研究生统计学 集中和离散趋势的描述

从频数分布可见 大多数观察值集 中在小值一端， 102名患者中有 79.41%的人的 发铜值在10μg/g 以下，呈正偏态 分布。
102名男性脑卒中患者发铜分布
发铜（μg/g） 2～ 4～ 6～ 8～ 10～ 12～ 14～ 16～ 18～ 20～ 22～ 24～ 26～ 合计
频数 3 9 38 31 6 5 2 1 2 1 1 2 1
所在组的频数
Px
L
i (n
x% fL) fm
(nx%fL) i; fm位数应用
• 确定医学参考值范围 (reference range)： 如95％参考值范围＝P97.5－P2.5； 表示有95％正常个体的测量值在此范围。
• 中位数M与四分位数间距一起使用，描述偏 态分布资料的特征。
Glg 1
flfg Xl
g 1
flg X n
X可为单个对数值或组中值
某医院神经科用火焰原子吸收光谱法测定了102名男性脑 卒中患者头发中微量元素铜（Cu）的含量（μg/g）,资 料如下，求平均含量。
2.3 5.7 6.7 7.2 7.7 8.4 9.1 9.6 12.6 25.2 3.3 6.1 6.7 7.2 7.8 8.5 9.1 9.8 12.8 25.6 3.4 6.2 6.8 7.3 7.8 8.6 9.2 9.8 13.4 26.4 4.0 6.3 6.8 7.4 7.8 8.6 9.3 9.9 13.8 4.1 6.3 6.9 7.5 7.8 8.7 9.4 10.1 15.3 4.2 6.4 7.0 7.5 7.9 8.7 9.4 10.2 15.6 4.4 6.5 7.1 7.5 8.0 8.8 9.4 10.6 17.4 5.1 6.5 7.1 7.6 8.1 8.8 9.5 10.9 18.5 5.4 6.5 7.1 7.6 8.2 8.9 9.6 11.0 18.7 5.5 6.5 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 11.6 20.3 5.7 6.7 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 12.5 23.2
附：百分位数
• 百分位数(percentile)：也是一个位置指标， 常用Px表示。它是表示将一组由小到大的 观察值均分为100等份后，每一个百分分割 值。
• 例如P5表示：5%的观察值比这个值小， 95%的观察值比这个值大。
百分位数计算公式
Px 所在组段下限值 组距(n x%至该下限值的累计频) 数
1.3500～1.4500 合计
组中值lgX 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 —
频数f 1 2 4 3 18 36 22 6 3 3 4
102
flgX 0.4000 1.0000 2.4000 2.1000 14.4000 32.4000 22.0000 6.6000 3.6000 3.9000 5.6000 94.4000
第二节 集中趋势的描述
集中趋势的描述(Central tendency)
1、一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度
2、描述集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值 或中心值 3、不同类型的数据用不同的集中趋势指标
平均指标（平均数）
• 平均指标（平均数）：是用于描述数 值变量资料平均水平或中间位置的一 类指标。根据它们的作用和特点不同 平均数可分为算术平均数、几何平均 数、中位数、众数等。
算术均数(计算公式)
设一组数据为：X1 ，X2 ，… ，XN 直接法公式为
XX1X2 Xn x
n
n
设分组后的数据为：X1 ，X2 ，… ，XK
相应的频数为：
f1 ， f2， … ，fK
加权法的计算公式为
X X 1f1f 1 X f22 f2 fk X kfk
fx n
算术均数的数学性质
102
累计频率% 2.94 11.76 49.02 79.41 85.29 90.20 92.16 93.14 95.10 96.08 97.06 99.02 100.00 —
对这些发铜原始观察值进行对数变换整理成频数表后，发现其 对数值呈单峰对称分布，故采用几何均数描述其集中趋势。
发铜对数值 0.3500～ 0.4500～ 0.5500～ 0.6500～ 0.7500～ 0.8500～ 0.9500～ 1.0500～ 1.1500～ 1.2500～
左偏分布
对称分布
右偏分布
众数（mode）指出现次数（或频数）最多的观察 值；在频数分布图中对应于高峰所在位置的观察 值。适用于大样本；较粗糙。
集中趋势指标小结
均数
几何均数
中位数
适用资料
计算特点 极端值的
影响
单峰对称 分布
对数正态分布
各种分布、 偏态、两端
无确切值
用到全部 用到全部数据 排序后用到
数据
1、自由度是数学名词，指一组数据中可以自 由取值的数据的个数
2、在统计学中，n个数据如不受任何条件的 限制，则n个数据可取任意值，称为有n个 自由度。若受到k个条件的限制，就只有 （n－k）个自由度了。
3、当样本数据的个数为 n 时，若样本均值
x 确定后，只有n-1个数据可以自由取
值，其中必有一个数据则不能自由取值。
3、该公式假定中位数组的频数在该组内是 均匀分布的。
频数表资料的中位数
M 所在组段下限值 组距(n50%至该下限值的累计频) 数
所在组的频数 M LM i (n50%fL)
fm
i; fm
下限值
中位数M
LM (n5% 0fL)
上限值U
众数、中位数和均数的关系
均值 中位数 众数 均值 = 中位数 = 众数 众数 中位数 均值
2 (X)2
N
(X)2 N
样本方差和标准差(计算公式)
方差的计算公式 注意：
未分组数据：
样本方差用自 由度n-1去除!
