维状态向量，f是有关状态向量X以及显式时间t的n维矢量函数，f不一定是线性定常的。

如果对于所有t，状态X e总满足：
……………………………………………………………………………………(4－3)
则我们称X e为系统的平衡状态。

对于一般控制系统，它可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。

如果系统是一个线性定常系统，即：
那么当A为非奇异时，X e=0是系统的唯一平衡状态；当A为奇异矩阵时，AX=0有无数解，也就是系统有无数个平衡状态。

系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。

对系统矩阵A 非奇异的线性定常系统，X e =0是系统的唯一平衡状态，所以对线性定常（LTI ）系统，我们一般笼统用X e 的稳定性代表系统稳定性。

4－2－2 李雅普诺夫稳定
假设（4－2）所示一般控制系统的解为：
……………………………………………………………
… (4－4)
它是与初始时间t 0及其初始状态X 0有关的，体现系统状态从（t 0，X 0）出发的一条状态轨迹。

设X e 为系统的一个平衡点，如果给定一个以X e 为球心，以ε为半径的n 维球域S(ε)，总能找到一个同样以X e 为球心，δ（ε，t 0）为半径的n 维球域S(δ)，使得从S(δ)球域出发的任意一条系统状态轨迹φ(t ；X 0，t 0)在t ≥t0的所有时间内，都不会跑出S(ε)球域，则称系统的平衡状态X e 是李雅普诺夫稳定的(Lyapunov Stability)。

一般来说，δ的大小不但与ε有关，而且与系统的初始时间t 0有关。

当δ仅与ε有关时，称X e 是一致稳定的平衡状态。

进一步的，如果X e 不仅是李雅普诺夫稳定的平衡状态，而且当时间t 无限增加时，从S(δ)球域出发的任一条状态轨迹φ(t ；X 0，t 0)都最终收敛于球心平衡点X e ，那么称X e 是渐进稳定的(Asymptotic Stability)。

更进一步，如果从S(∞),即整个系统状态空间的任一点出发的任一条状态轨迹φ(t ；X 0，t 0)，当t →∞时，都收敛到平衡点X e ，那么称X e 是大范围渐进稳定的。

很明显，这时的X e 是系统的唯一的平衡点。

反之，对于给定S(ε)，不论δ>0取得多么小，从S(δ)球域出发的状态轨迹φ(t ；X 0，t 0)，至少有一条跑出S(ε)球域，那么称平衡点X e
4－3 李雅普诺夫第一法（间接法）
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情况来分析。

李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定性判别思路基本一致。

设线性定常系统的动态方程为：
…………………………………………………………………
……(4－5)
在讨论系统状态稳定性（内部稳定）时，可以不考虑系统的输入结构和输入信号u ，只从系统的齐次状态方程或矩阵A 出发。

很明显，当
时，X e ＝0是系
统的唯一平衡点。

对于X e ＝0的稳定性，我们有如下判据（X e 大范围渐进稳定的充要条件）：
当线性定常系统的系统矩阵A 的所有特征根都有负的实部时，其唯一的状态平衡点X e ＝0是渐进稳定的，而且是大范围渐进稳定。

对于（4－5）所示系统，其输入输出的传递函数为：
当W(S)的极点全部都有负实部时，该系统有界的输入将引起有界的输出（BIBO），也就是说系统是输出稳定的。

可以证明，当（4－5）式所示系统的传递函数W(s)没有零极点对消时，系统的
状态稳定性和系统的输出稳定性是一致的，因为这时系统矩阵的特征根就是系统传递函数的极点。

【例4－1】某系统的动态方程为：
请分析系统的状态稳定性和输出稳定性。

解：
X
=0是系统的唯一平衡点。

e
系统特征方程为：
因为有大于零的特征根，所以系统状态不稳定。

系统传递函数为：
极点S= -1<0，所以系统输出稳定。

实际上，系统通过零极点对消，将不稳定的极点消去，从而在输出方面呈现稳定性质。

4－4 李雅普诺夫第二法（直接法）
李雅普诺夫第二法不必求解系统的状态方程，而是通过一个系统的能量函数来直接判断系统的稳定性，所以又称直接法。

它不但适合线性定常系统，而且适用于非线性和时变的系统。

在实际系统中，往往不容易找出系统的能量函数，于是李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数V(x)，作为系统的一个虚构的广义能量函数。

根据的符号性质，可以判断系统的状态稳定性。

4－4－1 标量函数及其符号
设V(x)是定义在n维空间R n上的标量函数，且当X=0时，V(x)=0，而对其余X ∈R n，如果：
1.V(x)>0，则称V(x)是正定的。

2.V(x)≥0，则称V(x)是半正定的（非负定）。

3.V(x)<0，称V(x)是负定的。

4.V(x)≤0，则称V(x)是半负定的（非正定）。

5.V(x)任意，则称V(x)不定。

例如：对二维空间矢量：
，是正定的；
，是半正定的；
，是负定的；
，是半负定的；
，是不定的。

建立在李雅普诺夫第二法基础上的稳定性分析中，有一类标量函数起着重要的作用，它就是二次型函数。

P为n×n阶的实对称矩阵，则：
………………………………
……（4－6）
称为二次型函数。

二次型标量函数的符号性质可以由赛尔维斯特（Sylvester）准则来判别。

设实对称阵P的各阶主子行列式为：
………………………………………（4－7）
4－4－2 李雅普诺夫第二法
设系统状态方程为：
……………………………………………………………………（4－8）
其中X e=0为系统的一个平衡状态。

