2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.已知集合2，3，，4，，则中的元素个数是
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
2.直线的斜率是
A. B. C. D. 2
3.“且”是“直线过点”的
A. 充分条件不必要
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.函数的最小正周期为
A. B. C. D.
5.已知向量，且，则实数x的值是
A. B. 2 C. 8 D.
6.已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和的
值为
A. B. C. D.
7.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，则
A. B. C. D.
8.设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦
点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为
A. B. C. D.
9.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值是12，
则的最小值为
A. B. C. 1 D. 2
10.定义域为R的偶函数满足对任意，有，且当时，
，若函数在上至少有三个零点，则a 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
11.已知，则______，______．
12.若函数是偶函数，则______，值域为______．
13.在等差数列中，若，则______，______．
14.一个几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的表面积为______，该该几何体的体
积为______．
15.过点的直线与抛物线交于A、B两点，且则此直线的方程为
______．
16.函数在区间内是增函数，则实数a的取值范围是______．
17.若对任意且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18.已知向量，且A，B，C分别是锐角三角形
ABC三边a，b，c所对的角．
Ⅰ求的大小；
Ⅱ若a，c，b成等比数列，且，求c的值．
19.设是公差大于零的等差数列，已知，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列的前n项和．
20.在四棱锥中，平面ABCD，，
，．
Ⅰ证明：平面PAC；
Ⅱ若二面角的大小为，求AP的值．
21.已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．
求椭圆的方程；
设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为，，求直线l的倾斜角．
22.设函数．
求函数的最小值；
设，讨论函数的单调性；
斜率为k的直线与曲线交于、两点，求证：．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：2，3，，4，，
，
则的元素个数是2个．
故选：C．
求出A与B的交集，找出交集元素的个数即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.答案：A
解析：解：直线变形得：，
则直线斜率为．
故选A
将直线方程变形后，即可求出直线的斜率．
此题考查了直线的一般式方程，是一道基本题型．
3.答案：A
解析：解：由直线过点得：，即：，得不出
且，
直线过点不是且的必要条件；
而且能得出，直线过点是且的充分条件．故选：A．
直线过点，所以得到，下面只要验证能否得出且，且能否得出就可以了．
本题考查了直线的方程、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.答案：B
解析：解：函数的最小正周期为，
故选：B．
根据了函数的周期为，计算求得结果．
本题主要考查函数的周期性，利用了函数的周期为，属于
基础题．
5.答案：D
解析：解：向量，且，
，解得
故选：D．
由题意可得，解之即可．
本题考查向量的垂直，转化为向量的数量积为0是解决问题的关键，属基础题．
6.答案：D
解析：解：等比数列中，，
即有，，
则新数列的公比为9，
即有
．
故选：D．
求出等比数列中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．
本题考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
7.答案：C
解析：解：已知等式，利用正弦定理化简得：
，
整理得：，
，
，
故选：C．
已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sin B不为0求出cos A的值即可．
此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
8.答案：A
解析：解：在椭圆中，由，得
椭圆的焦点为，，
曲线是以、为焦点，实轴长为8的双曲线，
故C的标准方程为：，
故选：A．
在椭圆中，由题设条件能够得到，曲线是以，，为焦点，实轴长
为8的双曲线，由此可求出曲线的标准方程．
本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．9.答案：B
解析：【分析】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，确定a，b的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质求最值，属于一般题．
作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的最大值是12，确定a，b之间的关系，二次函数的图象和性质确定函数的最小值．
【解答】
解：作出不等式对应的平面区域如图：
由，
得，
平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，
此时确定最大值12，
由，
解得，即，
代入目标函数得，
即，则，
，
．
，
，
当时，取得最小值．
故选B．
10.答案：A
解析：解：，
令，则，
是定义在R上的偶函数，
．
，
则函数是定义在R上的，周期为2的偶函数，
又当时，，
令，则与在的部分图象如下图
在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，
在上单调递减，
则，
解得：，
故选：A．
由题意可判断函数是定义在R上的，周期为2的偶函数，令，画出与
在的部分图象如下图，将在上至少有三个零点可化为
与的图象在上至少有三个交点，从而解出a的取值范围．
本题考查了数形结合的思想，同时考查了学生的作图能力与转化能力，属于基础题．
11.答案：
解析：解：，
，
．
