2023年中国科学技术大学创新班初试数学真题及详细解析

2023年中国科学技术大学创新班初试数学试题
1. 复数满足202310z z --=，求证：1z ≤当且仅当1()2
z ℜ≤-．
2.设(15)i i α≤≤为
3
中的五个非零向量．求证：存在非零向量3
β∈
，使得存在
123415j j j j ≤<<<≤，满足β与k j α的夹角均不超过
(1,2,3,4)2
k π
=．
3.甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记n 次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为n p ．求n p 及lim n n p →∞
．
4.(1)0x >，证明3
sin 6
x x x x -<<．
(2)10a <<1sin 1
n
n n a a a n +=-+．证明：对任意正整数n ，都有12
133n a na a <-．
5.将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作12,,
.a a ．比如
1232,3,5,
.a a a ===求证：对任意正整数n
，都有12
n a n -<
．
2023年中国科学技术大学创新班初试数学试题答案
1.复数满足202310z z --=，求证：1z ≤当且仅当1()2
z ℜ≤- 证明：
由题意知：20231z z =+，两边取模得：2023
1z
z =+．于是
4046
2
2
1(1)(1)2()1z
z z z z z =+=++=+ℜ+
即2
2022
2022
2()1(1)(1)z z z z ℜ+=+-．
于是
2
2022
2022
1()2
2()10(1)(1)0
1
z z z z z z ℜ≤-
⇔ℜ+≤⇔+-≤⇔≤
2.设(15)i i α≤≤为
3
中的五个非零向量．求证：存在非零向量3
β∈
，使得存在
123415j j j j ≤<<<≤，满足β与k j α的夹角均不超过
(1,2,3,4)2
k π
=．
证明：
设i α的起点均为O ，终点分别为(15)i A i ≤≤．
考虑平面12OA A ，由抽屉原理，345A A A 、、中必存在两点，在平面12OA A 的同侧（含平面上），不妨设为34A A 、．
取平面12OA A 的法向量β，且使β指向34A A 、一侧，易知β满足题意．
3.甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记n 次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为n p ．求n p 及lim n n p →∞
．
解答：
若交换前笼子里均为一雄一雌，则一共有种交换情况，其中两种交换后仍均为一雄一雌（雄换雄或雌换雌），另两种交换后笼子里为两雄和两雌．而两雄和两雌的情况交换后必然回到均为一雄一雌．于是有递推关系：
1011
(1)1,122
n n n n p p p p p +=
+-=-=
于是1212
()323n n p p +-
=--，可得 211()332
n n p =+-
于是2
lim 3
n n p →∞=．
4.(1)0x >，证明3
sin 6
x x x x -<<．
(2)10a <<1sin 1
n
n n a a a n +=-+．证明：对任意正整数n ，都有12133n a na a <-．
证明：
(1)求导易证，实际上为sin x 一阶和三阶的泰勒展开，是第二问的提示． (2)由题意知：
13
3
(1)(1)sin 1(1)6
16
n n n n n n
n n
n a n a a n a a a na a ++=+-<+-+=+
于是
11n n a n a n
++<，归纳易知递减，因此 2
111
2
112
111(1)6(1)1
(1)61
(1)6n n n n n n n n n a a a na n a n n a a n a n a n a n
+++++<<+
++<++<
++
累加得：
1
121111211
11
6116(1)12613n k n n k a a na k
a k k a n a -=-=-<⎛⎫<+ ⎪-⎝⎭⎛⎫=
⋅- ⎪-⎝⎭<∑∑
解得：1
2
133n a na a <
-，证毕．
5.将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作12,,
.a a ．比如
1232,3,5,
.a a a ===求证：对任意正整数n ，都有12
n a n -<
． 证明：
满足22
(1)n k a k <<+的n a 共有2k 个，此时有
242(1)242k n k +++-<≤+++
即(1)(1)k k n k k -<≤+，即22111()()2
42k n k -<+≤+，故11
22
k k -<≤+，易知等号无法取得．
在n a 之前共有k 个完全平方数被去除，于是n a n k =+．
因此11
22
n a n -
<-<，证毕．。