算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）

算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）
之前讲过⼀个相似的问题流⽔作业调度问题，那⼀道题最开始⽤动态规划，推到最后得到了⼀个Johnson法则，变成了⼀个排序问题，有兴趣的可以看⼀下
本篇博客主要参考⾃
⼀、问题描述
给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。

每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。

作业Ji需要机器j的处理时间为t ji。

对于⼀个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。

所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。

批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度⽅案，使其完成时间和达到最⼩。

例：设n=3，考虑以下实例：
看到这⾥可能会对这些完成时间和是怎么计算出来的会有疑问，这⾥我拿123和312的⽅案来说明⼀下。

对于调度⽅案（1,2,3）
作业1在机器1上完成的时间是2，在机器2上完成的时间是3
作业2在机器1上完成的时间是5，在机器2上完成的时间是6
作业3在机器1上完成的时间是7，在机器2上完成的时间是10
所以，作业调度的完成时间和= 3 + 6 + 10
这⾥我们可以思考⼀下作业i在机器2上完成的时间应该怎么去求？
作业i在机器1上完成的时间是连续的，所以是直接累加就可以。

但对于机器2就会产⽣两种情况，这两种情况其实就是上图的两种情况，对于（1,2,3）的调度⽅案，在求作业2在机器2上完成的时间时，由于作业2在机器1上还没有完成，这就需要先等待机器1处理完；⽽对于（3,1,2）的调度⽅案，在求作业2在机器2上完成的时间时，作业2在机器1早已完成，⽆需等待，直接在作业1被机器1处理之后就能接着被处理。

综上，我们可以得到如下表达式
if(F2[i-1] > F1[i])
F2[i] = F2[i-1] + t[2][i]
else
F2[i] = F1[i] + t[2][i]
⼆、算法设计
类Flowshop的数据成员记录解空间的结点信息，M输⼊作业时间，bestf记录当前最⼩完成时间和，数组bestx记录相应的当前最佳作业调度。

数组x[i]，bestx[i]，⼆维数组m[j][i];
数组x记录当前调度；
bestx记录当前最优调度；
初始时，x[i]=i ; bestx[i]=∞; (i=0,1,......,n)
⼆维数组m记录各作业分别在两台机器上的处理时间；
m[j][i]表⽰在第i台机器上作业j的处理时间
变量f1,f2,cf,bestf；
f1记录作业在第⼀台机器上的完成时间；
f2记录作业在第⼀台机器上的完成时间；
cf记录当前在第⼆台机器上的完成时间和；
bestf记录当前最优调度的完成时间和；
在递归函数Backtrack中，
当i>n时，算法搜索⾄叶⼦结点，得到⼀个新的作业调度⽅案。

此时算法适时更新当前最优值和相应的当前最佳调度。

当i<=n时，当前扩展结点在i层，以深度优先⽅式，递归的对相应⼦树进⾏搜索，对不满⾜上界约束的结点，则剪去相应的⼦树。

这⾥注意⼀下该程序的输⼊，要现将机器1对应所有作业的处理时间输⼊，再输⼊机器2的，对应上⾯的例⼦的数据就是 232113
#include <stdio.h>
int x[100],bestx[100],m[100][100];//m[j][i]表⽰在第i台机器上作业j的处理时间
//数组bestx记录相应的当前最佳作业调度。

int f1=0,f2,cf=0,bestf=10000,n; //bestf记录当前最⼩完成时间和
void swap(int*x,int t,int j)
{
int temp =x[t];
x[t] =x[j];
x[j] =temp;
}
void Backtrack(int t)
{
int tempf,j,i;
if(t>n) //到达叶⼦结点，搜索到最底部
{
for( i=1; i<=n; i++)
{
bestx[i]=x[i];
}
bestf=cf;
}
else//⾮叶⼦结点
{
for(j=t; j<=n; j++)
{
f1+=m[x[j]][1]; //记录作业在第⼀台机器上的完成处理时间
tempf=f2;//保存上⼀个作业在机器2的完成处理时间
f2=(f1>f2?f1:f2)+m[x[j]][2];//保存当前作业在机器2的完成时间
cf+=f2; //cf记录当前在机器2上的完成时间和
if(cf<bestf)
{
swap(x,t,j); //交换两个作业的位置
Backtrack(t+1);
swap(x,t,j);
}
f1-=m[x[j]][1];
cf-=f2;
f2=tempf;
}
}
}
int main()
{
int i,j;
printf("请输⼊作业数量\n");
scanf("%d",&n);
printf("请输⼊在各机器上的处理时间\n");
for(i=1; i<=2; i++)
{
for(j=1; j<=n; j++)
{
scanf("%d",&m[j][i]);
}
}
for(i=1; i<=n; i++)
{
x[i]=i; //记录当前调度
}
Backtrack(1);
printf("调度作业顺序\n");
for(i=1; i<=n; i++)
{
printf("%d\t",bestx[i]);
}
printf("\n");
printf("处理时间:\n");
printf("%d\n",bestf);
return0;
}
注意swap函数，交换两个作业的位置相当于重新赋值了，所以该程序没有对x[i]的赋值函数三、算法的效率。