六年级(上)奥数思想 第01讲 比赛中的推理

第一讲比赛中的推理
这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题．这些问题有各种不同的形式：有分
析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类
型的问题我们应该用不同的方法来处理．
在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它来分析
比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了．
例题1
编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、
4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为6的同学赛了几盘？
「分析」为了让问题更加直观，我们可以画出一个示意图，用6个点来表示这6个同学．如
果两个同学之间比赛过，则把对应的两个点用实线连起来，如果没比赛过，则用虚线连起来．
练习1
A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学
校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队赛过的场数依次为4、
3、2、1．问：这时候A校的足球队已赛过的场数？
例题2
A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C．那么第五天与A队比赛的是那个队？
A B C D E F
1 D B
2 E C
3 F D
4 C B
5
「分析」题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示．如图，第二列从上到下依次表示A在5天中分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推．观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什么特点？
练习2
五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E在哪一天比赛？
例题3
甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？（3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得了多少分？
「分析」（1）每两人之间都比赛一场，总比赛场数就是从四个人中挑出两人的方法数；（2）比赛的胜负情况有很多种可能？那么总分也有很多种可能吗？大家考虑一下每场比赛，比赛双方的得分之和就知道了；（3）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分数既不能太大，也不能太小，那么会是多少呢？
练习3
有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队都比赛一场．比赛规定：胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分．全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少分？
例题4
4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？
「分析」4支球队之间一共比赛了多少场？所有比赛的总分最多是多少，最少是多少？你能由此推断出各队的得分吗？
练习4
甲、乙、丙、丁4个队举行足球单循环赛．规定：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知：（1）比赛结束后4个队的得分都是奇数；（2）甲队总分超过其他各队，名列第一；（3）乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队平局．那么丁队得了多少分？
例题5
A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：
场数胜平负进球失球
A 3 2 1 0 2 0
B 2 1 1 0 4 3
C 2 0 0 2 3 6
D
问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？
「分析」对于整个表格来说总进球数等于总失球数．总胜场应当等于总负场，平局数为偶数场．另外表格中的A很特别，两胜一平却只进两个球，这说明什么呢？
例题6
A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级那位获得数学竞赛第一名的同学的情况：
A打听到的：姓李，是女同学，13岁，东城区；
B打听到的：姓张，是男同学，11岁，海淀区；
C打听到的：姓陈，是女同学，13岁，东城区；
D打听到的：姓黄，是男同学，11岁，西城区；
E打听到的：姓张，是男同学，12岁，东城区．
实际上该同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？
「分析」每个同学打听到的消息都只有一项正确，可谓相当的少！5420
⨯=个判断，一共才5个正确的，其中关于姓氏、性别、年龄、地区的判断各有几项是正确的呢？
课堂内外
足球世界杯
世界杯（World Cup，FIFA World Cup），世界足球锦标赛是世界上最高荣誉、最高规格、最高水平的足球比赛，与奥运会并称为全球体育两大顶级赛事，是影响力、转播覆盖率很高的全球体育盛事．世界杯是全球各个国家最梦寐以求的神圣荣耀，哪一支国家足球队能得到它，就是名正言顺的世界第一．整个世界都会为之疯狂沸腾，世界杯上发挥出色的球员都会被该国家奉为民族英雄永载史册，所以它亦代表了各个足球运动员的终极梦想．世界杯每四年举办一次，任何国际足联会员国（地区）都可以派出代表队报名参加这项赛事．世界杯的奖杯为大力神杯，它采用意大利人加扎尼亚的设计方案——两个大力士双手举起地球的设计方案．这个造形象征着世界第一运动的规模．该杯高36.8厘米，重6.175公斤，其中4.97公斤的主体由纯金铸造．底座由两层孔雀石构成，珍贵无比．1974年第十届世界杯赛，德国队作为冠军第一次领取了该杯．国际足联规定新杯为流动奖品，不论哪个队获得多少冠军，也不能永久占有此杯．在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻17个冠军队名字的铭牌——可以持续使用到2038年．
世界杯32支队伍，在小组赛阶段进行的是单循环比赛，16强阶段进行的是淘汰赛，积分规则是3分制．
大力神杯
作业：
1.A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别
是：A队二胜一负，B队二胜一平，C队一胜二负．那么D队的成绩是什么？
2.
3.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0
分．请问：（1）一共有多少场比赛？（2）6个人最后得分的总和是多少？（3）得分最高的三名同学的分数之和最多是多少？
4.
5.六个人参加乒乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，胜者得2分，负者得0分，没有平局．比
赛结束时发现，有两人并列第二名，两人并列第五名．那么第一名和第四名各得了多少分？6.
7.足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和
客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分，在联赛结束后按积分的高低排出名次．那么，在积分榜上第一名与第二名的积分差距最多可达多少分？
8.
9.A、B、C、D四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：
10.
