《红对勾》2016高考新课标数学(理)大一轮复习第二章函数、导数及其应用课时作业7Word版含答案

课时作业7 二次函数与幂函数
一、选择题
1．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )
A. 3 B ．±3 C ．±9
D ．9
解析：由已知条件可得4α＝22α＝2，所以α＝12，则f (x )＝x 1
2＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9，选D.
答案：D
2．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫
－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过的象限是( )
A ．第二象限
B ．第三象限
C ．第四象限
D ．第二、四象限
解析：画出函数图象即可． 答案：D
3．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A ．lg x >x
12
>2x
B ．2x
>lg x >x
12
C ．x 12
>2x >lg x
D ．2x >x 12
>lg x 解析：当
x ∈(0,1)时，2x ∈(1,2)，x
12
∈(0,1)，lg x ∈(－∞，0)，所
以
2x >x
12
>lg x .
答案：D
4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )
解析：∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0. 答案：D
5．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )
A ．－116
B ．－18
C ．－14
D ．0
解析：设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴f (x )＝1
4(x 2＋3x ＋2)，∴当x ＝－32时，取到最小值为－116.
答案：A
6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )
A ．a <－2
B ．a >－2
C ．a >－6
D ．a <－6
解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，
所以g (x )≤g (4)＝－2，所以a <－2. 答案：A 二、填空题
7．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.
解析：由f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]，可知b ≠0，∴f (x )为二次函数，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.
∵f (x )为偶函数，∴其对称轴为x ＝0，∴－(2a ＋ab )＝0，解得a ＝0或b ＝－2.若a ＝0，则f (x )＝bx 2，与值域是(－∞，4]矛盾，∴a ≠0，b ＝－2，又f (x )的最大值为4，∴2a 2＝4，∴f (x )＝－2x 2＋4.
答案：－2x 2＋4
8．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．
解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以
x 2＋ax ＋a
2
4－c <0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax
＋a 2
4－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得
⎩⎨⎧
2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 2
4－c ，
解得c ＝9.
答案：9
9．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．
解析：当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1，3]，又对
任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－
1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧
－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，
解得a ≤1
2.综上
所述，实数a 的取值范围是⎝
⎛
⎦
⎥⎤0，12.
答案：⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12
三、解答题
10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.
(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，
对称轴x ＝－3
2∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32
＝94－92－3＝－21
4，f (x )max ＝f (3)＝15，
∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－214，15.
(2)函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －1
2.
①当－2a －12≤1，即a ≥－1
2时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－1
3满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－1
2时，
f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－1
3或－1.
11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．
(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；
(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．
解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， ∴f (x )在[1，a ]上是减函数． 又定义域和值域均为[1，a ]．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧
1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2
＋5＝1，
解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.
∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.
又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2,3]．
1．幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如上图所示，则m 与n 的取值情况为( )
A ．－1<m <0<n <1
B ．－1<n <0<m
C ．－1<m <0<n
D ．－1<n <0<m <1 解析：
在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0,1)内作直线x ＝
x 0与各图象的交点，由“点低指数大”，如上图，知－1<n <0<m <1，故选D.
答案：D
2．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
b ，a －b ≥1，
a ，a －
b <1.
设f (x )
＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )
A ．(－2,1)
B ．[0,1]
C ．[－2,0)
D ．[－2,1)
解析：当x 2－1－(4＋x )≥1时，x ≥3或x ≤－2；当x 2－1－(4＋x )<1时－2<x <3，
故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4＋x ，x ≥3或x ≤－2
x 2－1，－2<x <3
，
f (x )的图象如下图所示，y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴有三个不同交点转化为y ＝f (x )与y ＝－k 有三个不同交点，由图可知－1<－k ≤2，故－2≤k <1.
答案：D
3．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|
≥8成立，则实数a 的最小值为________．
解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，又在二次函数的图象上，区间[t －1，t ＋1]离对称轴越远，f (x )max －f (x )min 越大，所以当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，为f (t ＋1)－f (t )＝a ≥8，所以实数a 的最小值为8.
答案：8
4．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a .其中a ∈R 且a ≠0. (1)若函数f (x )与g (x )的图象的一个公共点恰好在x 轴上，求a 的值；
(2)若p 和q 是方程f (x )－g (x )＝0的两根，且满足0<p <q <1
a ，证明：当x ∈(0，p )时，g (x )<f (x )<p －a .
解：(1)设函数g (x )图象与x 轴的交点坐标为(a,0)， 又∵点(a,0)也在函数f (x )的图象上，∴a 3＋a 2＝0. 而a ≠0，∴a ＝－1.
(2)由题意可知f (x )－g (x )＝a (x －p )(x －q )． ∵0<x <p <q <1
a ，∴a (x －p )(x －q )>0，
∴当x ∈(0，p )时，f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )．
又f (x )－(p －a )＝a (x －p )(x －q )＋x －a －(p －a )＝(x －p )(ax －aq ＋1)，x －p <0，且ax －aq ＋1>1－aq >0，∴f (x )－(p －a )<0，∴f (x )<p －a ，
综上可知，g (x )<f (x )<p －a .。