第八讲：卫星变轨问题和双星问题解析版

第八讲：卫星变轨问题和双星问题
一、卫星相遇问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为ωa ，b 卫星的角速度为ωb .
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示．
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示．
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝2π时，两卫星再次相距最近．
二、卫星变轨问题
1．变轨分析
(1)卫星在圆轨道上稳定运行时， G Mm
r 2＝m v 2r
＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . (2)当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v 2
r ，即万有引力不
足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝
GM
r
可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加．
(3)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2
r ，即万有引力大
于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，
例题、如图所示，北斗导航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速周运动，且轨道半径为r ，某时刻工作卫星1、2分别位于轨道上的A 、B 两个位置，若两卫星均沿顺时针方向运行，地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力。

下列判断正确的是（ ）
例题、如图所示，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M ，（M ＞＞m 1，M ＞＞m 2）．a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ：T b ＝1：k ．（k ＞1，为正整数）从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则（ ）
A ．a 、b 距离最近的次数为k 次
B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次
C ．a 、b 、c 共线的次数为2k 次
轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝
GM
r
可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小．
2．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1
、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v
3>v B .
(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3
T
2＝k 可知T 1<T 2<T 3. 三、多星模型
1．定义
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
A ．这两颗卫星的加速度大小相等，均
为22gR r
B ．卫星1出A 位置运动到B 位置所需的时间是
3r
r R g
C ．这两颗卫星的机械能一定相等
D ．卫星1向后喷气就一定能够追上卫星2
2．特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2
L
2＝m 1ω21r 1， Gm 1m 2
L 2
＝m 2ω22r 2. (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2. (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . 3．两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2
r 1.
针对训练
题型1：相遇问题
1．如图所示，A 和B 两行星绕同一恒星C 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，某一时刻两行星相距最近，则（ ）
A ．经过T 1+T 2两行星再次相距最近
B ．经过两行星再次相距最近
C ．经过两行星相距最远
D ．经过两行星相距最远
【解答】解：根据万有引力提供向心力，列出等式：
＝mω2r
ω＝
所以ωA＞ωB
A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，
所以T1＝T2＝
两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上。

所以当A比B多转一圈时两行星再次相距最近，列出等式：
（﹣）t＝2π
t＝，故A错误，故B正确。

C、两行星相距最远时，两行星应该在同一直径上。

所以当A比B多转半圈时两行星相距最远，列出等式：
（﹣）t′＝π
t′＝，故C、D错误。

故选：B。

2．已知地球自转周期为T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕
地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星至少相隔多长时间才在同一城市的正上方出现一次．（）
A．B．C．D．
【解答】解：设地球的质量为M，卫星的质量为m，运动周期为T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，＝
T＝2π同步卫星的周期与地球自转周期相同，即为T0。

已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，
所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是＝＝
解得T＝T0。

设卫星至少每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，
根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt得：t＝2π+t
解得：t＝，即卫星至少每隔时间才在同一地点的正上方出现一次。

故选：D。

题型2：变轨问题
3．如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。

则（）
A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为
B．飞船在A点处点火时，速度增加
C．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A点的加速度D．飞船在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π
【解答】解：A、飞船在轨道I上运行时，根据万有引力等于向心力得G＝m
在月球表面上，根据万有引力等于重力，得G＝mg0，联立得：飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为v＝，故A错误；
B、飞船在A点处点火时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所
以点火瞬间是速度减小的，故B错误；
C、在轨道Ⅰ上通过A点和在轨道Ⅱ上通过A点时，其加速度都是由万有引力产生的，而
万有引力相等，故加速度相等，故C错误。

D、飞船在轨道Ⅲ绕月球运行，由mg0＝m R，得T＝2π，故D正确。

故选：D。

（多选）4．“北斗”系统中两颗工作卫星1和2在同一轨道上绕地心O沿顺时针方向做匀速
圆周运动，轨道半径为r，某时刻它们分别位于轨道上的A、B两位置，如图所示．已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．以下判断中正确的是（）
A．这两颗卫星的向心加速度大小为a＝g
B．这两颗卫星的角速度大小为ω＝R
C．卫星1由位置A运动至位置B所需的时间为t＝
D．如果使卫星1加速，它就一定能追上卫星2
【解答】解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，即：G＝ma，由万有引力与重力关系，G＝mg，解两式得：a＝g，A项正确；
B、由a＝ω2r，将上式代入得：ω＝，B项错误；
C、卫星1由位置A运动到位置B所需时间为卫星周期的，由T＝，t＝，
C项正确；
D、卫星1加速后做离心运动，进入高轨道运动，不能追上卫星2，D项错误。

