28.2 解直角三角形及其应用 第3课时
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第2课时 方向角和坡角问题
R·九年级下册
新课导入
提问 前面我们学习了仰角和俯角，那么你们知
道方位角的概念吗？ 从某点的指北方向线起，依顺时针方向
到目标方向线之间的水平夹角。
今天我们要学习的内容就与方位角有关.
学习目标： 1.能根据方向角画出相应的图形，会用解直 角三角形的知识解决方位问题. 2.知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三 角形的知识解决与坡度有关的实际问题.
mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行， 它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A， P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航 行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有 危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向 航行，能安全通过这一海域?
解：如图，∠PAB=30°，AP=32. ∴PB= 1 AP=16（n mile）.
解： i AC 1 ，AC=5， BC 1.5
∴BC=1.5×5=7.5.
AB AC2 BC2 81.25 9(m).
综合应用
4.某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据 计算AC,BD和AB的长度(结果保留小数点后两位).
解：如图所示，在Rt△BDE中， BE=5.00，∠DBE=30°,
解：由题意可得：
Q
cos24
5.5 ， 坡面距离
坡面距离 5.5 6.0（m）. cos24
答：斜坡上相邻两树间的距离约为6.0m.
综合运用
6.在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）已知∠A，c，写出解Rt△ABC的过程； （2）已知∠A，a,写出解Rt△ABC的过程； （3）已知a，c，写出解Rt△ABC的过程；
解：在Rt△ALR中，AL=AR· sin∠ARL=6×sin43°≈ 4.092 (km),
LR=AR·cos∠ARL=6×cos43°≈ 4.388 (km).
在Rt△BRL中，BL=RL·tan∠BRL≈4.388× tan45.54°≈4.472 (km) ,
v BL AL 4.472 4.092 =0.38 (km/s).
解：由题意可知，在Rt△ABC中，
sinB AC，B 1631， AB
所以AB AC 1200 4221（m）. sinB sin1631
因此飞机A到指挥台B的距离约为4221m.
4. 从高出海平面55m的灯塔处收到一艘帆船的 求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，帆船 距灯塔有多远？（结果保留整数）
解：如图所示，由题意可得 ∠B=21°，AC=55m.
Q sinB AC， AB AC 55 153（m）.
AB
sinB sin21
因此帆船距灯塔约153m.
5.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树 间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角 为24度，求斜坡上相邻两树间的坡面距离。
解：设这座金字塔原来高x m， 由题意得
tan65 x ， 1 130 2
∴x=65×tan65°≈139. 答：这座金字塔原来高约139m.
8.如图，一枚运载火箭从底面L处发射.当火箭到 达A点时，从位于底面R处的雷达站测得AR的距 离是6Km，仰角为43°；1 s后火箭到达B点，此 时测得仰角为45.54°，这枚火箭从A到B的平均 速度是多少（结果取小数点后两位）？
坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度
1 （或叫坡比）用字母表示为 i h . L
2 坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则
tanα= i h . L
练习
2.如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面 坡度 i =1:1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽 度 BF 的比，斜面坡度 i =1:3 是指DE 与CE 的 比，根据图中数据，求： （1）坡角α 和 β 的度数； （2）斜坡 AB 的长(结果保留小数点后一位)．
易证∠A=∠ABD=30°， ∴AD=BD=12 n mile.
∴AE=AD·sin60°
=12× 3 =6 3n mile.
E
2
6 3＞8，没有触礁危险.
知识点2 坡度类型的解直角三角形问题 问题：我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡 度究竟是指什么呢？
h αL
提问 你能根据图示给出坡度的定义吗？
1
1
9.为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m 的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计 算斜坡AB的长度(结果取整数).
解： i AC 1 ，AC=5， BC 1.5
∴BC=1.5×5=7.5.
AB AC2 BC2 81.25 9(m).