11.问：D赛了几场？D所参与的各场比赛的比分分别是什么？
第一讲 比赛中的推理 【答案详解版】
例1． 答案：3
详解：5号已经赛过5盘，说明他和其他5个人都已经赛过了．而1号只赛了一盘，所以1号这一盘是同5号赛的，他同其他四个人都没有赛过，如图1所示．再看4号，他赛过4盘，且同1号没有赛过，所以4号赛过的同学是除1号以外的4个人．而2号只赛过两盘，所以2号只同5号、4号赛过，如图2所示．3号赛过3盘，而且他同1号、2号没有赛过，那么同3号赛过的就是4号、5号和6号，如图3所示．
于是我们知道同6号赛过的有3号、4号和5号．他赛了3盘．
例2．
答案：B 详解：如图4，列出表格后发现，每行、每列各有6个字母，而且同一行或列的6个字母互不相同，
只需用这一原则把表格补充完整即可．
首先可以确定（2，D ）处应填A ．这是因为第2行已经有E 和C ，第4列已经有D 、B 和F ，所以这一个格不能填这些字母，只能填A ．由于第二天A 与D 比赛，那么对应地（2，A ）处也应填D ．第
二天余下的一场就是B 对F ，因而（2，B ）处应填F ，（2，F ）处应填B ．
我们用类似的方法推理各行、列，最终把整个表格填出来，得到图5．于是，第五天与A 比赛的球
队是B ．
例3．
答案：6；12；3 详解：（1）6；（2）12；（3）3．
（1）详解：从四个人中选出两人，有2
4
6C 种方法．每两人之间比赛一场，那么一共就有6场比
号5号
图1
35号
图2
号
5号
图3
赛；
（2）详解：不论胜负还是平局，每场比赛两人得分之和都是2分．一共6场比赛，所以四个人最后得分的总和就是2612⨯=分；
（3）详解：四个人得分之和是12分，甲得分最高，丁得分最低，而乙、丙得分相同．如果乙、丙得分是4分，则甲得分超过4分，这三人的得分之和已经超过12分，与题意矛盾．因此乙、丙得分最多是3分．如果乙、丙得分是2分，则丁最多得了1分，而甲至少得了122217---=分．但是连胜3场也只能得6分，不可能达到7分，因此乙、丙得分至少是3分．所以乙、丙得分就是3分．
例4．
答案：4
详解：如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是3分；如果平局，双方得分之和就是2分．4支
球队之间要进行24
6C =场比赛，所以总分就要在12分和18分之间． 由题意，四支球队的得分是4个连续的自然数．而四个连续自然数的和可能是：01236+++=，123410+++=，234514+++=，345618+++=，…… 在12分和18分之间的只有14和18．如果是3分、4分、5分、6分，总分是18分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的（大家自己想想这是为什么）．所以四个连续的分数为2分、3分、4分、5分．
于是第一名得5分，只能是1胜2平；第二名得4分，只能是1胜1平1负；第三名得3分，可能是1胜2负，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1负．其中只有第三名的比赛结果有两种情况．
综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有2胜5平2负．由于总胜场数与总负场数相同，所以第三名只能是3平．容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图6所示．因此输给了第一名的只有第二名，他得了4分．
例5．
答案：3，A :D =1:0，B :D =4:3，C :D=3:5
详解：首先A 两场胜场均为1比0胜出，平局为0比0，而且一定是A 以1比0胜C ，同样以1比0胜D ，0比0平B ，而B 胜的那场胜场以4:3胜出，C 的负场以3比5败北，所以不能是B 胜C ，那么一定是B 胜D ，D 胜C ，所以，D 参加了3场比赛．分别是A :D =1:0，B :D =4:3，C :D=3:5．
例6．
答案：海淀区，12岁
详解：5420⨯=个判断，一共才5个正确的，可以推断出第一名同学的姓名、性别、年龄、城区，分别有1项、2项、1项、1项是正确的．先来看性别，有2项正确，那么第一名是女同学；再来看年龄，2个人说是13岁，2个人说是11岁，只有1个人说是12岁，由于只有1项消息正确，则第一名是12岁；再看城区，3人说东城区，1人说海淀区，1人说西城区，那么第一名在海淀区或第一名
1胜2平 第二名 1胜1平1负
第三名
3平 第四名 2平1负
图6
者西城区；类似地，可以分析出第一名同学姓李，或姓陈，或姓黄．综合考虑第一名同学的姓名与城区，就很容易判断出唯一的答案：姓黄，是女同学，12岁，海淀区．
练习答案：
练习1
答案：赛2场
简答：连线，从胜得最多的和胜得最少的队伍入手分析．
练习2
答案：第五天
简答：列表分析，用*表示轮空，可得下图．
练习3
答案：3
简答：四人总得分是12分，其中C 的分数肯定小于1234÷=分，所以得分不多于3分．四人分别得4分、4分、3分、1分是容易构造出来的，所以C 队得分最多就是3分．
练习4
答案：3
简答：先推断出各队得分分别为7分、5分、3分、1分，然后分析胜负情况即可．
图1
作业：
12. 答案：一平二负．简答：B 队有一平，只可能平D ，所以对A 、C 是二胜．于是A 的两胜是赢
了C 和D ．故C 的一胜是胜D ，于是D 的成绩是一平二负．
13.
14. 答案：（1）15；（2）30；（3）24．简答：（1）；（2）；（3）． 15.
16. 答案：10；4．简答：并列第五名的两人至少要各赢1场，所以第四名至少要赢2场，并列第
二名至少要各赢3场，第一名至少要赢4场．，而一共要进行15场比赛，
所以只能是第一名赢5场得10分，第四名赢2场得4分．
17.
18. 答案：46． 简答：第一名要积分多，最好是要22场全胜，得66分．剩下的11支球队还要比
赛（场），每场比赛两队合起来至少得2分，于是剩下11队总共至少得220分．因此得分最多的队伍至少有分，当这11队全平时，第二名只能得20分，因此分差最大为46分．
19.
20. 答案：2；A 与D 是1:0、B 与D 是1:0．
21. 简答：由A 全胜，且进球数为3，可知A 与其他三队的比分都是1:0．B 赛了三场，且两胜一
负，所以B 胜C ，而C 只比了两场，进球数为0，所以B 与C 的比分是3:0；而B 与D 只能是1:0．
2201120÷= 2112110C ⨯= 12232414⨯++⨯+= 303224-⨯= 15230⨯=2615C =。