古典概型高一数学人教A版必修第二册第十章概率

(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(d,a),(d,b),(e,a),(e,b)},共14个样本点,
因此

P(B)=
=

.

(3)采用有放回简单随机抽样从中任取2个球,用(x,y)表示样本
点,x表示给甲的小球编号,y表示给乙的小球编号.则样本空间
Ω={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(c,a),
(c,b),(c,c),(c,d),(c,e),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,e),(e,a),(e,b),(e,c),
间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件

()
A的概率 P(A)= =
.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和

()
样本空间Ω包含的样本点个数.
3.做一做:(1)育才中学举行高一广播体操比赛,共10个队参赛,
为了确定出场顺序,学校制作了10个出场序号供大家抓阄,则
高一(1)班抽到出场序号小于4的概率是(
23.3
1.82
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,设事件M=“选到
的2人身高都在1.78以下”,求事件M的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,设事件N=“选到的2人的身高都在
1.70以上且体重指标都在区间[18.5,23.9)内”,求事件N的概率.
分析:用列举法表示试验的样本空间及事件M,N,注意这两问
内画一点P,有无数个点,所以不满足“有限性”;第④个概率模
型也不是古典概型,因为硬币不均匀,因此两面出现的可能性
不相等.故选A.
答案:A
探究二 古典概型概率的求法
【例2】 某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,
其年级情况如下表:
男同学女同学一来自级二年级三年级
A
X
B
Y
C
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的
【问题思考】
1.做两个试验,试验一:抛一枚质地均匀的硬币,观察落地后哪
一面朝上.试验二:掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上的面的点
数.回答下列问题:
(1)在这两个试验中,样本空间分别包含几个样本点?
提示:在抛硬币试验中,样本空间包含2个样本点,在掷骰子试
验中,样本空间包含6个样本点.
(2)在这两个试验中,每个样本点发生的可能性相等吗?
可能性相同).
(1)用表中字母列举出试验的样本空间,并判断这个试验是否
为古典概型;
(2)设M=“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女
同学”,求事件M发生的概率.
分析:用列举法表示试验的样本空间及事件M,代入古典概型
的概率公式计算即可.
解:(1)从6名同学中选出2人,对应的样本空间为
{(A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y),(B,Z),(C,X),
10.1.3
古典概型
课标定位
素养阐释
1.结合具体实例,理解古典概型及其两个特征.
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.
3.掌握求解古典概型问题的一般思路.
4.加强数学抽象、数据分析和数学运算等素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、古典概型
(b,e),(c,a),(c,b),(c,d),(c,e),(d,a),(d,b),(d,c),(d,e),(e,a),(e,b),(e,c),
(e,d)},共有20个样本点,设事件B=“甲、乙两位小朋友拿到的
球中至少有1个黑球”,则B={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,c),
身高在1.70以上且体重指标在区间[18.5,23.9)内的有C,D,E三
人,即N={(C,D),(C,E),(D,E)},共3个样本点.
因此事件 N 的概率

P(N)=.
探究三 较复杂的古典概型概率的计算问题
【例3】 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个
黑球和编号为c,d,e的3个红球.
(2)样本空间的样本点个数无限,但等可能.
(3)样本空间的样本点个数无限,也不等可能.
【变式训练1】 下列概率模型中,是古典概型的个数为(
)
①从区间[1,10]上任取一个数,求取到1的概率;
②从1~10中任意取一个整数,求取到1的概率;
③在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合的概率;
④向上抛掷一枚不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.
试验不同,样本空间也不同.
解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,对应的样本空间
Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共6个样本点.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等
可能的.
身高在1.78以下的有A,B,C三人,即M={(A,B),(A,C),(B,C)},共
)

A.


B.


C.


D.

(2)按先后顺序抛两枚硬币,观察正反面出现的情况,则恰好出
现一个正面的概率是
.
解析:(1)因为样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},共有 10 个样本
点,事件 A=“出场序号小于 4”包含 3 个样本点,所以

P(A)=.
(2)样本空间为{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共有 4 个样本
2 个等可能的样
本点,事件 A 包含 1 个样本点,所以事件 A 发生的可能性大小

是.
(2)掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数.记事件
B=“出现的点数不超过4”,请写出事件B包含的样本点,你认为
事件B发生的可能性大小是多少?理由是什么?
提示:B={1,2,3,4},事件

B 发生的可能性大小是
=


=

.