综合运用
10. 海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16 2 n
课堂小结
方向角 从某点的指北方向线起，依顺时针方向
到目标方向线之间的水平夹角.
坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡
度（或叫坡比）用字母表示为 i h .
L
拓展延伸
海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16 2 n
mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行， 它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A， P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航 行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有 危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向 航行，才能安全通过这一海域?
Q sinBCE BE，cosBCE CE ，
BC
BC
∴BE=BC·sin∠BCE=2720×sin54°.
CE=BC·cos∠BCE=2720×cos54°.
S△ABC=S梯形ADEC-S△ABD-S△BCE
1 AD EC g DB BE 1 ADgBD 1 BEgCE
思考：根据题意，你能画出示意图吗？
提问
结合题目的条件，你能确定 图中哪些线段和角？
PA= 80，∠A= 65° ，∠B= 34° . 要求的问题是什么？你能写 出解答过程吗？
PB之间的距离.
解：如图在 Rt△APC 中， PC=PA·cos（90°- 65°） =80×cos 25° ≈72.505．
解 ：（1）∵tanα＝1:1.5，tanβ＝1:3，
利用计算器可求得α≈33.7°，β≈18.4°；
（2）∵tanα＝1:1.5，又AF＝6m， ∴BF＝9m，由勾股定理得 AB≈10.8m.
基础巩固
随堂演练
1. 已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆
家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学
学习重、难点： 重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡
度的相关问题. 难点：将实际问题转化为数学问题(即数学建模).
推进新课
知识点1 方向角类型的解直角三角形问题 例1 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向， 距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航 行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B Hale Waihona Puke Baidu，这时， B 处距距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？
（1）c=8，A 30；B 60，a 4，b 4 3 （2）b=7，A 15; B 75，a 1.88，c 7.25
（3）a=5，b=12.
c 13，A 223712，B 672248.
2. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的 跨度为10m，∠B＝36°，求中柱AD（D为底 边中点）和上弦AB的长？（结果保留小数点 后两位）
2
2
2
1 ECgBD 1 ADgBE 1 2720cos541700
2
2
2
sin62 1 1700cos62 2700sin54 2
2078012（km2）.
2
∴PB＜16 2 n mile，
轮船有触礁危险.
假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线 AC与⊙P相切，即PC⊥AC.
又∵AP=32，PC=16 2 ，
∴∠PAC=45°,∴α =15°.
∴轮船自A处开始至少沿东偏 南15度方向航行,才能安全通 过这一海域.
11.根据图中标出的百慕大三角的位置， 计算百慕大三角的面积（结果取整数）.
在 Rt△BPC 中，∠B=34°，
∵ sin B= PC ， PB
∴ PB = PC = 72.505 sinB sin34
≈130（n mile）．
问 你能小结出利用解直角三角形的知识解 决实际问题的一般思路吗？
a.将实际问题抽象为数学问题；b.根 据问题中的条件，适当选用锐角三角函数 等解直角三角形；c.得到数学问题的答案； d.得到实际问题的答案.
解：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，tanB AD AD， BD 5
∴AD=5×tan36°≈ 3.6 (m).
Q cosB BD， AB BD = 5 6.2（m）.
AB
cosB cos36
3. 如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此 时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面 指挥台B的俯角＝16°31′。求飞机A到指挥台 B的距离？（结果保留整数）
练习
1.海中有一个小岛A，它周围8n mile内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛 A在北偏东60°方向上，航行12n mile到达D点， 这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔 船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危 险？
北
西
东
南
60° B
A
30° D
解：过A点作AE⊥BD于E点.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
本课时应先认知“方向角”“坡度” 及其所代表的实际意义，添作适当的辅 助线，构建直角三角形.然后结合解直角 三角形的有关知识加以解答，层层展开， 步步深入.
习题28.2
复习巩固 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件 解直角三角形；
解：如图，过B作直线分别垂直
AD于D，CE于E，在Rt△ABD中，
∠BAD=62°，AB=1700km.
