专题02整式(共37题)(第01期)【解析版】

专题02整式（共37题）
一、单选题
1．（2022·云南·中考真题）下列运算正确的是（）
A．2+3=5B．30=0C．(―2a)3=―8a3D．a6÷a3=a2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类二次根式判断A，根据零次幂判断B，根据积的乘方判断C，根据同底数幂的除法判断D．【详解】
解：A.2,3不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误，不符合题意；
B.30=1，此选项运算错误，不符合题意；
C.(―2a)3=―8a3，此选项运算正确，符合题意；
D.a6÷a3=a3，此选项运算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的加法、零次幂、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2022·浙江金华·中考真题）计算a3⋅a2的结果是（）
A．a B．a6C．6a D．a5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则计算判断即可．
【详解】
∵a3⋅a2=a5，
故选D．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于a9的是（）
A．a3+a6B．a3⋅a6C．a10―a D．a18÷a2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．
【详解】
A．a3+a6，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；
B．a3⋅a6=a3+6=a9，符合题意；
C．a10―a，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；
D．a18÷a2=a18―2=a16，不符合题意，
故选B
【点睛】
本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．
4．（2022·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（）
A．m+m=m2B．2(m―n)=2m―n
C．(m+2n)2=m2+4n2D．(m+3)(m―3)=m2―9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．【详解】
解：A.m+m=2m，故该选项错误，不符合题意；
B.2(m―n)=2m―2n，故该选项错误，不符合题意；
C.(m+2n)2=m2+4mn+4n2，故该选项错误，不符合题意；
D.(m+3)(m―3)=m2―9，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．
5．（2022·四川德阳·中考真题）下列计算正确的是（）
A．(a―b)2=a2―b2B．(―1)2=1
C．a÷a⋅1
a =a D．―1
2
ab2
3
=―1
6
a3b6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法则逐项判断即可．【详解】
A.(a―b)2=a2―2ab+b2，故本选项错误；
B.(―1)2=1=1，故本选项符合题意；
C.a÷a⋅1
a =1⋅1
a
=1
a
，故本选项错误；
D.(―1
2ab2)3=(―1
2
)3a3b2×3=―1
8
a3b6，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、二次根式的化简、同底数幂的乘除法则、积的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘除法则、积的乘法法则是解答本题的关键．
6．（2022·四川遂宁·中考真题）下列计算中正确的是（）
A．a3⋅a3=a9B．(―2a)3=―8a3
C．a10÷(―a2)3=a4D．(―a+2)(―a―2)=a2+4
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式逐一判断即可．
【详解】
A. a3⋅a3=a3+3=a6，故本选项错误；
B. (―2a)3=(―2)3a3=―8a3，故本选项符合题意；
C. a10÷(―a2)3=―a10―2×3=―a4，故本选项错误；
D. (―a+2)(―a―2)=(―a)2―22=a2―4，故本选项错误；
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
7．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程x2+3x―2022=0的根，那么m3+2m2―2025m+2022的值为（）
A．―2022B．0C．2022D．4044
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意有m2+3m―2022=0，即有m3+3m2―2022m=0，据此即可作答．
【详解】
∵m为x2+3x―2022=0的根据，
∴m2+3m―2022=0，且m≠0，
∴m3+3m2―2022m=0，
则有原式=(m3+3m2―2022m)―(m2+3m―2022)=0―0=0，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为x2+3x―2022=0得到m2+3m―2022=0是解答本题的关键．
8．（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）
A．15B．13C．11D．9
【答案】C
【解析】
根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：1+2=3；第③个图案中菱形的个数：
1+2×2=5；…第n个图案中菱形的个数：1+2(n―1)，算出第⑥个图案中菱形个数即可．
【详解】
解：∵第①个图案中菱形的个数：1；
第②个图案中菱形的个数：1+2=3；
第③个图案中菱形的个数：1+2×2=5；
…
第n个图案中菱形的个数：1+2(n―1)，
∴则第⑥个图案中菱形的个数为：1+2×(6―1)=11，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．
