定积分第五节定积分的应用

j左(
y)]dy
.
例1 计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积. 解 (1)画图;
(2)确定在x轴上的投影区间:[0, 1];
(3)确定上下曲线: f上 (x) x , f下 (x) x2 .
(4)计算积分
S 01( x x2)dx
3
[2 3
x2
1 3
x 3 ]10
1 3
.
S ab[ f上(x) f下(x)]dx .
VVaaaayy22ddxxaaaababa2222(a(a22xx22)d)dxx
b2 [a 2 x 1
a2
3
x3 ]a a
4 ab
3
2
.
例8由yx3, x2, y0所围成的图形, 分别绕x轴及y轴 旋转, 计算所得两个旋转体的体积.
解：绕x轴旋转所得旋转体的体积为
Vx
2
y
2
dx
0
2 x 6 dx
2a 2 2 (4 + 4 cos + cos2 )d 0
18a2
.
二、体积
1.旋转体的体积 旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、
ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. •旋转体的体积元素
考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,
用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,
0
1 x7 2 128
7 07
绕y轴旋转所得旋转体的体积为
2
Vy
22 8
8
x
2
dy
32
0
8
y 3 dy
0
32 3 3 y5 8 64
5
05
例 8 求摆线 x a(t sin t)，y a(1 cos t)的 一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转
构成旋转体的体积.
0
0
2a x 2 x0 0
2ax02
旋转体的体积： V ab[ f (x)]2dx .
例7
计算由椭圆
x2 a2
+
y2 b2
1所成的图形绕x轴旋转而成的
旋转体(旋转椭球体)的体积.
解 旋转椭球体可以看作是由半个椭圆 y b a2 x2及 x
a
轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.
旋转椭球体的体积为
与b a
f ( x)dx
两式，我们发现一个事实，即左边的极限式子与右边
的定积分表达式有很好的对应。我们让
n
lim
0 i1
对应 b a
而使f (i )xi 对应f ( x)dx
要想得到一个定积分表达式，只要求出被积
表达式 f ( x)dx, 这就是定积分的元素法.
二 定积分的元素法（Element Method）
18
例3 求由曲线 y 1 x2 与x2+y28(两部分都要计算)所围
成的面积
2
解
：
A1
2
2
(
0
8 x2 1 x2 )dx 2
2
2
8 x2 dx
2 x2dx
0
0
2
20
1604
8 x2 dx
cos2 tdt
8
3
8 3
2
+
4 3
A2 (2
2
)2
S1
6
4 3
2.极坐标情形
•曲边扇形
个小窄曲边梯形的面积为 A ，则 A n A ;
i
i
（2）计算A 的近似值 i
Ai
f (i
n
)xii,1i
xi；
（3） 求和，得A的近似值A f (i )xi；
（4） 求极限，得A的精确值. i1
n
A
lim
0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx.
a
n
比较 lim 0 i1
f (i )xi
元素法的一般步骤:
1）根据问题的具体情况，选取一个变量，例如
x 为积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ；
2）在[a, b]中任取一小区间并记为 [ x, x + dx]，求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果U能近似地表示为[a, b]上 的一个连续函数在 x处的值 f ( x)与dx 的乘 积，就把 f ( x)dx称为量 U 的元素且记作 dU ，即dU f ( x)dx；
x x1( y) o
A
2a x
分别绕 y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2a
x
2
2
(
y
)dy
0
2a
x
2
1
(
y
)dy
0
a2 (t sin t)2 a sin tdt 2 a2 (t sin t)2 a sin tdt 0
a3
2
(t
sin
t)2
sin
tdt
63a3 .
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，
在区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
常见应用方向有：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力等．
第二 定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长
一、平面图形的面积
1.直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲 线yf上(x)与yf下(x)及左右两条 直线xa与xb所围成.
在点x处面积增量的近似值为
dS= [f上(x) f下(x)]dx, 它也就是面积元素.
因此平面图形的面积为
S ab[ f上(x) f下(x)]dx .
S ab[ f上(x) f下(x)]dx .
第三 定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
dW F(x) dx
a x x+dx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
ddss 11++jj222((tt)))j((tt))ddtt jj2(2t()t+)+2(2t)(td)td.t .
于是曲线弧的长为
s
j2(t)+2(t)dt .
曲线yf(x)(axb)的弧长：s
b
a
1+ y2 dx .
曲线xj(t)、y(t)(t)的弧长：s
j2(t)+2(t)dt .
例14计算星形线 x acos3t, y asin3t的全长.
解 绕 x轴旋转的旋转体体积
y( x)
Vx
2a y2 ( x)dx
0
a
2a
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
a3
2
(1
3cos t
+
3 cos 2
t
cos 3
t )dt
52a3 .
0
绕 y轴旋转的旋转体体积
y
2a C
B x x2( y)
可看作平面图OABC 与OBC
曲线()()的弧长：s
2( )+ 2( )d .
例15 求阿基米德螺线a (a>0)相应于从0到2 一
段的弧长.
解 弧长元素为
ds a2 2 +a2d a 1+ 2d .
于是所求弧长为
s
2
0
a
1+ 2 d
a[2
2
1+4 2 +
s
2
0
a
1+ 2d
a[2
2
1+4 2 +ln(2 +
1+4 2)] .
底面交成角. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.
解 建立坐标系如图, 则底圆的方程为x2+y2R2.
