2019A新高中数学必修第一册：1.1.2 弧度制

4. 分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象 限角的集合.
解:
第三象限角:
角度表示: {b |180+k·360<b <270+k·360, kZ},
弧度表示:
{
b
|p
+
2kp
b
3p
2
+ 2kp ,
k Z }.
第四象限角:
角度表示: {b |270+k·360<b <360+k·360, kZ},
弧度表示:
{b
|
3p
2
+ 2kp
b
2p
+ 2kp ,
k Z }.
6. 一条弦的长等于半径, 这条弦所对的圆心角等
于 1 弧度吗? 为什么?
答: 不等于 1 弧度. (如图) 当且仅当 l=r 时, 圆心角
r dl
才是 1 弧度的角.
而 d=r, l>d, 则 l>r.
∴圆心角不是 1 弧度的角.
7. 把下列各角度化成弧度:
S ={b |b
=
p
4
+ kp ,
kZ}.
y
p
4
po
x
4
例4. 利用计算器比较 sin1.5 和 sin85 的大小.
解: 用计算器求得 sin1.5 ≈0.9974, sin85≈0.9962, ∴sin1.5 > sin85.
练习: (课本9页) 第 1、2 题.
练习: (课本9页)
1. 把下列角度化成弧度:
(2) S
|a
|
=
l R
,
=
12aR2;
∴ l = |a|R,
又a > 0,
∴ l = a R.
(3)
S
=
1 2
lR.
R l
(变态三解形)
(2) ∴
∵1
弧度是周角的
1
2p
,
1 弧度的扇形面积是圆面积的
1
2p
.
则 a 弧度的扇形面积为
S
=
a
pR2 2p
=
12aR2.
(3)
a
=
l R
,
S
=
1 2
l R
R2
解:
第一象限角:
角度表示: {b |k·360<b <90+k·360, kZ},
弧度表示:
{
b
|
2kp
b
p
2
+
2kp
,
k Z }.
第二象限角:
角度表示: {b |90+k·360<b <180+k·360, kZ},
弧度表示:
{b
|
p
2
+ 2kp
b
p
+ 2kp ,
k Z }.
习题 1.1 A 组
8. 把下列各弧度化成度:
(1) - 76p; (2)- 130p; (3) 1.4;
(4)
2 3
.
解: (1) 1 rad = (1p80),
-
76p
rad
=
-
7p
6
(1p80)
=
-210.
(2)
-
130p
rad
=
-
10p
3
(1p80)
=
-600.
(3) 1.4 rad =1.4(1p80) = (2p52)≈8012.
(2)
-
4p
3
;
(3)
3p
10
.
解: (1) 1 rad = (1p80),
p
12
rad
=
1p2 (1p80)
=15.
(2)
-
4p
3
rad
=
-
4p
3
(1p80) =
-240.
(3)
3p
10
rad
=
3p
10
(1p80)
=
54.
例3. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1) l =a R;
证明: (1)
本章内容
1.1 任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图象与性质
1.5 函数 y=Asin(wx+j) 的图象
1.6 三角函数模型的简单应用 第一章 小结
1.1.1 任意角(第一课时) 1.1.1 任意角(第二课时) 1.1.2 弧度制 复习与提高
1.1.2 弧度制
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1. 什么是弧度制? 扇形中的弧长、半径、圆 心角的弧度数是怎样的关系?
2. 弧度制与角度制怎样换算? 3. 特殊角的弧度数有什么规律? 你能熟练掌握 特殊角的弧度数吗?
问题1: 请同学们画一个扇形, 使它的弧长等于
半径, 你估计这个扇形的圆心角是多少? 这个圆心
角是周角的几分之几?
∴cos0.75>cos0.75. (2) ∵tan1.2≈0.021,
tan1.2≈2.572, ∴tan1.2<tan1.2.
5. 分别用角度制、弧度制下的弧长公式, 计算半
径为 1 m 的圆中, 60的圆心角所对的弧的长度 (可用
计算器).
解:
角度制:
l
=
npr
180
=
60p
180
≈1.047(m);
的圆的圆心角 a 所对的弧长为 l, 那么, 角 a 的弧度
数的绝对值是
|a
|
=
l r
.
例1. 按照下列要求, 把6730化成弧度: (1) 精确值; (2) 精确到0.001的近似值.
解: (1) 1 = 1p80rad,
∴
6730
=
67.5 =
67.5
1p80rad
=
3p
8
rad.
(2)
6730
解: (1) 终边在 x 轴上的集合为:
S={a |a = kp, kZ}.
(2) 终边在 y 轴上的集合为:
S ={a |a
=
p
2
+
kp
,
kZ}.
4. 利用计算器比较下列各对值的大小 (精确到 0.001):
(1) cos0.75 和 cos0.75; (2) tan1.2 和 tan1.2.
解: (1) ∵cos0.75≈1.000, cos0.75≈0.732,
(1) 2230; (2) -210; (3) 1200.