()
1.对于古典概型,任何事件A的概率为P(A)=
()
,其中n(A)和
n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
2.求古典概型概率的步骤为:
(1)判断是否为古典概型;
(2)算出试验的样本空间包含的样本点个数n;
(3)算出事件A包含的样本点个数k;

(4)算出事件A的概率,即 P(A)=.
所以以豆子所落的位置为样本点的概率模型不是古典概型.
(3)由于运动员击中每一环的可能性不同,故以击中的环数为
样本点的概率模型不是古典概型.
1.一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性
和等可能性.
2.并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典
概型;
(1)样本空间的样本点个数有限,但非等可能.
(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z)},共有15个样本点.
因为每人被选到的可能性相同,所以各个样本点出现的可能
性相等,因此这个试验是古典概型.
(2)因为M={(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y)},所以n(M)=6,
从而
()
P(M)= ()
(1)若从中一次性任意摸出2个球,求恰有1个黑球和1个红球的
概率;
(2)若采用不放回简单随机抽样从中任取2个球,1个球给小朋
友甲,1个球给小朋友乙,求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少
有1个黑球的概率;
(3)若采用有放回简单随机抽样从中任取2个球,1个球给小朋
友甲,1个球给小朋友乙,求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少
提示:每个样本点发生的可能性都相等.
2.填空:
古典概型的定义:
具有如下共同特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学
模型称为古典概率模型,简称古典概型.
3.做一做:下列试验中,是古典概型的有(
)
(1)袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每球有一
个区别于其他球的编号,从中摸出1个球,有多少种不同的摸法?
如果把每个球的编号看作一个样本点,是否为古典概型?
(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上,将豆子所落的位
置看作一个样本点,是否为古典概型?
(3)一名射击运动员射击,把击中的环数看成样本点,是否为古

=
理由:掷一枚骰子,试验的样本空间有 6 个样本点,
事件 B 包含 4 个样本点,
所以事件

B 发生的可能性大小是
=

.


,

2.填空:
(1)事件的概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称
为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的概率公式:一般地,设试验E是古典概型,样本空
结果,符合古典概型的特征,所以C是古典概型;D中,运动员投
篮投中与没有投中的概率不等,所以D不是古典概型.
答案:C
二、古典概型的概率公式
【问题思考】
1.思考下列两个问题:
(1)抛一枚质地均匀的硬币,观察落地后哪一面朝上.记事件
A=“正面朝上”,你认为事件A发生的可能性大小是多少?理由
是什么?

提示:,理由:抛一枚硬币,试验的样本空间有
A.某人射击中靶或不中靶
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有
点中任取一个
C.四名同学用抽签法选一人参加会议
D.运动员投篮,观察是否投中
解析:A中,某人射击中靶与不中靶的概率不相等,所以A不是
古典概型;B中,横坐标和纵坐标都为整数的点有无数个,所以
B不是古典概型;C中,每个人被选中的可能性相等,且共有4种
则A={(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)},共6个样本点,
因此

P(A)=
=

.

(2)采用不放回简单随机抽样从中任取2个球,1个给甲,1个给
乙,用(x,y)表示样本点,x表示给甲的小球编号,y表示给乙的小
球编号.则样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,c),(b,d),
有1个黑球的概率.
分析:按照古典概型的概率公式计算,注意试验的条件不同,对
应的样本空间不同.
解:(1)从中一次性任意摸出2个球,样本空间Ω={(a,b),(a,c),
(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共有10个样本点,设
事件A=“恰有1个黑球和1个红球”,
在运用公式计算时,关键在于求出k,n.在求n时,应注意这n种
结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.
【变式训练2】 某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高
(单位:m)及体重指标(单位:kg/m)如下表所示:
身高
体重指标
A
B
C
D
E
1.69
19.2
1.73
25.1
1.75
18.5
1.79
典概型?
分析:判断一个概率模型是否为古典概型,关键是看它是否满
足两个特征:(1)有限性;(2)等可能性.
解:(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不
同的摸法,又因为所有球大小相同,因此每个球被摸到的可能
性相等,故以球的编号为基本事件的概率模型是古典概型.
(2)因为豆子落在桌面上的位置有无数个,即有无数个样本点,
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:第①个概率模型不是古典概型,因为从区间[1,10]上任意
取出一个数,有无数个对象可取,所以不满足“有限性”;第②个
概率模型是古典概型,因为试验的样本空间有10个样本点,而
且每个样本点被抽到的可能性相等,即满足有限性和等可能
性;第③个概率模型不是古典概型,因为在一个正方形ABCD

发芽的概率为 .( × )
(3)不放回简单随机抽样和放回简单随机抽样,对应的样本空
间相同.( × )
(4)同时掷两颗骰子,出现的点数和有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

则点数和为7的概率是 .( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 古典概型的判断
【例1】 下列概率模型是否为古典概型?
有3个样本点.
因此事件 M 的概率

P(M)=
=

.

(2)从该小组同学中任选2人,对应的样本空间Ω={(A,B),(A,C),
(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共10个样本
点.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等
可能的.
点,记事件 A=“恰好出现一个正面”,则 A={(正,反),(反,正)},

即 n(A)=2,故 P(A)=

答案:(1)B (2)
=

.

【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
(1)从所有整数中任取一个数的试验是古典概型.( × )
(2)种下一粒种子,试验的样本空间为{发芽,不发芽},所以种子