四川省成都市华阳中学2020年九年级中考数学第二轮压轴题：几何三角形综合练习题(无答案,Word版)

四川省成都市华阳中学2019-2020 学年九年级中考数学第二轮压轴题：几何三角形综合练习
1、如图，将等腰△ABC绕顶点 B 逆时针方向旋转α度到△A
1B
1
C
1
的位置，AB 与A
1
C
1
相交于点 D，
AC 与 A
1C
1
、BC
1
分别交于点 E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA
1
D．
（2）当∠C=α度时，判定四边形 A
1
BCE 的形状并说明理由．
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD 是△ABC的一条角平分线．点 O、E、F 分别在 BD、BC、AC 上，且四边形 OECF 是正方形．
（1）求证：点 O 在∠BAC 的平分线上；
（2）若 AC=5，BC=12，求 OE 的长．
3、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到 C 点后都停止运动，设点 P，Q 运动的时间为 t 秒．
（1）在运动过程中，求 P，Q 两点间距离的最大值；
（2）经过 t 秒的运动，求△ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式；
（3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）
4、△ABC 为等边三角形，边长为 a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设 BF=m，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与m 之间的函数关系，并探究当 m 为何值时S 取最大值；
（3）已知A、D、F、E 四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．
5、如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点 P 由点B 出发沿 BA 方向向点
A 匀速运动，同时点 Q 由点A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 1cm/s．连接PQ，设运动时间为 t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ 的面积为 S，当 t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？
（2）如图乙，连接 PC，将△PQC沿QC 翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t 的值；′
（3）当 t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？
6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD 是斜边 BC 上的高，垂足为 D，BE=1cm．点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 M 同时同方向以相同的速度运动，以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH．点 M 到达点 D 时停止运动，点 N 到达点 C 时停止运动．设运动时间为 t（s）．
（1）当 t 为何值时，点 G 刚好落在线段 AD 上？
（2）设正方形 MNGH 与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为 S，当重叠部分的图形是正方形时，求出 S 关于t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围．
（3）设正方形 MNGH 的边NG 所在直线与线段 AC 交于点 P，连接 DP，当 t 为何值时，△CPD是等腰三角形？
7、已知四边形 ABCD 中，AB=AD，AB⊥AD，连接 AC，过点 A 作AE⊥AC，且使 AE=AC，连接 BE，过A 作AH⊥CD于H 交BE 于F．
（1）如图 1，当 E 在 CD 的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；
（2）如图 2，当 E 不在 CD 的延长线上时，BF=EF 还成立吗？请证明你的结论．
8、在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中
AB=BD．小明做了如下操作：
将△ABC绕着边 AC 的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边 AD 的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：
（1）试猜想四边形 ABDF 是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）连接 EF，CD，如图③，求证：四边形 CDEF 是平行四边形．
9、将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点 D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 P，DF 经过点 C．
（1）求∠ADE 的度数；
（2）如图②，将△DEF 绕点 D 顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交 AC 于点 M，DF′交 BC 于点 N，试判的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求的值；反之，请说明理由？
10、数学活动﹣求重叠部分的面积
（1）问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点 P 与等边△ABC 的内心 O 重合，已知 OA=2，则图中重叠部分△PAB 的面积为
（2）探究 1：在（1）的条件下，将纸片绕 P 点旋转至如图②所示位置，纸片两边分别与 AC，AB 交于点 E，F，图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积是否相等？如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由．
（3）探究 2：如图③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD 为∠CAB 的角平分线，点 P 在射线 AD 上，且 AP=2，以 P 为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠CAB 的两边 AC ，AB 分别交于点 E 、F ，∠EPF=180°﹣α，求重叠部分的面积．（用α或
的三角函数值表示）
11、如图 1，在菱形 ABCD 中，E 是 CD 上的一点，连接 BE 交 AC 于 O ，连接 DO 并延长交 BC 于 E ． （1）求证：△FOC≌△EOC．
（2）将此图中的 AD 、BE 分别延长交于点 N ，作 EM∥BC 交 CN 于 M ，再连接 FM 即得到图 2． 求证
；②FD =FM ．
12、已知点 P 是线段 AB 上与点 A 不重合的一点，且 AP ＜PB ．AP 绕点 A 逆时针旋转角α（0° ＜α≤90°）得到 AP 1，BP 绕点 B 顺时针也旋转角α得到 BP 2，连接 PP 1、PP 2．
（1）如图 1，当α=90°时，求∠P 1PP 2 的度数；
（2）如图 2，当点 P 2 在 AP 1 的延长线上时，求证：△P 2P 1P∽△P 2PA ；
（3）如图 3，过 BP 的中点 E 作 l 1⊥BP，过 BP 2 的中点 F 作 l 2⊥BP 2，l 1 与 l 2 交于点 Q ，连接 PQ ， 求证：P 1P⊥PQ．
13、已知直线 m∥n，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点，CD 与直线 m 、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点．
故 （1）操作发现：直线 l⊥m，l⊥n，垂足分别为 A 、B ，当点 A 与点 C 重合时（如图①所示），连接 PB ，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系：
．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线 l 向上平移到如图②的位置，试问（1）中的 PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线 m 、n 之间的距离为 2k ．求证：PA•PB=k•AB．
14、尤秀同学遇到了这样一个问题：如图 1 所示，已知 AF ，BE 是△ABC 的中线，且 AF⊥BE， 垂足为 P ，设 BC=a ，AC=b ，AB=c ． 求证：a 2+b 2=5c 2
该同学仔细分析后，得到如下解题思路： 先连接 EF ，利用 EF 为△ABC 的中位线得到
，设
PF=m ，PE=n ，
用 m ，n 把 PA ，PB 分别表示出来，再在 Rt△APE，Rt△BPF 中利用勾股定理计算，消去 m ，n 即可得证
（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．
（2）利用题中的结论，解答下列问题：
15、在边长为 3 的菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC ，BD 的交点，E ，F 分别为线段 AO ，DO 的中点， 连接 BE ，CF 并延长交于点 M ，BM ，CM 分别交 AD 于点 G ，H ，如图 2 所示，求 MG 2
+MH 2
的值．
16、如图①，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D 为 AB 的中点，EF 为△AC D 的中位线，四边形 EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）．
（1）计算矩形 EFGH 的面积；
（2）将矩形 EFGH 沿 AB 向右平移，F 落在 BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD 重叠部分的面积为
时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形 E 1F 1G 1H 1，将矩形 E 1F 1G 1H 1 绕 G 1 点按顺时针方向旋转，当 H 1 落在 CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形 E 2F 2G 1H 2，设旋转角为 α，求 cos α的值．
17、问题探究： 1．新知学习
若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）． 2．解决问题
已知等边三角形 ABC 的边长为 2．
（1）如图一，若 AD⊥BC，垂足为 D ，试说明 AD 是△ABC 的一条面径，并求 AD 的长； （2）如图二，若 ME∥BC，且 ME 是△ABC 的一条面径，求面径 ME 的长；
（3）如图三，已知 D 为 BC 的中点，连接 AD ，M 为 AB 上的一点（0＜AM ＜1），E 是 DC 上的一点，连接 ME ，ME 与 AD 交于点 O ，且 S △MOA =S △DOE ． ①求证：ME 是△ABC 的面径； ②连接 AE ，求证：MD∥AE；
（4）请你猜测等边三角形 ABC 的面径长 l 的取值范围（直接写出结果）。