2-5初等矩阵及其性质
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Eij 1(k ) Eij (k )
Eij A B
A
B
Eij B A
Ei (k ) 1 Ei ( ) k
A B
A
1 ri k
ri kr j
ri k
B
A B
A
ri (k )rj
Eij (k )
B
Eij (k )
3) 初等矩阵的转置还是初等矩阵,即:
1 2 0 1
1 r2 2 1
2 3 2
5 1 0 1 8 r1 2 r2 13 3 13 0 1 2 2 2
1 8 所以 X A B 3 13 2 2
例3
加到第 i 行(第 j 列),得到的初等矩阵 如对三阶单位矩阵
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 E12(k)= 0 0
k 1 0
0 0 1
初等矩阵有以下性质: 1)对 A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应 的初等阵左乘矩阵 A; 对 A施行一次初等列变换的结果 等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A. 行变换: 列变换:
1)构造矩:(A E);
2)做初等行变换 A
行 E E A1
2 1 0 例1 求A的逆矩阵,其中 A 1 2 1 【解】 由于 0 1 2
2 1 0 1 0 0 1 2 1 0 r 2 1 1 r2 A E 1 2 1 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 2 0 0 1 0 1 2 1 1 2 1 0 1 0 0 1 2 r2 r3 r2 2 r1 0 3 2 1 2 0 0 1 2 0 0 1 0 3 2 1 2 1 0 1 0 3 3 r2 r 0 1 2 0 0 1 0 0 4 1 2 3
1 3 4 3 1
0 0 7 0 1 11 7 1 4 7 4 5 7
0 2 4 3 3 3 2 1 1 3 2 1 3 2 1
0 2 4 11 3 3 4 1 1 5 2 1 3 0 7
1 A -1 1 1
-
1 4
1 1 - 1 1 1 -1 1 X 1 1 2 -1 1
1 A E 2A 2 1 -1
-
1
1 1
1 -1 1
1 - 1 1
1
1ri rj ci c j ; 2 r k c k ; 1.初等行(列)变换 i i 3ri krj ci kc j . 初等变换的逆变换仍为初等变换, 变换类型相同.
如对三阶单位矩阵
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 E23= 0 0
0 0 1
0 1 0
(2) Ei (k ) :单位矩阵E的第 i 行(列)元素乘以常数 k , 得到的初等矩阵 如对三阶单位矩阵
1 0 0 1 0 0 0 1 0 E ( k ) = 3 0 1 0 0 0 k 0 0 1 (3) Eij (k ):单位矩阵E 的第 j 行(第 i 列)乘以常数 k
Eij (k ) A B ji
如:
a12 a13 a11 a21 ka31 a22 ` ka32 a23 ka33 a32 a33 a31 r2 k r3
1 0 0 a11 a12 a13 a14 a a a a E23 ( k ) A 0 1 k 21 22` 23 24 0 0 1 a31 a32 a33 a34
(2)当矩阵A可逆时,如何用初等变换求解矩 阵方程:XA=B ?
A 列 E B BA 1
例2:设矩阵方程为AX=B,求矩阵X,其中
解: 由于
1 2 2 5 A , B 3 4 3 2
5 1 2 2 5 r2 3r1 1 2 2 A B 3 4 3 2 0 2 3 13
1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 A 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
注意:化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用 初等行变换. 化矩阵为标准形时,初等行变换和初 等列变换均可以使用.
例四66页
设矩阵
6
1 A -1 1
1 1
-
-
1
1 1 1
1 矩阵 X 满足 A X A 2 X ,其中 X 是 A 的伴随矩阵,求 X .
解: AA A E AA X A( A1 2 X ) 即 A X E 2 AX ( A E 2 A)X E X ( A E 2 A)1
第二章 矩阵概念及其运算
第五节 初等矩阵(Elementary Matrix ) 及其性质
初等矩阵的概念与性质
用初等变换求逆矩阵
问题与思考
一、初等矩阵的概念与性质
【定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵 称为初等矩阵.
初等矩阵分为三类,分别记为Eij、Ei(k)、 Eij(k);
(1)Eij: 交换单位矩阵的第 i , j行(列),得到的初等矩阵
2.用初等变换解矩阵方程
(1)设矩阵方程为:AX=B,其中A可逆,则矩阵X=A-1B 设:A-1 =P1P2…Ps (Pi为初等矩阵) 由 A-1A=E; A-1B= X; 得 : P1P2…PsA=E
行
P1P2…PsB=X 想一想
解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的一般方法:
1) A B E X 2) X A1 B
【推论1】两个 m n 型矩阵A、B等价的充要条件是:存 在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.
