例题分析

例1设准确值x*=π =3．1415926，当分别取近似值x=3．14和x=3．1416和x=3．1415时，求绝对误差、绝对误差限及有效数字位数。

解：近似值x=3．14＝0.314×101，即m=1，它的绝对误差是－0．0015926…，有│x-x*│=0.0015926…≤0.5×101-3即n=3，故x=3．14有3位有效数字。

x=3．14准确到小数点后第2位，又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有│x-x*│=0.0000074…≤0.5×101-5即m=1，n＝5，x=3.1416有5位有效数字。

而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有│x-x*│=0.0000926…≤0.5×101-4即m=1，n＝4，x=3．1415有4位有效数字。

这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2．0004－0．0020090009000．00解：因为x1=2．0004＝0．20004×101，它的绝对误差限0．00005=0．5×101-5，即m=1，n=5，故x=2．0004有5位有效数字。

a1=2，相对误差限；x2=－0．00200，绝对误差限0．000005，因为m=－2，n=3，x2=－0．00200有3位有效数字。

a1=2，相对误差限x3=9000，绝对误差限为0．5×100，因为m=4, n=4，x3=9000有4位有效数字，a=9，相对误差限x4=9000．00，绝对误差限0．005，因为m=4，n=6，x4=9000．00有6位有效数字，相对误差限为由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。

例3ln2=0．69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解：精确到10-3＝0．001，意旨两个近似值x1，x2满足│x1-x2│≤0．001，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足│x1-x2│≤0．001，近似值的绝对误差限应是ε＝0．0005，故至少要保留小数点后三位才可以。

故In2≈0．693。

例4试利用f(x)的数据表计算积分，并估计计算误差．分析在f(x)的表达式不知道的情况下，如何去求f(x)的积分值呢?若利用本章的知识，即可利用已知的f(x)的数据表构造f(x)的二次插值多项式p2(x)，以作为f(x)的近似函数，并进而以p2(x)的积分值作为所求积分值的近似。

至于误差的计算，也可由误差f(x)-p2(x)出发进行估计。

解：根据拉格朗日插值公式，利用给定的数据表，可构造出f(x)的二次插值多项式插值余项为．由此得积分近似值积分值的误差为其中例5给定f(x)在节点a，b上的函数值与导数值f(a)，f(b)，f′(a)。

试求一个二次多值式H2(x)，使之满足插值条件H2(x)=f(a)，H2(x)=f(b)，(1)分析构造插值多项式的基本方法是基函数法，即对每一个插值条件建立一个与之相应的插值基函数。

基函数的形式要与所求的插值函数相一致。

然后用给定的插值数据与基函数作线性组合，就可得到所求的插值函数。

解：法一与(1)中三个插值条件相应，依次建立三个插值基函数，是二次多项式且满足标准的基函数插值条件利用待定系数法容易求得则所求的二次插值多项式为法二可先根据给定条件H2(x)=f(a)，H2(b)=f(b)作出牛顿插值(或拉格朗日插值)多项式，然后再加带有待定系数的一项，所加项自然应保证在a，b处取值为零，故而可取k(x-a)·(x-b)，再由条件确定待定系数k。

设H2(x)=f(a)+f[a，b](x-a)+k(x-a)(x-b)。

于是所以注由于二次多项式由H2(a)，f(b)，f′(a)三个条件所唯一确定，所以本题由各种方法所求得的解，实质上是相同的。

例题分析二例6已知函数y=f(x)的观察数据为试构造f(x)的拉格朗日多项式P n(x)，并计算f(－1)。

解：先构造基函数所求三次多项式为：例7已知函数y=f(x)的数据如表中第2，3列。

计算它的各阶均差。

解：依据均差计算公式，结果列表中。

计算公式为：一阶均差二阶均差………例8设x0，x1，x2，…，x n是n+1个互异的插值节点，l k(x)(k=0，1，2，…，n)是拉格朗日插值基函数，证明：证明当f(x)=1时，由于，故有.例9已知数据表如下：用最小二乘法求拟合这组数据的曲线。