解: (1) 1 = 1p80rad,
∴
2230=22.5=
22.5
1p80rad=
p
8
rad.
(2)
-
210
=
-210
1p80rad=
-
7p
6
rad.
(3)
1200
=
1200 1p80 rad=
20p
3
rad.
2. 把下列弧度化成度:
(1) 1p2;
=
1 2
lR.
在扇形中,
R: 半径, l : 弧长, S: 面积,
a : 圆心角的弧度数,
l = a R.
S
=
12aR2
=
1 2
lR.
练习(补充). 已知半径为120 mm的圆上, 有一条 弧的长是144 mm, 求此弧所对的圆心角的弧度数, 以及所对扇形的面积.
解:
由a
=
l r
得
a
=
144 120
角b
=
p
4
表示
b
是
p
4
弧度的角.
在实际应用中, 常用多少p 弧度表示弧度的精确值. 1 = 1p80rad,
对于一些特殊角的弧度数要经常用到. 请填写下表中特殊角的弧度数:
度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度
0

p
6
pp
43
p
2
2p
3
3p
4
5p
6
p
3p
2
扇形所在圆的周长为 2p r,
弧长 周长
=
l
2pr
=
r
2pr
=
1
2p
,
弧长是周长的
那么圆心角 a
1
2p
.
是周角的
1
2p
,
即
a
=
1
2p
360≈5718.
=1 rad.
r
a =1弧度 l
l=r
我们把弧长等于半径的圆心角叫做 1 弧度的角.
用 rad 表示, 读作弧度.
在角度制中,
周角的
1是 360
1
度的角.
在弧度制中,
周角的
1
2p
是
1
弧度的角.
问题2. 1 周角有多少弧度? 1 弧度有多少度?
1 周角=2p 弧度.
1 弧度≈5718.
360=2p rad,
180=p rad, 1 = 1p80rad. 1 rad = (1p80) 57.30 = 5718.
※一般地, 正角的弧度数是一个正数, 负角的弧 度数是一个负数, 零角的弧度数是 0. 如果半径为 r
弧度制:
60
=
p
3
rad,
∴
l=aR
=
p
3
1≈1.05(m).
6. 已知半径为120 mm 的圆上, 有一条弧的长是
144 mm, 求该弧所对的圆心角的弧度数.
解: a = Rl ,
又 l =144 mm, R=120 mm,
a
=
144 120
=1.2
(rad).
习题 1.1 A 组
4. 分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象 限角的集合.
2p
请记住这些特殊角的弧度数.
例(补充). 用弧度数表示下列角的集合: (1) 终边与90角的终边重合; (2) 终边与直线 y = x 重合.
解:
(1)
90
=
p
2
,
∴ 用弧度制表示终边与90重合的角的集合为
S ={b |b
=
p
2
+
2kp
,
kZ}.
(2) ∵ 终边与直线 y = x 重合的角的集合为
1 周角=2p 弧度. 1 平角=p 弧度. 1 = 1p80rad. 1 rad = (1p80) 57.30 = 5718.
【课时小结】
3. 特殊角的弧度数
度 弧度
0
30
45
60
90
120
0
p
6
p
4
p
3
p 2p
23
135
150
180
270
360
3p
4
5p
6
p
3p
2
2p
【课时小结】
4. 用弧度数表示扇形的弧长与面积
(4)
2 3
rad =
2 3
(1p80)=
(1p20)≈3812.
=
1.2
rad.
又由 S
=
12 lr
得
S=
1 2
144
120=
8640
(mm
2).
答: 圆心角是1.2 rad, 扇形的面积是8640 mm2.
【课时小结】
1. 弧度制 用弧度表示角的大小. 弧长等于半径的圆心角叫做 1 弧度的角.
r
a =1弧度 l
l=r
|a
|
=
l r
.
【课时小结】
2. 弧度与角度的换算
R: 半径, l : 弧长, S: 面积,
a : 圆心角的弧度数,
l = a R.
S
=
12aR2
=
1 2
lR.
练习: (课本9页) 第 3、4、5、6 题.
习题 1.1 A组
第 4、 6、7、8 题.
练习: (课本9页)
3. 用弧度表示: (1) 终边在 x 轴上的集合; (2) 终边在 y 轴上的集合.
(1) 36; (2) -150; (3) 1095; (4) 1440.
解: (1) 1 = 1p80rad,
36
=
36
1p80rad=
p
5
rad.
(2)
-
150
=
-150
1p80rad
=
-
5p
6
rad.
(3)
1095
= 1095
1p80rad
=
73p
12
rad.
(4) 1440 =14401p80rad = 8p rad.
=
3p
8
rad≈1.178
rad.
例2. 将 3.14 rad 换算成角度 (用度数表示, 精确 到 0.001).
解: ∵1rad≈57.3, ∴3.14rad≈57.33.14 =179.922.
今后用弧度制表示角度时, “弧度” 二字或
“rad”通常略去不写, 而只写该角所对应的弧度数.
如角 a =2 表示 a 是 2 rad 的角,