保险精算学课件(第二部分内容)-

又由条件概率公式和定理1.3.2，有
u|t qx P(T (x) t u,T (x) u)
P(T (x) u) P(T (x) t u | T (x) u)
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
P(T (x) u) P(T (x u) t) u px t qxu ; u|t qx P(T (x) t u,T (x) u)
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
□定理1.3.3 （1）生存概率
t
px

s(x t) s(x)
（2）对t 0,u 0, 生存概率与死亡概率有如下
的关系：
t qx 1t px , u|t qx u px t qxu , u|t qx u px ut px
（3）对 0 h t ，有 t px h px th pxh

(x

t)
fT (x) (t)

d dt
[FT (x) (t)]


d dt
[sT (x) (t)]
t

fT (x) (t)

( xu )du
e 0
(x
t)

t
px
(x
t)
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
其次，对关系式（1.3.6）两边对t求导数，有
d dt
(
fT (x) (t)
fX (x t) , s(t)
t 0;
生存分布为
t
sT
(x)
(t)


e
0
( xs)ds
;
（1.3.3） （1.3.4）
§1.3.1 基本的计算公式
新生个体与x岁时个体的死亡力之间有如下关系
x (t) (x t)
（1.3.5）
■定理证明: (i)对 FT (x) (t) 表达式两边同时 对t求导，得到
□定理1.3.2 假设除了个体的年龄和个体是否死 亡为已知外，个体的其他信息均未知。x岁的个 体生存了t 年后，其再继续生存时间的分布和 x+t岁个体的未来生存时间的分布相同，即
P(T (x) s t | T (x) t) P(T (x t) s), s [0, ).
■定理证明: 对 s [0, ) ，有
w x
w x
fT
(x)
(t)

FT( x )
(t )


w
t
x

1 w x
§1.3.1 基本的计算公式
■例1.3.2 设生存分布函数为
s(t) et , t 0
其中 0 为参数，求 FT (x) (t)和fT (x) (t) 。
§1.3.1 基本的计算公式

n
ex P(K(x) t)dt P(K(x) t)dt
0
n1 n1
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
n

n
P(K (x) n 1)dt P(K (x) n 1) dt
n1 n1
n1
n1



P(T (x) n) P(T (x) n) P(T (x) n)
□解
s(17 19) s(36) 8
17 p19
s(19)


s(19) 9
q 15 36
1
15
p36
1
s(51) s(36)
1
7 8

1 8
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
q 15|13 36

15
p36
13 q51

(1
15 q36 )(1
s(64) ) s(51)
s(x t) s(x)
( (t) fX (t) , 见P.4 （1.2.2）式） s(t)
(iii) 证明关系式（1.3.4）
x (t)

s(x t) s(x t)
[ln s(x t)] X (t) (x t)
§1.3.1 基本的计算公式
t
t
0 [ln s(x u)]du 0 (x u)du
P(T (x) u) P(T (x) t u)
u px tu px
（3）对 0 h t ，
P(T (x) t) | T (x) h) P(T (x) t,T (x) h) P(T (x) h)
P(T (x) t) P(T (x) h)
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
◆对等式 ex pxex1 px 的统计意义解释
事实上，x岁个体的未来生存整年数的期望 可看成是由如下两部分之和构成：
（1）在年龄区间 [x , x1) 的生存整年数的期
望。因为个体(x)生存至x+1岁时生存整年数
为1年，否则为0.而个体（x）生存至年龄x+1
n1
n1
n1


P(T (x) n) n px
n1
n1
(2)的证明过程也类似于定理1.2.2中（2）的
证明，参见P.6内容。
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
□例1.3.5 证明下面等式：
（1）
d dx
(t
px )

t
px ((x)

(x
t));
（2） ex pxex1 px , ( px 1 px P(T (x) 1))
x §1.3
岁个体的生存分布 个体的生存时间。
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为T (x) ，则T(x) X x 。
又记 T(x)的整数部分为K (x) ，小数部分为S(x) 则
T (x) K(x) S(x)

1 8
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
□例 1.3.4 已知当20 x 25 时， (x) 0.01
计算 q 2|2 22 和 5 p20 。
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
与0岁个体情形类似，我们记
eˆx E(T (x)), ex E[K (x)]
其中，前者为(x)个体未来生存时间的期望值， 后者表示(x)个体的未来生存整年数的期望值。
保险精算学
延边大学理学院数学系 主讲教师：姜今锡
教材
指定教材 杨静平，寿险精算基础，北京大学出版社
参考资料 王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社， 1995。 范克新，保险精算学教程，南京大学出版社。 茆诗松等，概率论与数理统计，中国统计出版社， 2000。
其中X 表示新生
s px px s1 px1, s 1
所以由定理1.3.4（1）中第二个结论有



ex s px px p s1 x1 px p s1 x1
s 1
s 1
s 1

px ( 0 px1 s px1) px (1 ex1) s 1
1） t px : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x) 至少再活t年的概率； 2） t qx : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
3） u|t qx: 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的 概率，即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死 亡的概率。
◆ 注明 从定义中可以看出： t px sT (x) (t); t qx FT (x) (t)
■例1.3.1 设密度函数为
fX
(t)

