数列的五种求和公式

数列的五种求和公式
数列求和的⼏种常见⽅法
数列问题中蕴涵着丰富的数学思想⽅法，是⾼考⽤来考查考⽣对数学思想⽅法理解程度的良好素材，是历年⾼考的⼀⼤热点，在⾼考命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现，⼀般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等⽐数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种⽅法进⾏系统探讨.
1、公式求和法
通过分析判断并证明⼀个数列是等差数列或等⽐数列后，可直接利⽤等差、等⽐数列的求和公式求和，或者利⽤前n 个正整数和的计算公式等直接求和.运⽤公式求解的注意事项：⾸先要注意公式的应⽤范围，确定公式适⽤于这个数列之后，再计算.特别地，注意数列是等⽐数列时需要讨论1q =和1q ≠的情况.
⑴等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2
)
(1
1-+
=+=
另外，还有必要熟练掌握⼀些常见的数列的前n 项和公式.正整数和公式有：1
(1)
2
n
k n n k =+=
∑；
2
1
(1)(21)
6
n
k n n n k
=++=
∑
；
3
2
[
]
2
n
k n n k
=+=∑
例1、已知数列(){}n f 的前n 项和为n S ，且.22
n n S n +=若(),11f a =()n n a f a =+1()*
∈N
n ,求数列{}
n
a 的前n 项和.n T
分析：根据数列的项和前n 项和的关系⼊⼿求出(),n f 再根据()n n a f a =+1（∈n * N )求出数列{}n a 的通项
公式后，确定数列的特点，根据公式解决.
解：∵当2≥n 时，().121+=-=-n S S n f n n 当1=n 时，(),311==S f 适合上式
()12+=∴n n f ()*
∈N
n ，(),311
==f a
121+=+n n a a ()*
∈N
n ，即)1(211
+=++n n a a
∴数列{}1n a +是⾸项为4、公⽐为2的等⽐数列.
∴()12,22
111
111-=∴=?+=+++-n n n n n a a a ()*
∈N n ；(
).42
2
22
2
--=-++=++n n T
n n n
【能⼒提升】公式法主要适⽤于等差、等⽐数列或可转化为等差、等⽐数列的数列的求和，⼀些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为⼀个等差数列或等⽐数列的求和问题. 变式训练1：已知3
log
1log 2
3
-=
x ，求+++++n
x x x x 32的前n 项和.
变式训练2：设*
12()n s n n N =+++∈…,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最⼤值.
2、倒序相加法
如果⼀个数列{}n a ，与⾸末两端等“距离”的两项的和相等或等于同⼀个常数，可采⽤把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到⼀个常数列的和，这⼀求和⽅法称为倒序相加法.我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同⼀类知识的⼯具，例如：等差数列前n 项和公
式的推导，⽤的就是“倒序相加法”.
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?
=++++…………则()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……
例2、已知函数().211223??? ??≠--=
x x x x F 求.200920082009220091??
+? +? F F F 分析：由所求的和式的特点，易想到探究：和为1的两个⾃变量函数值的和是否为常数.从⽽确定可否⽤倒
序相加法求和.
【解析】∵()()()().31
122131
2231=----+
--=
-+x x x x x F x F
∴设.200920082009220091
??+ ??+
=++ ? ? ??????? ②
∴①+ ②得
??+??? ??++??? ??+??? ??+?????
??+
=200912009200820092007200922009200820091
2F F F F F F S 602420083=?=,所以.3012=S
【能⼒提升】倒序相加法来源于课本，是等差数列前项和公司推导时所运⽤的⽅法，它是⼀种重要的求和⽅法.当求⼀个数列的有限项和时，若是“与⾸末两端等距离”的两项和都相等，即可⽤此法. 例3、已知22
()1x
f x x
=
+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f
++++++=
解：∵由2
2
22
2
2
2
111()1
11111x x
x f x f x x x
x
x ?? ???
+=+=
+
= ?+++??
+ ?
1(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ?
=++++++=+++=
变式训练1：求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2
+++++的值
变式训练2：如已知函数()f x 对任意x R ∈都有2
1)1()(=
-+x f x f ，++=)1
()0(n
f f S n
)3()2(n f n f ++…)1()2(n
n f n n f -+-+)1(f + ，（*
N n ∈），求n S
变式训练3：已知2
21)(x
x
x f +=
，那么=+++++)2008
1(
)3
1()2
1()2008()2()1(f f f f f f
裂项相消法是将数列的各项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从⽽求出数列的前n 项和. ⼀般地，我们把数列的通项分成两项之差，在求和时中间的⼀些项可以相互抵消，从⽽求得其和.适⽤于类似?
+1
n n a a c
+--=
+-12112121)
12)(12(1
n n n n ；
1111()
()
n n k k
n
n k
=-++；
n
n n n -+=++
11
1；
例4、{}n a 是公差为d 的等差数列，求1 1
1n
k k k a a =+∑
解：∵
()
()
1
111
1110k k k
k
k k d
a a a a d
d a a ++??
=
=
1
11223111111111111n
n
k k k k k k n
n a a d a a d a a a a a a ==+++??
=
-=-+-++-?? ?
∑
∑
……11111n d a a +??=-
例5、数列 {}n a 满⾜n n n a a a a a 3 23
5,3
5,11221-
=
=
=++ (
)*
∈N
n ，求.32323232
1
4
33
3
22
2
1+??