9．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x²，5x³，7x4，9x5，……，第n个单项式是
（）
A．(2n-1)x n B．(2n+1)x n C．(n-1)x n D．(n+1)x n
【答案】A
【解析】
【分析】
系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．
【详解】
解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．
10．（2022·重庆·中考真题）对多项式x―y―z―m―n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x―y)―(z―m―n)=x―y―z+m+n，x―y―(z―m)―n=x―y―z+m ―n，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
给x―y添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】
解：∵(x―y)―z―m―n=x―y―z―m―n
∴①说法正确
∵x―y―z―m―n―x+y+z+m+n=0
又∵无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号
∴②说法正确
∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是(x―y)―z―m―n、x―(y―z)―m―n、x―y―(z―m )―n、x―y―z―(m―n)；
当括号中有三个字母，共有3分别是(x―y―z)―m―n、x―(y―z―m)―n、x―y―(z―m―n)；
当括号中有四个字母，共有1种情况，(x―y―z―m―n)
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
【点睛】
本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
11．（2022·山东滨州·中考真题）下列计算结果，正确的是（）
A．(a2)3=a5B．8=32C．38=2D．cos30°=1
2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．
【详解】
解：A、(a2)3=a2×3=a6，该选项错误；
B、8=2×2×2=22，该选项错误；
C、38=32×2×2=2，该选项正确；
D、cos30°=3
，该选项错误；
2
故选：C．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果正确的是（）
A．5a―3a=2B．6a÷2a=3a C．a6÷a3=a2D．(2a2b3)3=8a6b9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算依次计算判断即可．
【详解】
解：A、5a-3a=2a，选项错误；
B、6a÷2a=3，选项错误；
C、a6÷a3=a3，选项错误；
D、(2a2b3)3=8a6b9，选项正确；
故选：D．
【点睛】
题目主要考查单项式的减法、除法及同底数幂的除法、积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
13．（2022·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（）
A．a2⋅a3=a6B．3a―2a=1
C．(―2a2)3=―8a6D．a6÷a2=a3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整式的加减乘除运算法则逐个判断即可．
【详解】
解：选项A：a2⋅a3=a5，故选项A错误；
选项B：3a―2a=a，故选项B错误；
选项C：(―2a2)3=―8a6，故选项C正确；
选项D：a6÷a2=a4，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式的加减乘除运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则即可求解．14．（2022·浙江丽水·中考真题）计算―a2⋅a的正确结果是（）
A．―a2B．a C．―a3D．a3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则进行运算，即可判定．
【详解】
解：―a2⋅a=―a3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握和运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．15．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（）
A．―(+5)B．+(―5)C．―(―5)D．―|―5|
【答案】C
【解析】
【分析】
根据去括号法则及绝对值化简依次计算判断即可．
【详解】
解：A、-（+5）=-5，不符合题意；
B、+（-5）=-5，不符合题意；
C、-(-5)=5，符合题意；
D、―|―5|=―5，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
题目主要考查去括号法则及化简绝对值，熟练掌握去括号法则是解题关键．
16．（2022·四川自贡·中考真题）下列运算正确的是（）
A．(―1)2=―2B=1
C．a6÷a3=a2D．=0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．
【详解】
A.(―1)2=1，故A错误；
―=―=1，故B正确；
C.a6÷a3=a3，故C错误；
D.―=1，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则，是解题的关键．
17．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）
A．32B．34C．37D．41
【答案】C
【解析】
【分析】
第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】
