2022年高考数学必刷压轴题专题10以分段函数为背景的解不等式含解析

专题10 以分段函数为背景的解不等式

【方法点拨】

1. 遇绝对值往往直接转化为分段函数解决.

2. 以分段函数为背景的解不等式，注意对分类后结果的处理，一般“类中取交、类后取并”

（即分类过程中，不等式取交集，而最终结果应取各类之并集）.

【典型题示例】

例1 (2021·全国乙卷·理23改编)已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，不等式()6f x ≥的解集是 ;（2）若()f x a >-，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】（1）(]

[),42,-∞-+∞.（2）3

,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭

.

【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.

【解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，

则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，

当4x =-或2x =时所对应数轴上的点到13-，

所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，

所以()6f x ≥的解集为(][),4

2,-∞-+∞.

（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，

333x a x x a a x -++-+=≥++，

当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+,故3a a +>-， 所以3a a +>-或3a a +<， 解得3

2

a >-. 点评：

解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.

例2 已知函数()|31|2|1|f x x x =+--,则不等式()(1)f x f x >+的解集是 ．

【答案】7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝

⎭.

【分析】在同一直角坐标系内作出函数()f x 、

()1f x +的图象，根据图象即可解出．

【解析】将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：

由()3511x x --=+-，解得7

6

x =-． 所以不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭

．

【巩固训练】

1.已知函数222()1122

x x x f x x x ⎧-≤⎪

=⎨->⎪⎩，，，则关于x 的不等式(1)(2)f x f x -<-的解集

为 ．

2.设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2－x

，x ≤0，

1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1]

B ．(0，＋∞)

C ．(－1,0)

D ．(－∞，0)

3.已知f (x )＝(x ＋1) |x |－3x ．若对于任意x ∈R ，总有f (x )≤f (x ＋a )恒成立，则常数

a 的最小值是______．

4.已知函数)0(1|)|1()(>+-=a x a x x f ，若)()(x f a x f ≤+对任意的R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 .

5.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 42-=)(，则不等式x x f >)(的解集为 ．

6.已知函数

|2|)(-=x x x f ，则不等式)1()2(f x f ≤-的解集为__________.

7. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若对于任意x ∈R ，有f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为 ．

【答案与提示】

1.【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭

【分析】作出函数()f x 图象，考察动区间

[]12x x --，

间图象的单调性，易得，当1

1=2

x - 即1

2

x =

时，(1)(2)f x f x -=-，此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故

即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．

②当⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．

③当⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1>0，2x ≤0，

即－1<x ≤0时，

f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x ，解得x <0.

N

M

y

x

O

因此不等式的解集为(－1,0)．

④当⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1>0，2x >0，

即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．

综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法

∵f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2－x

，x ≤0，1，x >0，

∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，

则需

⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1

或

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋1≥0，

2x <0，

∴x <0，故选D. 3.【答案】3＋10．

【提示】f (x )＝⎩⎨⎧x 2

－2x ，x ≥0，

－x 2

－4x ，x ＜0，，作出函数f (x )的图象得：

作平行于x 轴的直线l 与f (x )图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M ，N ，如图所示，则a 的最小值即为线段MN 长的最大值．设直线l 的方程为y ＝t ， 可得MN ＝3＋1＋t ＋4－t ＝3＋(1＋t ＋4－t )2

＝3＋5＋2(1＋t )(4－t )

≤3＋5＋1＋t ＋4－t ＝3＋10

所以，a 的最小值是3＋10 【说明】

1.本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a 的最小值即为线段MN 长的最大值．

2.本题也可使用导数知识解决. 4.【答案】[2,)+∞

【解析】设()(1||)(0)g x x a x a =->，则()()()()f x a f x g x a g x +≤⇔+≤对任意的