证
A与B等价 存在有限个 m 阶初等矩阵 P 1, P 2 ,, P s 及有限个 n 阶 初等矩阵 Q1, Q2 ,, Qt , 使
P 1P 2 P s AQ1Q2 Qt B,
1 ) A B E A B
1
2) X A 1 B
用初等变换解矩阵方程:XA=B(其中A可逆)的方法:
A 列 E B BA1
• 作业: 62页 习题2-5 1;2;3 • 66页 总习题二 6;
练习 将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化 为行最简形,最后化为标准形.
A B
kC3
0 a11 a12 ka13 a14 0 a21 a22 ` ka23 a24 B 0 a31 a32 ka33 a34 1
用初等矩阵表示矩形框里的矩阵:
r1 r2
A
E12 A
c3 k
E12 AE3 (k )
Eij Eij ;
T
Ei (k ) Ei (k );
T
Eij (k ) E ji (k )
T
二、用初等变换求逆矩阵
【定理 2.4】矩阵 A 可逆的充要条件是 : 存在有 限个初等阵P1,P2,…,Pk,使 A=P1P2…Pk. 【证】 充分性:设有初等阵P1,P2,…,Pk , 使 A=P1P2…Pk.
2. A 初等变换 B A ~ B.
3.矩阵等价具有的性质
三、小结
1反身性; 2 对称性;
3传递性.
4. 单位矩阵 5.
一次初等变换
初等矩阵.
初等变换的应用
用初等变换求逆矩阵的方法:
1)构造矩:(A E);
行
E A1 2)做初等行变换 A E
行
用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的方法:
r1 k
E1 (k ) E12 AE3 (k )
B
E1(k )E12 AE3 (k ) B
2)初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还 是初等矩阵,即:
Eij Eij ;
行变换:
1
1 Ei ( k ) Ei ( ) k 0; k
1
A B
ri rj
ri r j
因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵,所 以A可逆。 必要性:设A是可逆阵,所以R(A)=n A经初等变换可以化成单位矩阵E,从而经有限次初等 变换可以将E变成A, 存在有限个初等阵P1,P2,…,Pl,Pl+1,…,Pk,使 A= P1P2…PlEPl+1…Pk, 即 A= P1P2…Pk, 证毕
A B
1 a14 k 0
a24 ka34 B a34 a14
a11 a12 a13 AE3 ( k ) a21 a22` a23 a31 a32 a33
二、用初等变换求逆矩阵
1.用初等变换求逆矩阵 设A是n阶可逆矩阵,则A-1 也可逆。从而存在初等阵P1,P2,…,Ps
使 A1 P1P2 Ps
由 A-1A=E; A-1E= A-1;
得 : P1P2…PsA=E P1P2…PsE=A-1 结论: 若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵 E时,则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵 E化成了逆矩阵A-1 用初等变换求逆矩阵的方法:
A B
ri k c A i k A B B
ri c rj c i jB A
E ij A AE B B
A B
A c i kc jB
ri kr j
AE (k) B
E )kA i (k( AE ) B B
i
ij
令P P 1P 2 P s; Q Q 1Q2 Qt .
由定理2-4知P是 m 阶可逆矩阵,Q为 n 阶可逆矩阵
且 PAQ=B
【推论2】设A是 m n 矩阵,P是m阶可逆矩阵,Q是 n阶可逆矩阵.则 R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)
【推论 3】设 A是可逆矩阵 ,则可以只经过初等行变换 化成单位矩阵E. 【证推论3】 因A可逆, 所以A-1也可逆, 由定理2.4存在初等阵P1,P2,…,Ps,使 A-1= P1P2…Ps 因为 A-1A=E 于是有P1,P2,…,PsA=E 这表明,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵.
1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 2 0
3 1 0 0 4 1 r1 2 r2 ; r3 1 4 0 1 0 2 0 0 1 1 4
1 2 0 1 1 r2 r3 ;r1 r3 2 4 0 1 0 0 0 4
1 3 3 4 2 4 1 1 1 2 2 1 2 3
1 2 1
1 2
1 2
1 4 1 2 3 4
所以:
A 1
3 4 1 2 1 4
1 1 2
1 4 1 2 3 4