1 w
,
t (0, w)
下面求x岁个体的分布函数和密度函数，即
对t (0, w x),由P.5的例1.2.1的结果有
w(x t)
FT
(x)
(t)

1
s(x t) s(x)

1
w
w x
w
§1.3.1 基本的计算公式
wtx t
FT (x) (t) 1
0
n1
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
定理1.3.4的证明：
（1）由于 E(T (x)) ，利用前述补充定理可得



eˆx E(T (x)) P(T (x) t)dt sT (x) (t)dt t pxdt
0
0
0
又由于假定 T(x) 是连续型随机变量，故在单点 上的概率等于0，即P(T (x) n) 0, n 0,1, .
下面讨论这两个期望值的具体表达式：
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
□定理1.3.4 （1）eˆx 和 ex 与生存函数有如下
的关系：
eˆx t pxdt, ex n px
0
n1
（2）T (x)和 K (x) 的二阶矩满足：

E(T (x)2 ) 2t t pxdt, E(K(x)2) (2n 1) n px
（4） fT (x) (t)t px (x t),
d dt
(t
px
)
t
px

(
x

t
)
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
■定理证明: (1)
t
px
Pr(T (x) t) Pr( X

xt
X

x)
s(x t) s(x)
(2)由 t qx 的定义可知
t qx P(T (x) t) 1 P(T (x) t) 1 t px;
t
ln s(x t) ln s(x 0) 0 (x u)du
ln s(x t)
t
(x u)du
s(x)
0
所以由（1.3.2）式可知等式（1.3.4）成立，) s(x)

t
( xu )du
e 0
§1.3.1 基本的计算公式
xt
证明：因为t px ex (u)du ，两边对x求导数，
有
d dx
(t
px
)

xt
(u )du
e x

d dx
(xxt
(u )du )
§1.3.2 一些国际通用精算表示法

t
px
((u))
|xt
x

t
px[(x)

(x

t)]
（2）因为（参见P.10定理1.3.3结果（3））
t px P(T (x) t) P(T (x) h) P(T (x) t | T (x) h) h px th pxh
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
（4）对公式1.3.4两边对t求导数，即
d dt
[sT
(x)
(t)]

t
e 0
( xu )du
同时， T (x) 的分布函数、生存函数及密度函数分别 用 FT (x) (t), sT (x) (t)和fT (x) (t) 表示。
§1.3.1 基本的计算公式
FT (x) (t) P(T ( X ) t) P(x X x t X x)
P(X x t, X x) P(X x)
岁的概率1 p为x px
。因此，在此区间个体（x）
的生存整年数的期望为1 px 0qx px 。
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
（2）在年龄区间 [x 1 , )的生存整年数的期望。 因为当个体(x)活过x+1岁时生存整年数的期望 为 ex1 ，否则为0.而个体（x）活过年龄x+1岁 的概率为 px 。因此，个体（x）在年龄区间 的生存整[x年1 数, )的期望为 px ex1 。
t
px
)


t
px

(x

t)
定理得证。
定理1.3.3结论说明，当给定了生存函数时， 使精算中一些概率的求解变得非常简便。
§1.3.2 一些国际通用精算表示法
□例 1.3.3 已知生存函数 s(x) (1 x )1/2, 0 x 100 100
计算 17 p19 , q 15 36 和 15|13 q36 。
s(x t) fT (x) (t) s(x)

fX (x t) ; s(x)
(ii) 下证（1.3.5）式。事实上，利用（1.3.3） 式，（1.3.2）和 X (t) 的定义，可得
§1.3.1 基本的计算公式
x (t)

fT (x) (t) 1 FT (x) (t)

fX (x t) s(x) (x t);
P(X x) P(X x t) P(X x)
s(x) s(x t) 1 s(x t)
s(x)
s(x)
§1.3.1 基本的计算公式
T (x) 的死亡力 x (t) 定义如下：
x
(t
)

fT (x) (t) 1 FT (x) (t)
□定理1.3.1 随机变量 T (x) 的密度函数
P(T (x) s t | T (x) t) P(X x s t | X x t)
§1.3.1 基本的计算公式 P(X x t s | X t x) P(T (x t) s)
定理结论得证。
§1.3.2 一些国际通用精算表示法