解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
二、填空题
18．（2022·浙江金华·中考真题）因式分解：x2―9=______．
【答案】(x+3)(x―3)
【解析】
【分析】
根据平方差公式a2―b2=(a+b)(a―b)直接进行因式分解即可．
【详解】
解：x2―9
=x2―32
=(x+3)(x―3)，
故答案为：(x+3)(x―3)．
【点睛】
本题考查利用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．
19．（2022·四川德阳·中考真题）分解因式：ax2―a=______．
【答案】a(x+1)(x-1)
【解析】
【分析】
先提公因式a，再运用平方差公式分解即可．
【详解】
解：ax2-a
=a(x2-1)
=a(x+1)(x-1)
故答案为：a(x+1)(x-1)．
【点睛】
本题考查提公因式法与公式法综合运用，熟练掌握分解因式的提公因式法与公式法两种方法是解题的关键．
20．（2022·江苏连云港·中考真题）计算：2a+3a=______．
【答案】5a
【解析】
【分析】
直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案．
【详解】
解：2a+3a=(2+3)a
=5a．
故答案为：5a．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
21．（2022·山东滨州·中考真题）若m+n=10，mn=5，则m2+n2的值为_______．
【答案】90
【解析】
【分析】
将m2+n2变形得到(m+n)2―2mn，再把m+n=10，mn=5代入进行计算求解．
【详解】
解：∵m+n=10，mn=5，
∴m2+n2
=(m+n)2―2mn
=102―2×5
=100―10
=90．
故答案为：90．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．22．（2022·山东泰安·中考真题）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．
【答案】不存在
【解析】
【分析】
首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根
；最后根据图形中的据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是n(n+1)
2
“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．
【详解】
解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；
n =2时，“•”的个数是6=3×2；n =3时，“•”的个数是9=3×3；n =4时，“•”的个数是12=3×4；……
∴第n 个图形中“•”的个数是3n ；又∵n =1时，“○”的个数是1=1×(1+1)
2
；n =2时，“○”的个数是3=2×(2+1)2，n =3时，“○”的个数是6=
3×(3+1)2，n =4时，“○”的个数是10=4×(4+1)2
，……
∴第n 个“○”的个数是
n (n +1)
2
，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022∴3n ―
n (n +1)
2
=2022①，
n (n +1)
2
―3n =2022②
解①得：无解解②得：n 1=5+16201
2
,n 2
=5―
162012
故答案为：不存在【点睛】
本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
23．（2022·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程mx 2+nx ―1=0(m ≠0)的一个解是x =1，则m +n 的值是___．【答案】1【解析】【分析】
根据一元二次方程解的定义把x =1代入到mx 2+nx ―1=0(m ≠0)进行求解即可．【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程mx 2+nx ―1=0(m ≠0)的一个解是x =1，∴m +n ―1=0，
∴m+n=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．24．（2022·四川德阳·中考真题）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2=3，第三个三角形数是1+2+3=6，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3=4，第三个正方形数是1+3+5=9，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．
【答案】45
【解析】
【分析】
根据题意找到图形规律，即可求解．
【详解】
根据图形，规律如下表：
由上表可知第n 个M 边形数为：S =(1+2+⋯+n )+[1+2+⋯+(n ―1)](m ―3)，整理得：S =
(1+n )n
2
+
n (n ―1)(m ―3)
2
，则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：S =(1+n )n
2
+
n (n ―1)(m ―3)
2
=
(1+5)5
2
+
5(5―1)(6―3)
2
=45，
故答案为：45．【点睛】
本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．
25．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
【答案】127
【解析】
【分析】
由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】
解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点睛】
本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
26．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b，且a>b．