Q sin BAD BD，cos BAD AD，
AB
AB
∴BD=AB·sin∠BAD=1700×sin62°，
AD=AB·cos∠BAD=1700×cos62°.
在Rt△BCE中，∠BCE=54°，BC=2720km,
(1)∠B=180°-90°-∠A=90°-∠A， a=c·sinA，b=c·cosA；
(2)B 90 A，b a ，c a tanA sinA
(3)b c2 a2， 由sinA = a ，求出∠A，∠B=90°－∠A c
7.如图，已知金字塔的下底面是一个边长为 130m的正方形，且每一个侧面与底面成65° 角，这座金字塔原来有多高（结果取整数？）
5 ∴DE=BE·tan30°= 3 3 , BD BE 10 3 5.77（m）.
cos30 3
在Rt△ACF中，CF=BE=5.00，∠FCA=45°，
∴AF=CF=5.00，
∴AC= 2 CF=5 2 ≈7.07(m).
∴AB=BF-AF=DE+CD-AF
= 5 3 +3.40-5.00≈1.29(m). 3
校的距离相等，则学校在小明家的（ D ）
A.南偏东50°
B.南偏东40°
C.北偏东50°
D.北偏东40°
2.如图，某村准备在坡度为 i=1:1.5的斜坡上栽树，要求 相邻两棵树之间的水平距离 为5 m，则这两棵树在坡面
5 13
上的距离AB为 3 m. （结果保留根号）
3.为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m 的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计 算斜坡AB的长度(结果取整数).
解：如图，∠PAB=30°，AP=32. ∴PB= 1 AP=16（n mile）.
2
∴PB＜16 2 n mile，
轮船有触礁危险.
假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线 AC与⊙P相切，即PC⊥AC.
又∵AP=32，PC=16 2 ，
∴∠PAC=45°,∴α =15°.
∴轮船自A处开始至少沿东偏 南15度方向航行,才能安全通 过这一海域.
R·九年级下册
新课导入
提问 前面我们学习了仰角和俯角，那么你们知
道方位角的概念吗？ 从某点的指北方向线起，依顺时针方向
到目标方向线之间的水平夹角。
今天我们要学习的内容就与方位角有关.
学习目标： 1.能根据方向角画出相应的图形，会用解直 角三角形的知识解决方位问题. 2.知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三 角形的知识解决与坡度有关的实际问题.
mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行， 它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A， P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航 行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有 危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向 航行，能安全通过这一海域?
解：如图，∠PAB=30°，AP=32. ∴PB= 1 AP=16（n mile）.
解： i AC 1 ，AC=5， BC 1.5
∴BC=1.5×5=7.5.
AB AC2 BC2 81.25 9(m).
综合应用
4.某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据 计算AC,BD和AB的长度(结果保留小数点后两位).
解：如图所示，在Rt△BDE中， BE=5.00，∠DBE=30°,
解：由题意可得：
Q
cos24
5.5 ， 坡面距离
坡面距离 5.5 6.0（m）. cos24
答：斜坡上相邻两树间的距离约为6.0m.
综合运用
6.在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）已知∠A，c，写出解Rt△ABC的过程； （2）已知∠A，a,写出解Rt△ABC的过程； （3）已知a，c，写出解Rt△ABC的过程；
解：在Rt△ALR中，AL=AR· sin∠ARL=6×sin43°≈ 4.092 (km),
LR=AR·cos∠ARL=6×cos43°≈ 4.388 (km).
在Rt△BRL中，BL=RL·tan∠BRL≈4.388× tan45.54°≈4.472 (km) ,
v BL AL 4.472 4.092 =0.38 (km/s).
解：由题意可知，在Rt△ABC中，
sinB AC，B 1631， AB
所以AB AC 1200 4221（m）. sinB sin1631
因此飞机A到指挥台B的距离约为4221m.
