2022-2023学年四川省成都市第七中学高二上学期第一次质量检测数学(理)试题(解析版)

2022-2023学年四川省成都市第七中学高二上学期第一次质
量检测数学（理）试题
一、单选题
1．若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ） A ．12
B ．12
-
C ．1
D ．1-
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为(),0a ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a +-=，解得12
a =
． 故选：A ．
2．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∨
【答案】A
【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.
【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；
由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题； 所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ．
3．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【答案】A
【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心(),C x y 1=，
化简得()()2
2
341x y -+-=，
所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，
所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
4．设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过点()03，，且与圆C 交于A ，
B 两点，若||3AB =，则直线l 的方程为（ ） A ．34120x y +-= B ．34120x y +-=或4210x y ++=
C ．x =0
D ．x =0或34120x y +-=
【答案】D
【分析】先利用圆的一般方程得到标准方程，得到对应的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在进行求解直线的方程即可得到答案
【详解】解：由222220x y x y +---=可得22(1)(1)4x y -+-=，则圆心C 的坐标为(1,1)，半径为2，
当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为0x =时，代入圆的方程得2220y y --=，解得113y =，213y =||13(13)23AB == 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+即30kx y -+=， 因为||23AB =C 到直线l 222(3)1，
2
11k =+，解得34
k =-，
故此时直线l 的方程为334
y x =-+，即34120x y +-=， 故选：D
5．若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
则2z x y =-的最大值是（ ）
A ．2-
B ．4
C ．8
D ．12
【答案】C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解. 【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，
上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大， 所以max 2408z =⨯-=. 故选：C.
6．设椭圆2
2:14
x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于,A B 两点，
则AF BF +的值是 A ．2 B ．23C ．4
D ．3
【答案】C
【详解】分析：设椭圆的右焦点为2,F 连接22,,AF BF 则四边形2AFBF 是平行四边形，根据椭圆的定义得到AF BF +=2a 得解. 详解：设椭圆的右焦点为2,F 连接22,,AF BF
因为OA=OB,OF=O 2F ,所以四边形2AFBF 是平行四边形. 所以2BF AF =,
所以AF BF +=|AF|+2||AF =2a=4, 故答案为:C
点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形2AFBF 是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.
7．已知12F F ，分别是椭圆()22
2210x y C a b a b
+=>>：的左、右焦点，点()0A b ，
，点B 在椭圆C 上，112AF F B =，D E ，
分别是22AF BF ，的中点，且2DEF △的周长为4，则椭圆C 的方程为（ ）
A ．22
143
x y +=
B ．22
3148
x y +=
C ．22
3144x y +=
D ．2
2
312
y x +=
【答案】B
【分析】因为112AF F B =，所以1A F B ，
，三点共线，且112AF F B =，根据椭圆的定义求得2a =，
设()00,B x y ，根据112AF F B =，求得32
2c
b B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，代入椭圆的方程，求得b 的值，即可求解.
【详解】因为112AF F B =，所以1A F B ，
，三点共线，且112AF F B =， 因为D E ，
分别为2AF 和2BF 的中点， 所以()2222428a AB AF BF DE DF EF =++=++=，所以2a =， 设()00,B x y ，()1,0F c -，()0,A b ，
由112AF F B =，可得()()002c b x c y --=+，
，， 求得032c
x =-
，02b y =-，所以32
2c b B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
， 因为点B 在椭圆C 上，所以
2911164c +=，求得2
43c =，283b =， 所以椭圆C 的方程为22
3148
x y +
=. 故选：B.