（1）若a，b是整数，则PQ的长是___________；
（2）若代数式a2―2ab―b2的值为零，则S四边形ABCD
S矩形PQMN
的值是___________．
【答案】a―b3+22
【解析】
【分析】
（1）根据图象表示出PQ即可；
（2）根据a2―2ab―b2=0分解因式可得(a―b+2b)(a―b―2b)=0，继而求得a=b+2b，根据这
四个矩形的面积都是5，可得EP=5
a ,EN=5
b
，再进行变形化简即可求解．
【详解】
（1）∵①和②能够重合，③和④能够重合，AE=a,DE=b，
∴PQ=a―b，
故答案为：a―b；
（2）∵a2―2ab―b2=0，
∴a2―2ab+b2―2b2=(a―b)2―2b2=(a―b+2b)(a―b―2b)=0，∴a―b+2b=0或a―b―2b=0，即a=b―2b（负舍）或a=b+2b ∵这四个矩形的面积都是5，
∴EP=5
a ,EN=5
b
，
∴S四边形ABCD S矩形PQMN ==(a+b)⋅
5(a+b)
ab
(a―b)⋅5(a―b)
ab
=(a+b)2
(a―b)2
，
=a2+b2+2ab a2+b2―2ab =a2+b2+a2―b2
a2+b2―a2+b2
=a2
b2
，
=(b+2b)2
b2
=3+22．
【点睛】
本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．三、解答题
27．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：(1+x)(1―x)+x(x+2)，其中x=1
2
．【答案】　1+2x；2
【解析】
【分析】
先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入x=1
2
即可求解．
【详解】
(1+x)(1―x)+x(x+2)
=1―x2+x2+2x
=1+2x
当x=1
2
时，
原式=1+2x=1+2×1
2
=2．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．28．（2022·重庆·中考真题）计算：
(1)(x+2)2+x(x―4)；
1÷a2―b2
2b
．
【答案】(1)2x2+4
(2)2
a+b
【解析】
【分析】
（1）先计算乘法，再合并，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
(1)
解：原式=x2+4x+4+x2―4x
=2x2+4
(2)
解：原式=a―b
b ×2b
(a+b)(a―b)
=
2
a+b
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．29．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：(x+2)(3x―2)―2x(x+2)，其中x=3―1．【答案】x2―4；―23
【解析】
【分析】
利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．
【详解】
解：原式=3x2―2x+6x―4―2x2―4x
=x2―4；
当x=3―1时，
原式=(3―1)2―4
=3+1-23―4
=-23．
【点睛】
题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
30．（2022·山东泰安·中考真题）（1）若单项式x m―n y14与单项式―1
2
x3y3m―8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；
（2÷1
x2―1
，其中x=2―1．
【答案】（1）m=2，n=-1；（2）x2+1，4―22
【解析】
【分析】
（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得m和n的值；
（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【详解】
解：（1）由题意可得
m―n=3①
3m―8n=14②，
②―①×3，可得：―5n=5，
解得：n=―1，
把n=―1代入①，可得：m―(―=3，解得：m=2，
∴m的值为2，n的值为―1；
（2）原式=[x(x―1)+(x+1)
(x+1)(x―1)
]⋅(x+1)(x―1)
=x2―x+x+1
(x+1)(x―1)
⋅(x+1)(x―1)
=x2+1，
当x=2―1时，
原式=(2―1)2+1=2―22+1+1=4―22．
【点睛】
本题考查同类项，解二元一次方程组，分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解同类项的概念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤以及完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2的结构是解题关键．
31．（2022·重庆·中考真题）计算：
(1)(x+y)(x―y)+y(y―2)；
(2)1÷m2―4m+4
m2―4
．
【答案】(1)x2―2y
(2)2
m―2
【解析】
【分析】
（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．(1)
解：(x+y)(x―y)+y(y―2)
=x2―y2+y2―2y
=x2―2y
(2)
解：1÷m2―4m+4
m2―4
=m+2―m
m+2÷(m―2)2
(m+2)(m―2)
=2 m+2×(m+2)(m―2)
(m―2)2
=2
m―2
【点睛】
本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
32．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当a=3时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1)a+3
(2)36
【解析】
【分析】
（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
(1)
×2a=a，
解：∵直角三角形较短的直角边=1
2
较长的直角边=2a+3，
∴小正方形的边长=2a+3―a=a+3；
(2)
解：S小正方形=(a+3)2=a2+6a+9，