4. 从高出海平面55m的灯塔处收到一艘帆船的 求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，帆船 距灯塔有多远？（结果保留整数）
解：如图所示，由题意可得 ∠B=21°，AC=55m.
Q sinB AC， AB AC 55 153（m）.
AB
sinB sin21
因此帆船距灯塔约153m.
5.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树 间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角 为24度，求斜坡上相邻两树间的坡面距离。
解：设这座金字塔原来高x m， 由题意得
tan65 x ， 1 130 2
∴x=65×tan65°≈139. 答：这座金字塔原来高约139m.
8.如图，一枚运载火箭从底面L处发射.当火箭到 达A点时，从位于底面R处的雷达站测得AR的距 离是6Km，仰角为43°；1 s后火箭到达B点，此 时测得仰角为45.54°，这枚火箭从A到B的平均 速度是多少（结果取小数点后两位）？
坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度
1 （或叫坡比）用字母表示为 i h . L
2 坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则
tanα= i h . L
练习
2.如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面 坡度 i =1:1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽 度 BF 的比，斜面坡度 i =1:3 是指DE 与CE 的 比，根据图中数据，求： （1）坡角α 和 β 的度数； （2）斜坡 AB 的长(结果保留小数点后一位)．
易证∠A=∠ABD=30°， ∴AD=BD=12 n mile.
∴AE=AD·sin60°
=12× 3 =6 3n mile.
E
2
6 3＞8，没有触礁危险.
知识点2 坡度类型的解直角三角形问题 问题：我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡 度究竟是指什么呢？
h αL
提问 你能根据图示给出坡度的定义吗？
1
1
9.为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m 的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计 算斜坡AB的长度(结果取整数).
解： i AC 1 ，AC=5， BC 1.5
∴BC=1.5×5=7.5.
AB AC2 BC2 81.25 9(m).
综合运用
10. 海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16 2 n
课堂小结
方向角 从某点的指北方向线起，依顺时针方向
到目标方向线之间的水平夹角.
坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡
度（或叫坡比）用字母表示为 i h .
L
拓展延伸
海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16 2 n
mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行， 它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A， P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航 行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有 危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向 航行，才能安全通过这一海域?
Q sinBCE BE，cosBCE CE ，
BC
BC
∴BE=BC·sin∠BCE=2720×sin54°.
CE=BC·cos∠BCE=2720×cos54°.
S△ABC=S梯形ADEC-S△ABD-S△BCE
1 AD EC g DB BE 1 ADgBD 1 BEgCE
思考：根据题意，你能画出示意图吗？
提问
结合题目的条件，你能确定 图中哪些线段和角？
PA= 80，∠A= 65° ，∠B= 34° . 要求的问题是什么？你能写 出解答过程吗？
PB之间的距离.
解：如图在 Rt△APC 中， PC=PA·cos（90°- 65°） =80×cos 25° ≈72.505．
解 ：（1）∵tanα＝1:1.5，tanβ＝1:3，
利用计算器可求得α≈33.7°，β≈18.4°；
（2）∵tanα＝1:1.5，又AF＝6m， ∴BF＝9m，由勾股定理得 AB≈10.8m.
基础巩固
随堂演练
1. 已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆
家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学
学习重、难点： 重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡
度的相关问题. 难点：将实际问题转化为数学问题(即数学建模).
推进新课
知识点1 方向角类型的解直角三角形问题 例1 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向， 距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航 行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B Hale Waihona Puke Baidu，这时， B 处距距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？
（1）c=8，A 30；B 60，a 4，b 4 3 （2）b=7，A 15; B 75，a 1.88，c 7.25
（3）a=5，b=12.
c 13，A 223712，B 672248.
2. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的 跨度为10m，∠B＝36°，求中柱AD（D为底 边中点）和上弦AB的长？（结果保留小数点 后两位）
2
2
2
1 ECgBD 1 ADgBE 1 2720cos541700
2
2
2
sin62 1 1700cos62 2700sin54 2
2078012（km2）.