分析首先根据已知数据，在坐标平面上画出相应的点，然后再画出曲线的粗略图形。

如图3．1。

由图形确定拟合函数的类型。

在具体问题中也可结合考虑问题的物理意义和经验。

最后由最4'－乘法建立法方程组，求出待定的参数，即可得拟合曲线的方程。

并可比较拟合值、实验值算出各点的误差图3．1解：根据图3．1，取幂函数y=ax b作拟合函数，其中a，b 为待定参数。

根据曲线拟合的思想，令由(a，b)求出a，b．由极值的必要条件得方程组这是关于a、b的非线性方程组，求解很困难。

于是，将问题转化为线性问题求解。

为此，将y=ax b两边取对数有lgy=lga+blgx.令ω=lgy，z=lgx，c=lga。

上式化为ω=c+bz由(x i，y i)可得到相应的(z i，ωi)，于是得如下数据表：这样，待定系数c，b即为内容提要中所述的和的线性组合系数。

建立c，b所满足的法方程组其中由方程组(1)解得C=0．1624，b=2．0150。

从而a=10c=1．4534，Y=1．4534，x2.0150。

比较拟合值、实验值并算出各点的误差如下表注：通常针对一组数据的图形，可以选择不同的拟合函数类进行求解，最后按误差大小决定取舍。

例题分析三例10满足条件p(0)=p′(0)=0，p(1)=1，p(2)=2的插值多项式p(x)=________________解：设所求的为p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3由插值条件知解之得a2=3/2a3=－1/2所求的插值多项式为p(x)=－1/2x3+3/2x2例11选择填空题1.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足()，则P(x)是不超过一次的多项式。

(A)初始值y0=0(B)一阶均差为0(C)二阶均差为0(D)三阶均差为0解答：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f(x0，x1)(x-x0)它是不超过一次的多项式。

故选择(C)正确。

2. 拉格朗日插值多项式的余项是()，牛顿插值多项式的余项是()(A)(B) f(x，x0，x1，x2，…，x n)(x－x1)(x－x2)…(x－x n－1)(x－x n)(C)(D)f(x，x0，x1，x2，…，x n)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－x n－1)(x－x n)解答：(A)，(D)。

例12证明方程1－x－sinx＝0在区间[0，1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0．5×10-4的根要迭代多少次？证明令f(x)＝1－x－sinx，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根。

又f(x)=1－cosx>0(x∈[0.1])，故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。

给定误差限ε＝0．5×10-4，有只要取n＝14。

例13证明：方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1，2]内有一个根，并用对分法求此根；若要求误差│x n-x*│≤ε=10-5，估计至少需要对分多少次?分析若连续函数f(x)满足f(a)·f(b)<0，由介值定理知，存在x*∈[a，b]，使f(x*)=0假设f(x)于[a，b]上还单调，则f(x)=0于[a，b]上有唯一根x*。

由对分法公式，记，计算f(x1)，若f(x1)=0，则x1即为所求根x*；若f(x1)·f(a1)>0，则取a2=a1，b2=x1，否则取a2=a1，b2=x1。

继续下一步，计算，这样得到为要使│x n-x*│≤ε，只需有。

解：易见f(x)在［1，2］上连续，f(1)=-5，f(2)=14，且f′(x)=3x2+8x>0，x∈[1，2]，故f(x)=0在[1，2]内有唯一根。

为使误差│x n-x*│≤10-5，只需，即16．6，所以只需对分17次就能达到给定的精度。

具体计算结果列于表1。

注x12=1．364990234，而x*=1．36523001。

例14用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根。

计算过程保留4位小数。

[分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间。

若建立迭代格式，即，此时迭代发散。

建立迭代格式，此时迭代收敛。

解：建立迭代格式，取初始值x0=1取x*≈1.5185例题分析四例15用弦截法求方程x3－x2－1＝0，在x=1.5附近的根。

计算中保留5位小数点。

[分析] 先确定有根区间。

再代公式。

解：f(x)=x3－x2－1，f(1)=－1，f(2)=3，有根区间取[1，2]。

取x1=1，迭代公式为取x*≈1.46553，f(1.46553)≈－0.000145例16选择填空题1. 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足_________________，则方程f(x)=0在区间[a，b]一定有实根。

答案：f(a)f(b)<0解答：因为f(x)在区间[a，b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=(x)，则f(x)=0的根是()(A)y=x与y=(x)的交点(B) y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=(x)，满足x=(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=(x)的交点的横坐标。

3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3，1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是()(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中，故迭代发散。

在(B)中，，故迭代收敛。

在(C)中，，故迭代收敛。

在(D)中，类似证明，迭代收敛。

例17设x*为方程x=g(x)的根，g′(x)在x*附近连续，且│g′(x*)│<1。

证明：存在δ>0，使对任意x0∈[x*-δ，x*+δ]，迭代格式x n+1=g(x n)(n=0，1，…)收敛于x*。

分析根据迭代法收敛条件，只须证明存在δ>0，使g(x)在[x*-δ，x*+δ]上满足；x*-δ≤g(x)≤x*+δ及│g′(x)│≤L<1。