故答案为：，．
由已知利用二倍角的余弦函数公式，诱导公式即可化简求解．
本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
12.答案：2
解析：解：根据题意，函数，是对称轴为的二次函数，
若函数是偶函数，必有，即；
则，即函数的值域为；
故答案为：2，．
根据题意，将函数的解析式变形可得，分析可得是对称轴为的二次函数，结合偶函数的性质可得a的值，即可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域计算，注意结合二次函数的性质分析．13.答案：
解析：解：等差数列中，由等差数列的性质可得，，
则，
．
故答案为：，．
由已知结合等差数列的性质可求，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及特殊角的三角函数值的求解．
14.答案：
解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为正棱锥体．
如图所示：
故：，．
故答案为：，
首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．
本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
15.答案：
解析：解：设，
由，得P为AB的中点．
把A，B的坐标代入抛物线方程得，
得：．
所以．
则过AB两点的直线方程为．
即．
故答案为．
设出A，B两点的坐标并代入抛物线方程，由知P为AB的中点，利用点差法求出直线AB的斜率，由点斜式得方程．
本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用点差法求涉及弦中点的直线的斜率，是中档题．16.答案：
解析：解：，令即，
当，；当时，解得，或；
因为函数在区间内是增函数，所以，
解得，所以实数a的取值范围是
故答案为：
求出，因为要求函数的增区间，所以令大于等于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可．
本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，
当导函数小于0时原函数单调递减．会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围，是一道综合题．
17.答案：
解析：解：由不等式对于且
恒成立，
可得，对于且恒成立，
令，由表示两点与的斜率，
根据右图可知，点代入可得t的最小值为1，点代
入可得t的最大值3，
则，
则在上恒成立，
由，，
可得函数y在递减，则，即时，，
可得，
故答案为：．
将a分离出来得，然后根据，，求出的范围，令，可得
在上恒成立，利用二次函数的性质求出的最大值，即可求出a的范围．
本题考查不等式恒成立问题解法，在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．
18.答案：解：Ⅰ向量，
可得即，
所以，又因为是锐角三角形内角，所以．
Ⅱ因为a，c，b成等比数列，所以，
又，所以．
所以，即，
所以．
解析：Ⅰ通过向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，转化求解C的大小．
Ⅱ，c，b成等比数列，得到，结合向量的数量积转化求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，等比数列的性质，三角形的解法，考查计算能力．
19.答案：解：Ⅰ是公差大于零的等差数列，，．
，
解得，或舍，
．
Ⅱ是以1为首项，以3为公比的等比数列，
，
，
．
解析：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题．
解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．
Ⅰ由已知条件利用等差数列通项公式求出差，由此能求出．
Ⅱ由已知条件得，，由此能求出数列的前n项和．20.答案：Ⅰ证明：设O为AC与BD的交点，作于点E．
由四边形ABCD是等腰梯形得，
，
所以，从而得，
所以，即．
由平面ABCD得，
因为，
所以平面分
Ⅱ解：方法一：作于点H，连接DH．
由Ⅰ知平面PAC，故D．
所以平面DOH，从而得，．
故是二面角的平面角，
所以．
在中，由，得．
在中，．
设，可得．
解得，即分
方法二：Ⅱ由Ⅰ知以O为原点，OB，OC所在直
线为x，y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知各
点坐标如下：，0，，，
0，．
由平面ABCD，得轴，
故设点．
设y，为平面PDC的法向量，
由，知
取，得1，
又平面PAC的法向量为0，，于是
，．
解得，即分
解析：Ⅰ设O为AC与BD的交点，作于点E，证明，可得
由平面ABCD得，利用线面垂直的判定定理，可得平面PAC；
Ⅱ方法一：作于点H，连接DH，可得是二面角的平面角，在中，，可求AP的值；方法二：以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，
建立空间直角坐标系，求出平面PDC、平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的大小为，可求AP的值．
本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力．
21.答案：解：由椭圆的离心率，则，，
由，即，
由解得：，，
椭圆的方程；
由题知，，直线l斜率存在，故设l：，
则，整理得：，，
由，得，，
，
，．
故直线的倾斜角为或．
解析：由题意可知：根据椭圆的离心率及菱形的面积公式，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；
设直线l方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨AB丨，即可求得k的值，求得直线l的倾斜角．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．
22.答案：解：，令，得．
当时，；当时，，
当时，分
，．
当时，恒有，在上是增函数；
当时，
令，得，解得；
令，得，解得．
综上，当时，在上是增函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证：．
要证，即证，等价于证，令，
则只要证，由知，故等价于证．设，则，故在上是增函数，
当时，，即．
设，则，故在上是增函数，当时，，即．
由知成立，得证．
解析：根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间内只有一个极值，那么极小值就是最小值；
先确定函数的定义域然后求导数，讨论a在函数的定义域内解不等式和即可求得；
要证，即证，等价于证，令，
则只要证，由知，故等价于证即可．
本题中对函数单调性的分类讨论、构造函数利用导数方法证明不等式都是难点，对综合能力的考查达到了相当的高度．。