8．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．
时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约为（7 2.65≈）（ ）
A ．931.010m ⨯
B ．931.210m ⨯
C ．931.410m ⨯
D ．931.610m ⨯
【答案】C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．
棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ， ∴()
()
661211
914010180101401801033
V h S S SS =++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯''
()
()679933320607109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．
故选：C ．
9．下列结论正确的是（ ）
①过点()2,3A --且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=-； ②圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：20x y -的距离都等于1；
③已知0ab ≠，O 为坐标原点，点(),P a b 是圆E ：222x y r +=外一点，且直线m 的方程
是2ax by r +=，则直线m 与圆E 相交；
④已知直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为13
22
k -≤≤；
A ．①③
B ．②③
C ．②④
D ．③④
【答案】B
【分析】对①，考虑截距为零的情况，即可判断； 对②，求出圆心到直线距离，由数形结合判断即可；
对③，点P 在圆外，有222a b r +>，求出圆心到直线距离，即可判断； 对④，整理直线知过定点()1,1H -，求出,HN HM k k ，由数形结合判断即可； 【详解】对①，当截距为零时，易得直线l 为3
2
y x =
，①错； 对②，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径2r =，则圆心到l 的距离为
00212
11
r -+==
+，
故圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：20x y -+=的距离都等于1，②对； 对③，点P 在圆外，则有2
2
2
a b r +>，圆心()0,0到直线m 的距离为
2222
00r r r r
a b +-<=+，故直线m 与圆E 相交，③对；
对④，直线()1011kx y k y k x ---=⇒+=-，过定点()1,1H -，则
123111
,132132
HN HM k k ----=
===--+， 直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则32
k ≥或1
2k ≤-，④
错；
故选：B
10．已知矩形ABCD ，1AB =，3BC =ADC ∆沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D ABC -，则在翻折的过程中，有下列结论：
①三棱锥D ABC -的体积最大值为1
3
；
②三棱锥D ABC -的外接球体积不变；
③三棱锥D ABC -的体积最大值时，二面角D AC B --的大小是60︒； ④异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒. 其中正确的是（ ） A ．①②④ B ．②③ C ．②④ D ．③④
【答案】C
【分析】考虑在翻折的过程中，当面ACD ⊥面ACB 时，D 到底面的距离最大，进而得到棱锥体积最大，可判断①；取AC 的中点O ，可得O 为棱锥的外接球的球心，计算可判断②；由①的解析过程知，三棱锥D ABC -的体积最大值时，平面ADC ⊥平面ABC ，可判断③
假设AB ⊥CD ，由线面垂直的判断和性质，可判断④．
【详解】①1
3D ABC ABC V S h -∆=⋅，当平面ADC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的高最大，
此时体积最大值为111
1324
D ABC V -=⨯⨯=，①错误；
②设AC 的中点为O ，则由Rt ABC ∆，Rt ADC ∆知，OA OB OC OD ===，所以O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，其半径为
112AC =，所以外接球体积为4
3
π，即三棱锥D ABC -的外接球体积不变，②正确；
③由①的解析过程知，三棱锥D ABC -的体积最大值时，平面ADC ⊥平面ABC ，所以二面角D AC B --的大小是90︒，③错误；
④当ADC ∆沿对角线AC 进行翻折到使点D 与点B ，即BD =时，在
ABCD 中，222BC BD CD =+，所以CD BD ⊥，又CD AD ⊥，翻折后此垂直关系没有变，
所以CD ⊥平面ABD ，所以CD AB ⊥，即异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒，④正确. 故选C.
【点睛】本题考查空间线面和线线的位置关系的判断，以及棱锥的体积与二面角的计算，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
11．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则22
(2)(7)
a b -+-的最小值为（ ）
A B ．5
C ．
D ．20
【答案】D
【分析】直线:10l ax by ++=始终平分圆M 的周长，即直线l 经过点(2,1)M --,即
210a b --+=故点(,)P a b 在直线210x y +-=上,22(2)(7)a b -+-可看作动点(,)P a b 到
定点(2,7)A 的距离||PA 的平方，利用点到直线的距离公式即可求得.
【详解】解：22224210(2)(1)4x y x y x y ++++=⇔+++=，故圆M 的圆心坐标为(2,1)--，直线:10l ax by ++=始终平分圆M 的周长，即直线l 经过点(2,1)M --,故
210a b --+=，即21a b +=.
22(2)(7)a b -+-可看作动点(,)P a b 到定点(2,7)A 的距离||PA 的平方，又因为21a b +=，
故点(,)P a b 在直线210x y +-=上,所以||PA 的最小值为点(2,7)A 到直线210x y +-=的距离d .
∵
d =
=
=
∴||PA ≥∴222(2)(7)||20a b PA -+-=≥ 即22(2)(7)a b -+-的最小值为20. 故选：D.