+
+??
+
n n n
n
a a a a a a a a T
分析：根据给出的递推式求出数列{}n a ，再根据1 32+??
n n n
a a 的特点拆项解决.
解：∵由已知条件，得()n n n n a a a a -=
-+++1123
2，{}n n a a -∴+1是以3
212=
-a a 为⾸项，3
2为公⽐的等
⽐数列，故,321n
n
n a a ??
=-+ ∴()()()
21
1213212
222131.3333n n
n
n n a a a a a a a a --??
=+-+-++-=++++=- ? ?
∴
11
1
22111
33322221131313333n
? ?
==-
---?-?????? ? ? ? ?
∴
2
3
2
1
1
1223341
2222
11111
1133333.23322221111133333n n n
n n n n T a a a a a a a a +++
=
++++=-
++
-
=-
-----???? ? ?
变式训练1：在数列{}n a 中，1
1
21
1++
+++
+=
n n n n a n ，⼜1
2+?=
n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.变式训练:2：求和：11
1
112
123
123s n
=++
++
+++++++
变式训练3：求和：
n
n +
++
++
+
+
+
+113
412
311
21 .
以求出前n 项和.
例6、2
3
1
1234n n S x x x nx
-=+++++……
①
()2
3
41
2341n n
n x S x x x x n x
nx -=+++++-+·…… ②
①—②()2
1
11n n
n x S x x x nx --=++++-……
当1x ≠时，()
()
2
111n
n
n x n x
S x
x -=
-
--，当1x =时，()11232
n n n S n +=++++=
……
【能⼒提升】错位相减法适⽤于数列{}n n b a ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等⽐数列.若等⽐数列{}n b 中公⽐q 未知，则需要对公⽐q 分11≠=q q 和两种情况进⾏分类讨论. 例7、已知数列{}n a 是⾸项为,4
11=
a 公⽐为4
1=
q 的等⽐数列，设n n a b 4
32=+(
)*
∈N
n ，数列{}
n
c 满⾜.n n n b a c ?=求数列{}n c 的前n 项和.n S
分析：根据等⽐数列的性质可以知道数列{}n b 为等差数列，这样数列{}n c 就是⼀个等差数列与⼀个等⽐数列对应项的乘积构成的数列，因⽽可考虑⽤错位相减法来解决. 解：∵由题意知，n
n
a ??
=41()*
∈N n ，⼜2log
34
1-=n n
a b
，故23-=n b n (
)*
∈N
n .
∴()1324n
n c n ??=-? ???
()
*
∈N n
∴()()231
1
1111147353244444n n
n S n n -
=?+?+?++-?+-? ? ? ?
∴()()2
3
4
1
111111473532444444n
n n S n n +
=?+?+?++-?+-? ? ? ? ? ???????????
∵两式相减,得()().4123214123414141341
4
3
1
132++
+-= --
??++??? ??+??? ??+=n n n n
n n S n
n n S ??
+-
=
∴413
233
2()*∈N n .
变式训练1、求2
3
1
1234n n S x x x nx
-=+++++……
变式训练2、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(?-=，求此数列的前n 项和n S . 变式训练3、求数列,2
2,
,2
6,
2
4
,223
2
n
n 前n 项的和.
5、（分组）拆项求和法（裂项重组法）
所谓裂项重组法就是针对⼀些特殊的数列，既不是等差数列，也不是等⽐数列的数列，我们可以通过拆分、合并、分组，将所求和转化为等差、等⽐数列求和
例8、已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n
n 求数列{}n a 的前n 项和.
分析：该数列的通项是由⼀个等⽐数列{}n
2与⼀个等差数列{}13-n 组成的，所以可将其转化为⼀个等⽐数
列与⼀个等差数列进⾏分组求和.
【解析】()()()13252222
1
21-+++++=++=n a a a S n
n n
=()()[].13522
222
1
-++++++n n
=
(
)
()[]
2
1322
1212-++
--n n n
=.22
12
322
1
-+
+
+n n
n
【能⼒提升】在求和时，⼀定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成⼏项的和，⽽这些项分别构成等差数列或等⽐数列，那么我们就可以⽤此⽅法求和. 例9、数列{}n a 的前n 项和是n
S ()
∈N n ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：
,,6
1
,54,53,52,51,43,42,41,32,31,21 若存在⾃然数k ()*
∈N k ，使10,101≥<+k k
S S
，则=k a .
分析：数列的构成规律是分母为2的⼀项，分母为3的两项，分母为4的三项，···，故这个数列的和可以并项求解. 解：55
4
3213,343
2123,233
2121,2110631=++++
==+++
==++=
=
S S S S ,2156
5
4321515=+++++=S ⽽,37
6
54321=+++++这样1022121>=
S ,⽽
,102
52157152
157
543212
1520=+<+=
+++++
=
S 故7
5=
k a ，故填.7
5
【能⼒提升】当⼀个数列连续的⼏项之间具有明显的规律性，特别是⼀些正负相间或者是周期性的数列等，可以考虑⽤并项求和的⽅法.
变式训练1：求和：2536+47++(+3)n n ?+??……
2
1
1,1+2,1+2+21+2+2++2n -，…，
…… 的前n 项和
变式训练3：求数列{(1)(21)}n n n ++的前n 项和.。