故选：AC。

（多选）5．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1和2相切于Q点，轨道2
和3相切于P点，设卫星在1轨道和3轨道正常运行的速度和加速度分别为v1、v3和a1、a3，在2轨道经过P点时的速度和加速度为v2和a2且当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时周期分别为T1、T2、T3，以下说法正确的是（）
A．v1＞v3＞v2B．v1＞v2＞v3C．a1＞a2＝a3D．T1＜T2＜T3
【解答】解：AB．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有，可得，由于r1＜r3，
所以v1＞v3，从轨道2到轨道3，卫星在P点是做逐渐远离圆心的运动，要实现这个运动必须使卫星所需向心力大于万有引力，所以应给卫星加速，增加所需的向心力。

所以在轨道3上P点的速度大于轨道2上P点的速度。

所以v1＞v3＞v2，故A正确，B错误；
C．卫星运行时只受万有引力，根据牛顿第二定律可得加速度，所以a1＞a2＝a3，故C正确；
D．由轨道可知，轨道1的半长轴最小，轨道3的半长轴最大，根据开普勒第三定律
可知，所以T1＜T2＜T3，故D正确。

故选：ACD。

（多选）6．2018年我国即将发射“嫦娥四号”登月探测器，将首次造访月球背面，首次实现对地对月中继通信，若“嫦娥四号”从距月面高度为100km的环月圆轨道I上的P点实施变轨，进入近月点为15km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示．关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是（）
A．沿轨道I运动至P时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道I运行的周期
C．沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度
D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变
【解答】解：A、卫星在轨道I上做圆周运动，只有通过减速使圆周运动所需向心力减小，做近心运动来减小轨道高度，故A正确；
B、根据开普勒行星运动定律知，在轨道I上运动时的半长轴大于在轨道II上运行时的半
长轴，故在轨道I上运行的周期要大，故B错误；
C、由图可知，P点为远地点，离地球远，其受到的向心力小，故沿轨道Ⅱ运行时，在P
点的加速度小于在Q点的加速度，故C错误；
D、在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力
势能减小，由于只有重力做功，故机械能不变，故D正确。

故选：AD。

题型3：双星模型
7．银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：设星体S1和S2的质量分别为m1、m2，
星体S1做圆周运动的向心力由万有引力提供得：＝m1r1，
即m2＝
故选：C。

（多选）8．（多选）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则（）
A．每颗星做圆周运动的半径都等于R
B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．每颗星做圆周运动的线速度为
D．每颗星做圆周运动的角速度为
【解答】解：A、根据几何关系知，每颗星的轨道半径r＝，故A错误。

B、任意两颗星之间的万有引力F＝，根据2Fcos30°＝ma得，a＝，与三星
的质量有关，故B错误。

C、根据2Fcos30°＝得，v＝，，故C正确，D正确。

故选：CD。

9．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体的质量不相同时的一般情况）。

若A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）A星体所受合力大小F A；
（2）B星体所受合力大小F B。

【解答】解：（1）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：F BA＝F CA＝
方向如图，则合力的大小为：F A＝2F BA cos30°＝；
（2）B星受到的引力分别为：F AB＝，F CB＝，方向如图；
F B沿x方向的分力：F Bx＝F AB cos60°+F CB＝
F B沿y方向的分力：F By＝F AB sin60°＝
可得：F B＝＝。

答：（1）A星体所受合力大小为；
（2）B星体所受合力大小为。

题型4：卫星问题结合几何知识的应用
10．宇宙飞船以周期为T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0．太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则（）
A．飞船绕地球运动的线速度为
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为
C．飞船每次“日全食”过程的时间为
D．飞船周期为T＝
【解答】解：A、飞船绕地球匀速圆周运动
∵线速度为
又由几何关系知
得：
∴故A错误；
B、地球自转一圈时间为To，飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，得一天内飞船经历“日全食”的次数为：
故B不正确；
C、由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过α角，所需的时间为，故C不正确；
D、万有引力提供向心力则：，得：
．故D正确；
故选：D。

11．有一颗人造地球卫星，绕地球做匀速圆周运动．卫星与地心的距离为地球半径R0的2倍，卫星圆形轨道平面与地球赤道平面重合．卫星上的太阳能收集板可以把光能转化为电能，已知地球表面重力加速度为g，近似认为太阳光是平行光，试计算：
（1）卫星做匀速圆周运动的周期；
（2）卫星绕地球一周，太阳能收集板工作的时间．
【解答】解：（1）地球卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律：
＝m（2R0）
在地球表面有：＝m′g
解得：T＝4π
（2）如图，当卫星在阴影区时不能接受阳光，据几何关系：
∠AOB＝∠COD＝
卫星绕地球一周，太阳能收集板工作时间为：
t＝＝．
答：（1）卫星做匀速圆周运动的周期为4π；
（2）卫星绕地球一周，太阳能收集板工作时间为．。