如果存在一个正定的标量函数V(x)，并且具有连续的一阶偏导数，那么根据
的符号性质，我们有：
1 若，则不稳定；
2 若，则李雅普诺夫稳定；
3 若，或者但时不恒为零，则渐进稳定；
4 若渐进稳定，并且当时，，则大范围渐进稳定。

应当指出，上述稳定性判据只是一个充分条件，并不是必要条件。

如果给定的V(x)满足上述四个条件之一，那么其结果成立。

反之，如果给定的V(x)不满足上述任何一个条件，那么只能说明所选的V(x)对（4－8）所示系统失效，必须重新构造V(x) 。

【例4－2】控制系统齐次状态方程为：
……………………………………………………………（4－9）
请研究其状态稳定性。

解：
很明显，V(x)>0，并且连续。

可以看出，是不定的，所以上述V(x)不是一个李雅普诺夫函数，它不能用来判断（4－9）式所表示的系统的稳定性。

我们重新选择
很明显，它是正定的，并且有连续的一阶偏导数。

…………………………………（4－10）
半负定，所以它是李雅普诺夫稳定。

进一步可以证明，当时，不恒为零，（如果，则由（4－10）可知，也即，由状态方程
可知，），所以是渐进稳定的。

更进一步，因为当时，，所以是大范围渐进稳定的。

为了避免上述复杂的补充说明，我们再取下列二次型函数：
所以是渐进稳定的，又因为当时，，所以是大范围渐进稳定的。

实际上从李雅普诺夫第一法可知:
系统两特征根都有负的实部，所以是大范围渐进稳定的
4－5 线性定常系统的李雅普诺夫稳定分析及系统参数优化
研究下列线性定常系统：
…………………………………………………………………………………(4－11)
假如A矩阵非奇异，那么X e＝0是系统唯一平衡状态，其稳定性可以通过李雅普诺夫第二法研究。

我们取：
………………………………………………………………………………(4－12)
其中P为正定实对称矩阵，所以V(x)对X有连续偏导，并且V(x)>0。

令：
…………………………………………………………………………（4－13）
式（4－13）称作李雅普诺夫方程。

因此得：
其中为对称矩阵。

如果Q>0，那么<0，所以X e=0为渐进稳定，而且是大范围渐进稳定。

在实际应用中，我们是先给定一正定矩阵Q ，然后通过李雅普诺夫方程（4－13）求出实对称矩阵P ,最后通过赛尔维斯特准则判别P的正定性。

如果P>0，则系统稳定。

在应用李雅普诺夫方程时，应注意下列几点：
=0渐进稳定的充要条件。

1 由李雅普诺夫方程求得的P为正定是X
e
2 Q的选取是任意的，只要满足对称且正定（在一定条件下可以是半正定），Q 的选取不会影响系统稳定性判别的结果。

3 如果沿任意一条轨迹不恒等于零，那么Q可以取半正定阵，即Q≥0。

4 当Q取为单位阵I时，李雅普诺夫方程变为：
…………（4－14）
这是一个比较简单的李雅普诺夫方程。

【例4－3】设系统状态方程为：，试分析其稳定性。

解：
很明显Xe=0 为系统唯一平衡点，用李雅普诺夫方程判断其稳定性。

取Q=I, 则；李氏方程为：
解得，
所以，
根据赛尔维斯特准则，
可知P>0，所以X e=0渐进稳定。

如果取，那么
且当时，，由状态方程
可知，。

所以只有原点才使得，所以Q可以取半正定。

因此代入李雅普诺夫方程，得：
求得：
所以X e=0渐进稳定。

MATLAB中有一个LYAP(A,Q)函数可以求出如下形式的李雅普诺夫方
程：
所以要用LYAP(A,Q)函数求解如式（4－13）所示的李雅普诺夫方程，我们应该先将A矩阵转置后再代入LYAP函数。

如本例中，我们通过下列MATLAB程序求P矩阵：
%LYAP example 4-3
A=[0 1;-1 -1];
A=A';％将A转置
Q=[1 0;0 1];
P=lyap(A,Q)
end
运行结果为：
P =
1.50000.5000
0.5000 1.0000
【例4－4】试用李雅普诺夫方程确定如图4－1所示系统状态稳定的增益K的取值范围。

图4－1 控制系统方块图
解：首先求出图4－1方块图所示系统的状态方程。

图4－1可等效变换为图4－2所示方块图。

图4－2 等效方块图
取图4－2各积分器输出为状态变量，由图可写出齐次状态方程为：
…………………………………………………………………（4－15）
利用李雅普诺夫方程，并取：
求得：
因为时x3=0，由式（4－15）可知，x1=0，x2=0，所以Q≥0取法合理。

将Q，A代入李雅普诺夫方程：
求得：
要使渐进稳定，P必须正定，即：
【例4－5】利用李雅普诺夫方程求系统参数优化问题。

设某稳定的线性定常系统的状态方程为：
…………………………………（4－16）
系统性能指标函数为：
……………………………………………………………………（4－17）
其中
求使J最小的系统参数K的值。

解：为系统唯一的平衡点。

根据题意，是大范围渐进稳定的。

根据李雅普诺夫方程，并取题中的Q>0代入李雅普诺夫方程，得：
解得：
考虑到μ大于零，所以：
所以，P>0，即稳定。

所以是系统的一个李雅普诺夫函数，而且。

再看系统性能指标J：
由于系统在处是大范围渐进稳定的，所以，所以：
所以系统的最优参数不但与性能泛函中的参数μ有关，而且与系统的初始状态X
有关。

如果取：，则：。