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()2
2:29C x y -+=，,E F 是直线:2l y x =+上的两点，若对线段EF 上任意一点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得cos 0APB ∠≤，则线段EF 长度的最大值为（ ）
A ．2
B
C ．
D ．4
【答案】C
【分析】设圆的切线为PM 、PN ，由cos 0APB ∠≤得90APB ∠≥，即90MPN ∠≥， 再求得PC 的取值范围，求得点P 的坐标，即可求得EF 的最大值． 【详解】由题意，圆心到直线:2l y x =+的距离为
3d =（半径）
故直线l 和圆相交；
当点P 在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角， 当且仅当两条线均为切线时，
APB ∠才是最大的角，
不妨设切线为PM ，PN ，则由cos 0APB ∠≤， 得90APB ∠≥，
90MPN ∴∠≥；
当90MPN ∠=时，32
sin sin 452
MPC PC ∠===
，32PC ∴= 设()00,2P x x +，
()()
22
002232PC x x =
-++=，
解得：05x =±， 设()(
)
5,52,5,52E F
--++，
如图，EF 之间的任何一个点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得90APB ∠≥， 线段EF 长度的最大值为()(
)(
)
2
2
55
5252210EF ⎡⎤=
-
-+-+-
+=⎣⎦
故选：C
二、填空题
13．已知命题:,cos 1p x R x ∀∈≤， 则p ⌝：_______． 【答案】,cos 1x R x ∃∈>
【详解】根据全称命题的否定为特征命题及“≤”的否定为“>”可知：:,cos 1p x R x ⌝∃∈> 14．命题p ：“R x ∃∈，2240ax ax +-≥”为假命题，则a 的取值范围是_________． 【答案】40a
【分析】由“R x ∃∈，2240ax ax +-≥”为假命题得到“R x ∀∈，2240ax ax +-<”为真命题，然后分类讨论0a =和0a ≠两种情况，列不等式求解即可.
【详解】“R x ∃∈，2240ax ax +-≥”为假命题则“R x ∀∈，2240ax ax +-<”为真命题，
①当0a =时，40-<，成立；
②当0a ≠时，0
Δ0a <⎧⎨<⎩，解得40a ；
综上所述，40a . 故答案为：40a .
15．如图，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为_______．
【答案】2-
【分析】连接1QF ，设2QF x =（0x >），则14PF x =.利用椭圆的定义表示出
11,,||PF PQ QF ，由勾股定理求出3a x =，即可得到1212
tan 2PF PF F PF ∠=
=，进而求出直
线2PF 的斜率.
【详解】如图，连接1QF . 设2QF x =（0x >），则14PF x =.
因为122PF PF a +=，122QF QF a +=，所以224PF a x =-，12QF a x =-. 在1
PFQ 中，190F PQ ∠=︒，所以2
2
211||PF PQ QF +=，即()()
()22
2
4242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =，所以
1212
44tan 22464PF x x
PF F PF a x x x
∠=
=
==--，所以直线2PF 的斜率为
()21tan 1802k PF F =︒-∠=-．
故答案为：-2.
16．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比
()0,1MQ
MP
λλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
且2λ=，若点()1,1B ，
则2MP MB +的最小值为_______. 10【分析】先由阿波罗尼斯圆的定义求出定点Q 坐标，再由2MQ MP =结合三点共线求出最小值即可.
【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以()
2
2=-+MQ x a y 1,02P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，所以
2
212MP x y ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭因为MQ MP λ=且2λ=()
2
2
22212-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭x a y x y
，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，
所以24203
113
a
a +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又2MQ MP =，所以
2MP MB MQ MB +=+，
因为()1,1B ，所以2MP MB +的最小值为()()
22
121010=++-BQ ,,Q M B 三点共线时取等.
10.
三、解答题
17．已知命题2:680p x x -+≤，命题:33q m x m -≤≤+.若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求m 的取值范围. 【答案】(),1-∞
【分析】分析可知，q 是p 的充分不必要条件，可得出集合的包含关系，对实数m 的取值进行分类讨论，根据题意可得出关于实数m 的不等式组，并对结果进行检验，可得出实数m 的取值范围.
【详解】解：设{}
{}2
68024A x x x x x =-+≤=≤≤，{}33B x m x m =-≤≤+.
因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，所以，B A . （i ）若B =∅，则B A 成立，此时有33m m +<-，解得0m <； （ii ）若B ≠∅，则333234m m m m -≤+⎧⎪
-≥⎨⎪+≤⎩
，解得01m ≤≤，
当0m =时，{}3B = A ，合乎题意， 当1m =时，{}24B x x A =≤≤=，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(),1-∞.
