可分离变量的微分方程

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例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量Mt)随时间t 变化的规律
解 根据题意 得微分方程 即 lnMtlnC
dM M ( 是正常数)
dt 初始条件为M|t0M0
将方程分离变量 得
dM dt
M 两边积分 得
也即 MCe t
由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量Mt)随时间t变化的 规律MM0e t
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例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
mg
k
v)
t m
C1
解 设降落伞下落速度为 vt) 根据题意得初值问题
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
将方程分离变量得
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 dy 2xdx y
两边积分得
1dy y
2xdx
即ln|y|x2C1 来自 加常数的另一方法从而
y eC1ex2 Cex2 从而
其中 C eC1 为任意常数
ln|y|x2lnC y Cex2
§.2 可分离变量 的微分方程
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
gy)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
•分离变量 将方程写成gy)dy f(x)dx的形式
•两端积分 g(y)dy f (x)dx 设积分后得 G(y)F(x)C
或v
mg
Ce
kt m
( C ekC1
)
k
k
将初始条件v|t00代入上式得
C
mg k
于是降落伞下落速度与时间
的函数关系为
dv dt mg kv m
v
mg
(1
e
kt m
)
k
结束
dx 设积分后得 G(y)F(x)C
方程由Gy)F(x)C所确定的函数称为隐式(通)解
讨论
微分方程
分离变量
y2xy
y1dy2xdx
3x25xy0
dy3x25x)dx
(x2y2)dxxydy=0 ————
y1xy2xy2 y1x)(1y2)
y10xy y x y
yx
10ydy10xdx ————
dM M
()dt
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例3 设降落伞从跳伞塔 下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零 求降落伞下落 速度与时间的函数关系
解 设降落伞下落速度为 vt) 根据题意得初值问题
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
提示 降落伞所受外力为Fmgkvk为比例系数) 牛顿第二运动定律Fma