安徽省池州市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

2016-2017学年度第二学期期末考试
高二数学(理科)试题
满分：150分时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 用反证法证明命题“若N可被整除，那么中至少有一个能被整除”．那么假设的内容是（）
A. 都能被整除
B. 都不能被整除
C. 有一个能被整除
D. 有一个不能被整除
【答案】B
【解析】试题分析：反证法中，假设的应该是原结论的对立面，故应该为a，b都不能被5整除.
考点：反证法.
2. 有一回归方程为=2－，当增加一个单位时（）
A. y平均增加2个单位
B. y平均增加5个单位
C. y平均减少2个单位
D. y平均减少5个单位
【答案】D
【解析】因为是回归直线方程斜率的估计值，说明变量每增加个单位，
平均减少个单位，故选D.
3. 已知复数，则（）
A. 2
B. －2
C. 2i
D. －2i
【答案】A
【解析】试题分析：，故选A．
考点：复数的基本运算.
4. 函数f(x)=ax3+3x2+2,若,则a的值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：因为f(x)=ax3+3x2+2，所以，又f’(-1)=4，即3a －6=4，所以a的值为，故选D。

考点：本题主要考查导数的概念，导数的计算。

点评：简单题，利用导数公式先求导函数，再求导数值。

...
5. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概
率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】略
6. 函数，已知在时取得极值，则= （）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】D
【解析】试题分析：对函数求导可得，，∵在时取得极值，∴,得故答案为：D.
考点：函数的导数与极值的关系.
7. 设两个正态分布和
的密度函数图像如图所示。

则有（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从正态曲线的对称轴的位置看，显然，正态曲线越“痩高”，表示取值越
集中，越小，故选A.
8. 一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为个，
其中恰好有一个二等品的事件有个，
根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为
9. 已知随机变量，且，，则与的值分别为（）
A. 16与0.8
B. 20与0.4
C. 12与0.6
D. 15与0.8
【答案】D
【解析】因为随机变量，且，且，解得，故选D.
10. 函数的单调递减区间是. （）
A. (–1, 2)
B. (–∞, –1)与(1, +∞)
C. (–∞, –2)与(0, +∞)
D. (–2，0)...
【答案】D
【解析】解：因为
11. 一同学在电脑中打出如下若干个圈：
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的●个数是（）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 11
【答案】B
【解析】将圆分组：第一组：○●，有个圆；第二组：○○●，有个圆；第三组：○○○●，有个，…，每组圆的总个数构成了一个等差数列，前组圆的总个数为
，令，解得，即包含整
组，故含有●的个数是个, 故选B.
【方法点睛】本题考查等差数列的求和公式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
12. 已知函数，[-2，2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：
① f(x)的解析式为：，[-2，2]；
② f(x)的极值点有且仅有一个；
③ f(x)的最大值与最小值之和等于零；
其中正确的命题个数为（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【答案】C
【解析】
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13. 已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为 ___________.
【答案】(1) 选手甲答道题可进入决赛的概率为；
选手甲答道题可进入决赛的概率为；
选手甲答5道题可进入决赛的概率为；
∴选手甲可进入决赛的概率++．
(2) 依题意，的可能取值为．
则有，
，
，
因此的分布列为
．
【解析】由，得到，因为曲线的一条切线的斜率为，得到，解得，把代入，得，则切点的坐标为，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义，属简单题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数
（已知斜率求切点坐标方法同）；(2) 己知斜率求切点即解方程
；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
14. 根据定积分的几何意义，计算_______________。

【答案】
【解析】根据定积分的几何意义，的值等于以原点为圆心，以4 为半径的圆面积的四分之一，所以，故答案为.
故答案为
15. 如图， A, B, C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9 , 0.8 , 0.7 , 如果系统中至少有1个开关能正常工作,则该系统就能正常工作，那么该系统正常工作的概率是____________
【答案】0.994
【解析】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，，种开关中至少有个开关能正常工作的对立事件是种开关都不能工作，分别记开关能正常工作分别为事件，，故答案为
.
16. 观察下列式子：
……
由上归纳可得出一般的结论为_________________________________。

【答案】 (n为正整数且n大于或等于２)
【解析】略
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，求直线与抛物线所围成图形的面积.
【答案】...
【解析】试题分析：根据定积分的几何意义可知，直线与抛物线所围成图形的面积即是函数与函数差的定积分，根据定积分公式求解即可. 试题解析：由方程组，可得,，
故所求图形面积为
18. 已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最大值和最小值。

【答案】（1）的单调递增区间为（-∞，-），（2，+∞）；单调递减区间为（，2）;（2）最大值为4，最小值为
【解析】试题分析：（1）求出，得增区间，得减区间；（2）由（1）可知，在上有极小值，，而，比较大小即可求在
上的最大值和最小值.
试题解析：（1）因为，所以
由得或,
故函数的单调递增区间为（-∞，-），（2，+∞）；
由得,故函数的单调递减区间为（，2）
（2）令得
由（1）可知，在上有极小值，
而，，因为
所以在上的最大值为4，最小值为
【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值、最值，属于难题.
求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 得增区间，
得减区间,左增右减，那么在处取极大值，左减右增，那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与最值的大小.
19. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求：（1）甲恰好击中目标2次的概率；（2）乙至少击中目标2次的概率；
（3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率
【答案】（1）（2）;（3）
【解析】试题分析：(1)由题意知甲射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到结果；(2)乙射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验，乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次，且这两种情况是互斥的，根据公式得到结果；(3)乙恰好比甲多击中目标次，包含乙恰击中目标次且甲恰击中目标零次或乙恰击中目标三次且甲恰击中目标一次，由题意，为互斥事件.根据互斥事件和独立重复试验公式得到结果.
试题解析：（1）甲恰好击中目标2次的概率为
（2）乙至少击中目标2次的概率为
（3）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件
P（A）=P（B1）+P（B2）
所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为
20. 某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；
（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式，．）【答案】（1）见解析;（2）
【解析】试题分析：（1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图.(2 )先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出的值，写出线性回归方程.
试题解析：（1）散点图如下图所示：
（2），，，
，，
所求回归直线方程为
【方法点晴】本题主要考查散点图的画法和线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算
的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；
(2) 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
21. 在二项式的展开式中，
（1）若所有二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项．
（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和。

【答案】（1）;（2） ....
【解析】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为，，根据中间项的二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令计算的大小，即可得答案.
试题解析：（1）由已知得，，
展开式中二项式系数最大的项是
（2）展开式的通项为，
由已知：成等差数列，∴n=8,
在中令x=1，得各项系数和为
22. 某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有次选题答题的机会，选手累计答对题或答错题即终止其初赛的比赛，答对题者直接进入决赛，答错题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为．
(1) 求选手甲可进入决赛的概率；
(2) 设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望．
【答案】(1) ; (2) 见解析.
【解析】试题分析：(1)由于答对题者直接进入决赛,故可分为三类：一类是三题全对；一类是答题，前题错一题，第题答对；一类是答题，前题错两题，第题答对，故可求求选手甲可进入决赛的概率；(2)依题意，的可能取值为，利用独立重复试验的概率公式分别求出相应的概率，从而得出的分布列，进而的数学期望.
试题解析：(1) 选手甲答道题可进入决赛的概率为；
选手甲答道题可进入决赛的概率为；
选手甲答5道题可进入决赛的概率为；
∴选手甲可进入决赛的概率++．
(2) 依题意，的可能取值为．
则有，
，
，
因此的分布列为
．。