18．已知ABC 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，边AC 上的高BH 所在直线方程为250x y --=， （1）求顶点C 的坐标； （2）求ABC 的面积． 【答案】（1）()4,3C ；（2）8.
【分析】（1）首先设(),C m n ，根据题意得到1
25250
n m m n -⎧=-⎪
-⎨⎪--=⎩，再解方程组即可.
（2）首先设(),B a b ，得到51,22a b M ++⎛⎫
⎪⎝⎭，从而得到15502250
b a a b +⎧
+--=⎪⎨⎪--=⎩，解方程得到()1,3B --，再求出BC 和点A 到直线BC 的距离，即可得到答案.
【详解】（1）设(),C m n ，因为直线AC 与直线BH 垂直，且C 点在直线250x y --=上，
所以1
25250
n m m n -⎧=-⎪
-⎨⎪--=⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩，故()4,3C .
（2）设(),B a b 由题知：51,2
2a b M ++⎛⎫
⎪⎝⎭， 所以15502250
b a a b +⎧
+--=⎪⎨⎪--=⎩，解得13a b =-⎧⎨=-⎩，即()1,3B --.
336415BC k +==+，直线()6:345BC y x -=-，即：6590x y --=.
()()
22
413361BC =
+++=， 点A 到直线BC 的距离()
2
2655916
6165d ⨯--=
=
+-，
所以116618261
ABC
S
=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查直线的方程，同时考查点到直线的距离公式，属于中档题. 19．已知线段AB 的端点B 的坐标为()1,3，端点A 在圆22:(1)4C x y ++=上运动．
(1)求线段AB 的中点M 的轨迹；
(2)过点B 的直线l 与圆C 有两个交点E 、D ，当CE CD ⊥时求直线l 的斜率． 【答案】(1)点M 的轨迹是以3
(0,)2
为圆心，1为半径的圆
(2)2232
k =±
【分析】（1）设1(A x ，1)y ，(,)M x y ，由中点公式得111
2
32
x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，化为：112123x x y y =-⎧⎨=-⎩，代
入C 的方程即可得出．
（2）设l 的斜率为k ，则l 的方程为：3(1)y k x -=-，即30kx y k --+=，因为CE CD ⊥，CED 为等腰直角三角形，圆心(1,0)C -到l 22
由点到直线的距离公
式得：
2
|3|
21
k k k --+=+，解出即可得出．
【详解】(1)设1(A x ，1)y ，(,)M x y ，由中点公式得111
2
32
x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，化为：112123x x y y =-⎧⎨=-⎩，
因为A 在圆C 上，所以22(2)(23)4x y +-=，即223()12
x y +-=， 点M 的轨迹是以3
(0,)2
为圆心，1为半径的圆．
(2)设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为：3(1)y k x -=-，即30kx y k --+=， 因为CE CD ⊥，CED 为等腰直角三角形，圆心(1,0)C -到l 的距离为122
CD =，
由点到直线的距离公式得：
2
|3|
21
k k k --+=+，
221270k k ∴-+=，解得2232
k =±
． 20．最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，O ，A ，B 是三个军
事基地，C 为一个军事要塞，在线段AB 上．已知tan 2AOB ∠=-，
100km OA =，C 到OA ，OB 的距离分别为50km ，305km ，以点O 为坐标原点，直线OA 为x 轴，建立平面直
角坐标系如图所示．
(1)求两个军事基地AB 的长；
(2)若要塞C 正北方向距离要塞100km 处有一E 处正在进行爆破试验，爆炸波生成h t 时的半径为5r at =a 为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以3002km /h 的速度自基地A 开往基地B ，问参数a 控制在什么范围内时，爆炸波不会
波及到飞行器的飞行． 【答案】(1)2002km
(2)当024*******a <<时，爆炸波不会波及飞行器的飞行
【分析】（1）利用直线与圆相切求出C 点坐标，联立直线方程求出B 点坐标，利用两点的距离公式即可求解；
（2）由题意得22EF r >对303t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，恒成立，即22(30050)(300150)25t t at -+->对
303t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，恒成立，然后对t 进行分类讨论，利用基本不等式即可求解． 【详解】(1)则由题设得：()1000A ，
，直线OB 的方程为2y x =-，()0050(0)C x x >，，
=00x >解得050x =，所以()5050C ，．
所以直线AC 的方程为()100y x =--，即1000x y +-=，
由21000y x x y =-⎧⎨+-=⎩
，
得100x =-，200y =，即()100200B -，
，
所以AB =
即基地AB 的长为． (2)设爆炸产生的爆炸波圆E ，
由题意可得()50150
E ，，生成t 小时时，飞行在线段AB 上的点
F 处，
则AF =，2
03
t ≤≤
，所以()100300300F t t -，
． 爆炸波不会波及卡车的通行，即22EF r >对303t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，恒成立．