当a=3时，S小正方形=(3+3)2=36．
【点睛】
本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．33．（2022·安徽·中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．
(1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元
2020x y520
2021 1.25x 1.3y
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？【答案】(1)1.25x+1.3y
(2)2021年进口额400亿元，出口额260亿元．
【解析】
【分析】
（1）根据进出口总额＝进口额＋出口额计算即可；
（2）根据2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，列方程1.25x+1.3y=520+140，然后联立方程组x+y=520
1.25x+1.3y=520+140，解方程组即可．
(1)
解：
故答案为：1.25x+1.3y；
(2)
解：根据题意1.25x+1.3y=520+140，
∴x+y=520
1.25x+1.3y=520+140，
解得：x=320
y=200，
2021年进口额1.25x=1.25×320=400亿元，2021年出口额是1.3y=1.3×200=260亿元．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组解应用题，列代数式，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤是解题关键．
34．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：(2×1+1)2=(2×2+1)2―(2×2)2，
第2个等式：(2×2+1)2=(3×4+1)2―(3×4)2，
第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2―(4×6)2，
第4个等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2―(5×8)2，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2―(6×10)2
(2)(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2―[(n+1)⋅2n]2，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2―[(n+1)⋅2n]2，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
(1)
解：观察第1至第45个等式为：(2×5+1)2=(6×10+1)2―(6×10)2，
故答案为：(2×5+1)2=(6×10+1)2―(6×10)2；
(2)
解：第n个等式为(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2―[(n+1)⋅2n]2，
证明如下：
等式左边：(2n+1)2=4n2+4n+1，
等式右边：[(n+1)⋅2n+1]2―[(n+1)⋅2n]2
=[(n+1)⋅2n+1+(n+1)⋅2n]⋅[(n+1)⋅2n+1―(n+1)⋅2n]
=[(n+1)⋅4n+1]×1
=4n2+4n+1，
故等式(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2―[(n+1)⋅2n]2成立．
【点睛】
本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．35．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝―b
a ，x 1x 2＝c
a 材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值．解：∵一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，∴m ＋n ＝1，mn ＝－1，
则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝
；x 1x 2＝
．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根分别为m 、n ，求n
m +m
n 的值．(3)思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2－3s －1＝0，2t 2－3t －1＝0，且s ≠t ，求1
s ―1
t 的值．【答案】(1)3
2；―1
2(2)―
13
2
(3)17或―17
【解析】【分析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出m +n =3
2，mn =―1
2，然后将n
m +m
n 进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出s +t =3
2，st =―1
2，然后求出s -t 的值，然后将1
s ―1
t 进行变形求解即可．(1)
解：∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=―b
a =―
―32
=32，x 1⋅x 2=c a =―1
2．
故答案为：3
2；―12．
(2)
∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两根分别为m 、n ，∴m +n =―b
a =――32
=32，mn =c a =―1
2，
∴n
m +
m n
=m 2
+n 2
mn
=
(m +n )2―2mn mn =―12=―
132
(3)
∵实数s 、t 满足2s 2-3s -1＝0，2t 2-3t -1＝0，∴s 、t 可以看作方程2x 2-3x -1＝0的两个根，∴s +t =―b
a =―
―32
=32，st =c a =―1
2，
∵(t ―s )2=(t +s )2―4st
=―4×―
=
94+2=
174
∴t ―s =172
