2021年高考数学(新高考全国Ⅰ卷)含解析版

2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）

数 学

一、单选题

1.设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B =（ ）

A.{2}

B.{2,3}

C.{3,4}

D.{2,3,4} 答案： B 解析：

{2,3}A B =，选B.

2.已知2z i =-，则()z z i +=（ ） A.62i - B.42i - C.62i + D.42i + 答案： C 解析：

2,()(2)(22)62z i z z i i i i =++=-+=+，选C.

3.

，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A.2

B. C.4

D.答案：

B 解析：

设母线长为l

，则l l π=⇒=4.下列区间中，函数()7sin()6

f x x π

=-单调递增的区间是（ ）

A.(0,)2

π

B.(

,)2

π

π

C.3(,

)2

ππ D.3(

,2)2

π

π 答案： A 解析：

()f x 单调递增区间为：222()22()2

6

2

3

3

k x k k Z k x k k Z π

π

π

π

π

ππππ-≤-

≤+

∈⇒-

≤≤+

∈，令0k =，故选A.

5.已知1F ，2F 是椭圆22:194

x y

C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为（ ）

A.13

B.12

C.9

D.6 答案： C

解析：

由椭圆定义，12||||6MF MF +=，则2

1212||||||||()92

MF MF MF MF +≤=，故选C.

6.若tan 2θ=-，则

sin (1sin 2)

sin cos θθθθ

+=+（ ）

A.65-

B.25

-

C.

25 D.

65

答案： C 解析：

22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθ+++=++22222

sin sin cos tan tan 2

sin cos tan 15

θθθθθθθθ++===++，故选C. 7.若过点(,)a b 可以作曲线x

y e =的两条切线，则（ ） A.b e a < B.a e b <

C.0b a e <<

D.0a b e << 答案： D 解析：

设切点为00(,)P x y ，

∵x y e =，∴x

y e '=，

则切线斜率0x

k e =，

切线方程为0()x

y b e x a -=-， 又∵00(,)P x y 在切线上以及x

y e =上， 则有000()x x

e b e x a -=-， 整理得00(1)0x

e x a b --+=， 令()(1)x

g x e x a b =--+， 则()()x g x e x a '=-，

∴()g x 在(,)a -∞单调递减，在(,)a +∞单调递增，

则()g x 在x a =时取到极小值即最小值()a

g a b e =-，

又由已知过(,)a b 可作x

y e =的两条切线， 等价于()(1)x

g x e x a b =--+有两个不同的零点，

则min ()()0a

g x g a b e ==-<，得a

e b >，

又当x →-∞时，(1)0x e x a --→，则(1)x

e x a b b --+→， ∴0b >，

当1x a a =+>时，有(1)0g a b +=>， 即()g x 有两个不同的零点.

∴0a

b e <<.

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”

，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立 答案： B 解析：

由题意知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)， 两点数和为7的所有可能为：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)， ∴1()6P =

甲，11()166P =⨯=乙，5()36P =丙，61

()=366

P =

丁， ()0P =甲丙，1()36P =甲丁，1

()36

P =乙丙，()0P =丙丁，

故()()()P P P =⋅甲丁甲丁，B 正确，故选B. 二、多选题

9.有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中1(1,2

,)i y x c i n =+=，c

为非零常数，则（ ）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同 答案： C 、D 解析：

对于A 选项：121

n

x x x x n ++

+=

，1212n

n

y y y x x x y c n

n

++

+++

+=

=

+，∴x y ≠，∴A 错误；

对于B 选项：可假设数据样本12,,,n x x x 中位数为m ，由

i i y x c =+可知数据样本12

,,

,n y y y 的中位数为

m c +，∴B 错误；

对于C 选项：

1(n S x x =+

+-2

2(]

n S y =+-

2

1

()]n x x S =+

+-=，∴C 正确；

对于D 选项：∵i i

y x c =+，∴两组样本数据极差相同，∴D 正确。

10.已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则（ ） A.12||||OP OP = B.12||||AP AP = C.312

OA OP OP OP ⋅=⋅ D.123OA OP OP OP ⋅=⋅ 答案： A 、C 解析：

1||cos 1OP ==，2||cos 1OP ==，∴A 正确；

2

221(cos 1)sin 22cos AP ααα=-+=-，

2222(cos 1)(sin )22cos AP βββ

=-+-=-，22cos 22cos αβ-≠-,∴B 错；

3cos()OA OP αβ⋅=+，12cos cos sin sin cos()

OP OP αβαβαβ⋅=-=+，∴C 正确； 1cos OA OP α⋅=，23cos cos()sin sin()cos(2)OP OP βαββαβαβ⋅=⋅+-⋅+=+， ∴D 错.

11.已知点P 在圆2

2

(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则（ ）

A.点P 到直线AB 的距离小于10