所以2222(30050)(300150)25EF t t r at =-+->=， 即22(30050)(300150)25t t at -+->． 当0=t 时，上式恒成立，
当0t ≠即203t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，时，1000
72004800a t t <+-，
因为10007200480048004800t t +
-≥=，
当且仅当10007200t t =
，即t =时等号成立， 所以，在
04800a <<时，r EF <恒最立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行． 答：当
04800a <<时，爆炸波不会波及飞行器的飞行．
21．如图所示正四棱锥S ﹣ABCD ，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，AB =P 为侧棱SD 上的点．
（1）求证：AC ⊥SD ； （2）若3SAP
APD
S
S
=，
（ⅰ）求三棱锥S ﹣APC 的体积．
（ⅱ）侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ．若存在，求SE
EC
的值；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）（ⅰ）
3
4
；（ⅱ）存在，2. 【分析】（1）证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即关键证明AC ⊥平面SBD ； （2）（ⅰ）首先确定点P 的位置，再利用等体积转化，即可求解；
（ⅱ）取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，可得//BE 平面PAC ，从而得出答案. 【详解】证明：（1）连BD ，设AC 交BD 于O ，由题意SO ⊥AC ． 在正方形ABCD 中，有AC ⊥BD ，又SO ∩BD ＝O ， ∴AC ⊥平面SBD ，得AC ⊥SD ； （2）∵3SAP
APD S
S
=，∴
13PD SP =，则3
4
SP SD =， （ⅰ）VS ﹣APC=331
3113
322443
4324
S ADC ADC
V SO S
=⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅=
﹣. （ⅱ）侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE
EC
=时，//BE 平面PAC .
由3SAP
APD
S
S
=，可得3SP PD =
取点F 为SD 的中点，则点P 为FD 的中点,又O 为BD 的中点 所以在BFD △中，//BF OP .
BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，则//BF 平面ACP
过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE
由EF ⊄平面ACP ，PC ⊂平面ACP ，则//EF 平面ACP 又EF
BE E =，所以平面//BEF 平面ACP
又BE ⊂平面BEF ,则//BE 平面PAC . 由//FE PC ，则
SE SF
EC FP
=, 由3SP PD =，F 为SD 的中点，则
2SF FP =，所以2SE
EC = 所以侧棱SC 上存在一点E ，当满足
2SE
EC
=时，//BE 平面PAC .
22．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>，长轴是短轴的3倍，点22⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2
219
x y +=
(2)存在，3
【分析】（1）根据题意得a ＝3b ，再将点22⎛ ⎝⎭
代入求得22
,a b ，即可得解；
（2）设l 的方程为x ＝my ＋1，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程，利用韦达定理求得1212,y y y y +，再根据斜率公式计算整理，从而可得出结论.
【详解】(1)解：由题意得a ＝3b ，故椭圆C 为22
2219x y b b
+=，
又点⎛ ⎝
⎭在C 上，所以2218
199b b +=，得21b =，29a =， 故椭圆C 的方程即为2
219
x y +=；
(2)解：由已知知直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为x ＝my ＋1， 联立两个方程得22
191x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去x 得：()22
9280m y my ++-=，
()2243290m m ∆=++>得m ∈R ， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212
2228
,99
m y y y y m m +=-=-++（）， 1212
121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=
⋅=⋅--+-+-()()()
1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，
将（）代入上式，可得：()()()()222222228
89829911199m m t m t m m t t m m -
+=-⎛⎫---⋅+--+- ⎪++⎝⎭
， 要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=，又∵0t >，∴t ＝3， 此时82
949
TM TN k k ⋅=
=--⨯， ∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值2
9
-，此时t ＝3.
【点睛】本例考查了利用待定系数法求椭圆方程，考查了椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力和数据分析能力，计算量较大.。