或t ―s =―172，当t ―s =
17
2
时，1s ―1t
=
t ―s st
=
172―12
=―17，
当t ―s =―
17
2
时，1s ―1t =
t ―s st
=
―172―
12
=17，
综上分析可知，1
s ―1
t 的值为17或―17．【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t ―s =
17
2
或t ―s =―
17
2
，是解答本题的关键．36．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．
例如：M=2543，∵32+42=25，∴2543是“勾股和数”；
又如：M=4325，∵52+22=29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G(M)=c+d
9
，P(M)=
|10(a―c)+(b―d)|
3
．当G(M)，P(M)均是整数时，求出所有满足条件的M．
【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析
(2)8109或8190或4536或4563．
【解析】
【分析】
（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；
（2）由“勾股和数”的定义可得10a+b=c2+d2，根据G(M)，P(M)均是整数可得c+d=9，c2+d2=81―2 cd为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．
(1)
解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；
理由：∵22+22=8，8≠20，
∴1022不是“勾股和数”；
∵52+52=50，
∴5055是“勾股和数”；
(2)
∵M为“勾股和数”，
∴10a+b=c2+d2，
∴0<c2+d2<100，
∵G(M)=c+d
9
为整数，
∴c+d=9，
∵P(M)=|10(a―c)+(b―d)|
3=|10a+b―10c―d|
3
=|c2+d2―9c―9|
3
为整数，
∴c2+d2=81―2cd为3的倍数，
∴①c=0，d=9或c=9，d=0，此时M=8109或8190；
②c=3，d=6或c=6，d=3，此时M=4536或4563，
综上，M的值为8109或8190或4536或4563．
【点睛】
本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
37．（2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷(2+4+7)=247÷13=19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷(2+1+4)=214÷7=30⋯⋯4，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a>b>c．在a，b，c中任
为整数，求出满足选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F(A)，最小的两位数记为G(A)，若F(A)+G(A)
16
条件的所有数A．
【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析
(2)数A可能为732或372或516或156
【解析】
【分析】
（1）根据题目中给出的“和倍数”
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出a+b+c=12，根据a>b>c，F(A)是最大的两位数，G(A)是
=k（k为整数），结合a+b+c=12得出b 最小的两位数，得出F(A)+G(A)=10a+2b+10c，F(A)+G(A)
16
=15―2k，根据已知条件得出1＜b＜6，从而得出b=3或b=5，然后进行分类讨论即可得出答案．(1)
解：∵357÷(3+5+7)=357÷15=23⋅⋅⋅⋅⋅⋅12，
∴357不是15“和倍数”；
∵441÷(4+4+1)=441÷9=49，
∴441是9的“和倍数”．
(2)
∵三位数A是12的“和倍数”，
∴a+b+c=12，
∵a>b>c，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数F(A)=10a+b，最小的两位数G(A)=10c+b，∴F(A)+G(A)=10a+b+10c+b=10a+2b+10c，
∵F(A)+G(A)
为整数，
16
=k（k为整数），
设F(A)+G(A)
16
=k，
则10a+2b+10c
16
整理得：5a+5c+b=8k，
根据a+b+c=12得：a+c=12―b，
∵a>b>c，
∴12―b＞b，解得b＜6，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴a>b>c＞0，
∴b＞1，
∴1＜b＜6，
把a+c=12―b代入5a+5c+b=8k得：
5(12―b)+b=8k，
整理得：b=15―2k，
∵1＜b＜6，k为整数，
∴b=3或b=5，
当b=3时，a+c=12―3=9，
∵a>b>c＞0，
∴a＞3，0＜c＜3，
∴a=7，b=3，c=2，或a=8，b=3，c=1，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当a=7，b=3，c=2时，组成的三位数为732或372，
∵732÷12=61，
∴732是12的“和倍数”，
∵372÷12=31，
∴372是12的“和倍数”；
当a=8，b=3，c=1时，组成的三位数为318或138，
∵318÷12=26⋅⋅⋅⋅⋅⋅6，
∴318不是12的“和倍数”，
∵138÷12=11⋅⋅⋅⋅⋅⋅6，
∴138不是12的“和倍数”；
当b=5时，a+c=12―5=7，
∵a>b>c＞0，
∴5＜a＜7，
∴a=6，b=5，c=1，组成的三位数为516或156，
∵516÷12=43，
∴516是12的“和倍数”，
∵156÷12=13，
∴156是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
【点睛】
本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题。