S2 (xx)2 n1
组距分组数据：
S2
fx2
(
fx)2
n
n1
标准差的计算公式
未分组数据：
S (xx)2 n1
组距分组数据：
S
fx2
(fx)2
n
n1
自由度(degree of freedom)
（三）方差和标准差(概念要点)
X = 8.3
1、描述离散程度最常用的指标
2、反映了数据的分布
4 6 8 10 12
3、反映了各变量值与均数的平均差异
4、根据总体数据计算的，称为总体方差或 标准差；根据样本数据计算的，称为样 本方差或标准差
总体方差和标准差(计算公式)
方差的计算公式
标准差的计算公式
n1
（四）变异系数
1、标准差与其相应的均值之比 2、消除了数据水平高低和计量单位的影响 3、描述数据的相对离散程度 4、适用范围：
①观察指标单位不同，如身高、体重 ②同单位资料，但均数相差悬殊
CV S 100% X
离散趋势指标小结
1、极差较粗，适合于任何分布； 2、标准差与均数的单位相同，最常用，适合于
4、例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，
x3=9，则 x =5。当 x =5 确定后，x1，x2
和x3有两个数据可以自由取值，另一个则 不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3
则必然取2，而不能取其他值。
几何标准差
sGlg1(
lgx2
(
lgx)2
n)
n1
sGlg1(
flgx2( flgx)2 n)
R = max(Xi) - min(Xi)
（二）四分位数(概念要点)
• 排序后处于25%和75%位置上的值
25% 25% 25% 25%
QL
QM
QU
四分位数间距特点
1. 描述离散程度的指标之一 2. 也称为内距或四分位差 3. 是上四分位数与下四分位数之差
四分位数间距= QU - QL 4. 反映了中间50%数据的离散程度 5. 不受极端值的影响 6. 用于衡量中位数的代表性
1、各变量值与均数的离差之和等于零
n
(Xi X) 0
i1
2、各变量值与均数的离差平方和最小
n
n
(xi x)2 (xi a)2
i1
i1
二、几何均数(概念要点)
1、描述集中趋势的指标之一 2、N 个变量值乘积的 N 次方根 3、适用于特殊的数据（等比资料或对数分布
资料）
4、可看作是均值的一种变形
的对数值 中间的数据
敏感
敏感、出现负 值无法计算
不敏感
第三节 离散趋势的描述
离散趋势指标
• 反映数据的离散度(Dispersion)。即 个体观察值的变异程度。常用的指标 有： 1、极差与四分位数间距 2、方差 与标准差 3、变异系数
（一）极差(概念要点及计算公式)
1、 一组数据的最大值与最小值之差 2、离散程度的最简单指标 3、易受极端值影响 4、未考虑数据的分布 5、计算公式为：
近似正态分布； 3、变异系数主要用于单位不同或均数相差悬殊
资料； 4、平均指标和变异指标分别反映资料的不同特
征， 常配套使用： 如 正态分布：均数、标准差；
偏态分布：中位数、四分位数间距
• 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，
即
n
Xi M mi n
i1
未分组数据的中位数 (直接法)
M
X
n1 2
12
Xn
2
Xn21
当n为 奇 数 时 当n为 偶 数 时
未分组数据的中位数 (7个数据的算例)
原始数据: 87 90 91 92 95 96 108 位 置: 1 2 3 4 5 6 7
位 置 n1714 22
M 92
未分组数据的中位数 (8个数据的算例)
原始数据 87 90 91 92 95 96 108 171 位 置12 3456 7 8
M929593.5 2
分组数据的中位数 (频数表法)
1、确定中位数所在的组 2、采用下列近似公式计算：
M LMfiM(n5% 0 fL)
1、算术均数(arithmetic mean)，简称 均数 (mean)
2、几何均数(geometric mean) 3、中位数 (median) 4、众数（mode）
一、算术均数(概念要点)
1、描述集中趋势的指标之一 2、适用于对称分布特别是正态分布的资料 3、一组数据的均衡点所在 4、易受极端值的影响
几何均数（geometric mean）
Gn X1X2Xn
l
gG
1 (
n
l
gX1
l
gX2
l
gXn)
l gX n
Gl g1 l gX
n
几何均数：变量 对数值的算术均 数的反对数。
l g表 示 以10为 底 的 对 数 ；
l g1表 示 以10为 底 的 反 对 数
X 0，为正值
频数表资料的几何均数计算公式
按公式2.4计算几何均数：
Glg1( lg2.3lg3.3lg26.4) 102
lg1( 94.232)68.39(μ/g) 102
三、中位数
1、是将一批数据从小至大排列后位次居中的 数值，符号为 M，反映一批观察值在位次 上的平均水平。
50%
50%
M
中位数的特点
• 不受极端值的影响
• 可用于各种分布的资料。尤其适合于①大 样本偏态分布的资料； ②资料有不确定数 值；③资料分布不明等。