立体中过点x且垂直于x轴的截面为直
角三角形, 其面积为
A( x) 1 (R 2 x 2 ) tan .
2
所求立体的体积为
V
R
R
1(R2 2
x2)
tandx
1 2
tan[R2
x
1 3
x3]RR
2 R3 tan .
曲边扇形是由曲线j()及射线, 所围成的图形.
•曲边扇形的面积元素 . dS 1 [j ( )] 2 d
2
•曲边扇形的面积
S
1 2
[j(
)]2
d
.
曲边扇形的面积：S
1 2
[j(
)]2
d
( j(), ) .
例4 计算阿基米德螺线a (a>0)上相应于从0变 到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
曲边梯形由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、x 轴与两条直线x a 、 x b所围成。
y
oa
y f (x)
bx
b
A a f ( x)dx.
面积表示为定积分要通过如下步骤：
（1）把区间[a, b]分成 n个长度为 x 的小区间， i
相应的曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，第i
所求功为
kq
1 r
b a
kq( 1 1) ab
第五节 定积分的应用
本章中我们将用前面学过的定积分的知识来 分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的 不仅是建立计算这些几何、物理的公式， 更重要的在于介绍运用元素分析法解决问题 的定积分的方法。
第一 定积分的元素法
一 问题的提出 二 定积分的元素法
一 问题的提出(Introduction)
考虑曲边梯形面积计算问题
解: 用参数方程的弧长公式.
s 4 2 x2(t) + y2(t)dt 0
4 2 [3acos2t (sin t)]2 +[3asin 2t cost]2dt 0 12 2 sin t costdt 6a 0
•极坐标情形
设曲线弧由极坐标方程()()给出, 其中() 在[, ]上具有连续导数.
S
d
c
[j右
(
y)
j左(y)]dy
.
例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积.
解 (1)画图;
(2)确定在y轴上的投影区间: [2, 4].
(3)确定左右曲线:
j左 (y)
1 2
y2,
j右 (y)
y+4
.
(4)计算积分
S
4 (
2
y
+
4
1 2
y2)dy
[1 2
y2 + 4y
1 6
y 3 ]4 2
2 t2 1 t2 1
2 t2 1
3
dt +
2
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2
t
1
2
dt 1
1
+
1 2
ln
3 2
曲线yf(x)(axb)的弧长：s b 1+ y2 dx . a
•参数方程情形
设曲线弧由参数方程xj(t)、y(t)(t)给出, 其 中j(t)、(t)在[, ]上具有连续导数.
因为因为ddyxddyxj(j(tt))((tt)), d, xdxjj(t()td)dt,t, 所所以以弧弧长长元元素素为为
3
三、平面曲线的弧长
•直角坐标情形
设曲线弧由直角坐标方程
yf(x) (axb)
给出, 其中f(x)在区间[a, b]上具有一阶连续导数. 现在来
计算这曲线弧的长度.
y
y f (x)
ds
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 + (dy)2 1+ y2 dx
因此所求弧长 s b 1+ y2 dx o a x x + d x b x a
曲线yf(x)(axb)的弧长：s b 1+ y2 dx . a
例12 计算曲线yln x上相应于 3 x 8的一段弧的长度.
解：
s
8 1+ y2 (x)dx
8 1+ (1)2 dx
8 1+ x2 dx
3
3
x
3x
令 1+ x2 t , 即 x t2 1, 则
3
s
t
t
dt 3 t 2 dt
b
W a F (x) dx
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
+q +1 +1
则功的元素为
dW
kq r2
d
r
o
a
r r + dr b r
因为 x()cos, y()sin (),
所以弧长元素为
ddss xx22(())++yy22(())dd 22(())++22(())dd ..
曲线弧的长为
s
2( )+ 2( )d .
曲线yf(x)(axb)的弧长：s
b
a
1+ y2 dx .
曲线xj(t)、y(t)(t)的弧长：s
j2(t)+2(t)dt .
于是体积元素为 dV[f(x)]2dx.
•旋转体的体积
V ab[ f (x)]2dx .
旋转体的体积：V ab[ f (x)]2dx .
例6 把抛物线y24ax及直线xx0(x00)所围成的图形绕 x轴旋转, 计算所得旋转体的体积.
解： 所得旋转体的体积为
V x0 y 2dx x0 4axdx
S
d
c
[j右(
y)
j左(
y)]dy
.
讨论：
由左右两条曲线xj左(y)与 xj右(y)及上下两条直线yd与yc
所围成的平面图形的面积如何表
示为定积分？
提示：
面积元素为[j右(y)j左(y)]dy,
面积为
S
d
c
[j右(
y)
j左(
y)]dy
.
S ab[ f上(x) f下(x)]dx .
S
d
c
[j右(
y)
0
2.平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴上的投影区间为[a, b], 立体内垂直于x
轴的截面面积为A(x). 立体的体积元素为 A(x)dx.
立体的体积为 V abA(x)dx .
A(x)
截面面积为A(x)的立体体积：V abA(x)dx .
例10 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与
解解
S0212(a)2d
1 2
a2[13
3]02
4 3
a2
21(a)2d
02
1 2
a2[13
3]02
4 3
a2 3
.
a2[13
3]02
4 3
a2
3
.
.
曲边扇形的面积：S
1 2
[j(
)]2
d
( j(), ) .
例5 计算心形线2a(2+cos)(a>0)所围成的图形的
面积.
解 A 2 1 [2a(2 + cos )]2 d 02