2
∴PB＜16 2 n mile，
轮船有触礁危险.
假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线 AC与⊙P相切，即PC⊥AC.
又∵AP=32，PC=16 2 ，
∴∠PAC=45°,∴α =15°.
∴轮船自A处开始至少沿东偏 南15度方向航行,才能安全通 过这一海域.
11.根据图中标出的百慕大三角的位置， 计算百慕大三角的面积（结果取整数）.
在 Rt△BPC 中，∠B=34°，
∵ sin B= PC ， PB
∴ PB = PC = 72.505 sinB sin34
≈130（n mile）．
问 你能小结出利用解直角三角形的知识解 决实际问题的一般思路吗？
a.将实际问题抽象为数学问题；b.根 据问题中的条件，适当选用锐角三角函数 等解直角三角形；c.得到数学问题的答案； d.得到实际问题的答案.
解：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，tanB AD AD， BD 5
∴AD=5×tan36°≈ 3.6 (m).
Q cosB BD， AB BD = 5 6.2（m）.
AB
cosB cos36
3. 如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此 时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面 指挥台B的俯角＝16°31′。求飞机A到指挥台 B的距离？（结果保留整数）
练习
1.海中有一个小岛A，它周围8n mile内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛 A在北偏东60°方向上，航行12n mile到达D点， 这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔 船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危 险？
北
西
东
南
60° B
A
30° D
解：过A点作AE⊥BD于E点.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
本课时应先认知“方向角”“坡度” 及其所代表的实际意义，添作适当的辅 助线，构建直角三角形.然后结合解直角 三角形的有关知识加以解答，层层展开， 步步深入.
习题28.2
复习巩固 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件 解直角三角形；
解：如图，过B作直线分别垂直
AD于D，CE于E，在Rt△ABD中，
∠BAD=62°，AB=1700km.
Q sin BAD BD，cos BAD AD，
AB
AB
∴BD=AB·sin∠BAD=1700×sin62°，
AD=AB·cos∠BAD=1700×cos62°.
在Rt△BCE中，∠BCE=54°，BC=2720km,
(1)∠B=180°-90°-∠A=90°-∠A， a=c·sinA，b=c·cosA；
(2)B 90 A，b a ，c a tanA sinA
(3)b c2 a2， 由sinA = a ，求出∠A，∠B=90°－∠A c
7.如图，已知金字塔的下底面是一个边长为 130m的正方形，且每一个侧面与底面成65° 角，这座金字塔原来有多高（结果取整数？）
5 ∴DE=BE·tan30°= 3 3 , BD BE 10 3 5.77（m）.
cos30 3
在Rt△ACF中，CF=BE=5.00，∠FCA=45°，
∴AF=CF=5.00，
∴AC= 2 CF=5 2 ≈7.07(m).
∴AB=BF-AF=DE+CD-AF
= 5 3 +3.40-5.00≈1.29(m). 3
校的距离相等，则学校在小明家的（ D ）
A.南偏东50°
B.南偏东40°
C.北偏东50°
D.北偏东40°
2.如图，某村准备在坡度为 i=1:1.5的斜坡上栽树，要求 相邻两棵树之间的水平距离 为5 m，则这两棵树在坡面
5 13
上的距离AB为 3 m. （结果保留根号）
3.为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m 的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计 算斜坡AB的长度(结果取整数).
解：如图，∠PAB=30°，AP=32. ∴PB= 1 AP=16（n mile）.
2
∴PB＜16 2 n mile，
轮船有触礁危险.
假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线 AC与⊙P相切，即PC⊥AC.
又∵AP=32，PC=16 2 ，
∴∠PAC=45°,∴α =15°.
∴轮船自A处开始至少沿东偏 南15度方向航行,才能安全通 过这一海域.