周期倍化分叉

§4-8 周期倍化分叉 — 一种通向混沌的道路
n
xn1 4xn (1 xn )
0
0.1
0.100 000 01
0.100 000 1
1
0.36
0.360 000 003 2
0.360 000 032 0
2
0.921 6
0.921 600 035 8
0.921 600 358 4
…
…
…
…
10
0.147 836 559 9
0.147 824 444 9
0.147 715 428 1
…
…
…
…
50
0.277 569 081 0
0.435 057 399 7
0.937 349 588 2
51
0.802 094 386 2
0.983 129 834 6
0.104 139 309 1
52
Hale Waihona Puke 0.634 955 927 4
xn1 xn 7 12
0.799 5 0.513 0 周期为2 xn2 xn
0.382 8 0.862 9 周期为4 0.875 0 0.500 9 xn4 xn 周期为 8, 16, 等的周期
倍化分叉过程
基本上为混沌区(即周期为 ),
其中有周期窗口, 并有一定结构
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动力系统是一个广泛的概念, 它由状态 (并给出 描述状态的量) 和动态特性 (状态演化规则) 组成.
xn1 xn (1 xn ) n 1, 2, 3,
1.周期倍化分叉过程
从任何初始值出发迭代时, 一般有个暂态过程,
但当迭代次数很大, 即当 n 时, 演化会导致一
个确定的终态.
终态可取无穷多种值, 对初值极
3.569
为敏感, 成为不可预测, 开始出 现混沌现象. 在此前终态都是周
期的、可预测的, 并与初值无关.
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值
2.4 3.2 3.5

3.569 ~ 4
终态
(一个不动点) 周期为1
分叉过程, 相继出现周期为 6, 12, 24, 等解, 最初3 条曲线每一条都演化成一个混沌区, 共有3个混沌区;
在每一个混沌区中又上演着倒分叉过程, 并且在混沌
区中同样也存在周期窗口.
§4-8 周期倍化分叉 — 一种通向混沌的道路
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无穷套嵌着的自相似结构
3.倒分叉
lim
(m1)
(m)

m (m)
( m1)
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(1) 3.678 6
(2) 3.592 6

3.569 9
4.窗口
在 3.828 时出现周期为3的解, 在图上呈现
出3条曲线, 随着 值继续增大, 又会发生周期倍化
混沌现象与随机 现象的根本区别
混沌现象产生于不可积系统, 由于方程解的长期 行为对初值十分敏感, 出现了貌似随机的行为. 在同 一时期, 非线性研究中也揭示了与之相反的另一极端 现象, 发现了孤立波 (或孤立子) 的存在. 它产生于 一批非线性完全可积系统, 它们的解具有规则性和出 奇的稳定性, 说明非线性还在产生有序性方面有重要 作用.
0.066 342 251 5
0.373 177 253 6
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2.费根鲍姆常数
lim m m1 4.669 201 609 102 990 9 m m1 m
周期 倍化分叉 过程是一 条通向混 沌的典型 道路
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