何谓非零函数

知识呢？笔者对此持谨慎态度．第一，现行的人教版 删去了极限内容，只要求学生了解导数定义，在这种 基础上让学生学习并运用函数连续性、拉格朗日中 值定理、函数凹凸性等概念性很强的知识，不仅增加 学生的负担，而且可能把学生引入歧途；第二，高考 的目的是考查学生基础知识的掌握程度和进入高校 继续学习的潜能．在高等数学中，好多定理是通过构 造函数来证明的，命题者居高临下地设计这些题目， 其目的是考查学生构造函数解决问题的能力而不是 会套用这些知识的能力．因此，笔者认为在教学中应 当鼓励学生数形结合对曲线中割线与切线的斜率关 系大胆猜想，但必须抓牢构造函数解决问题的实质， 以起到示范、指引的作用．
下面笔者给出以上问题的正确解答，及对失误 原因作剖析．
解得：ｏ＝１． 第（２）小题，大约８０％的学生结论正确，采用
的解法为定义式法：因为八戈）为奇函数，所以有八一 万方数据
意义所以八ｏ）＝生导＝ｏ，解得：ｎ＝１． 解 （１）因为．厂（戈）为奇函数，且在戈＝０时有
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何谓非零函数?
作者： 作者单位： 刊名：
导数的大题中ｌ八戈，）一八石：）ｌ＜五ｌ石。一石：ｌ型的 相关问题经久不衰，比如２００４年江苏２２题、２００６年 四川２２题，２００６年广东２０题，还有２００９、２０１０年的 辽宁２１题．
已有多篇文章提出借用高等数学知识利用导数 方法解决这类题目．作为教师掌握这种方法，高屋建 瓴地指导教学是很有必要的，但是，为了能在考试中 占得先机，教学中有没有必要补充这些高等数学的
我们先回顾一下奇函数的概念：一般地，如果对 于函数八石）的定义域内的任意一个石，都有八一戈） ＝一八戈），那么函数八戈）就叫奇函数．
而从以上的答题情况看，大部分学生在奇函数 概念的理解上，把注意力和理解力都放在了八一戈） ＝一八戈）上，也把巧解（解题技巧）放在了解题的重 要位置，忽视了概念的边缘知识，导致对概念理解不 够全面，解题出现失误．失误基本上都出现在对定义 域的忽视上．
英文刊名： 年，卷(期)：
甘志国 湖北省十堰市东风高中,442001
中学数学杂志（高中版） ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONG BAN) 2011(1)
本文链接：/Periodical_zxsxzz-gzb201101024.aspx
（１）八石）＞０； （２）判断八戈）的单调性并予以证明；
（３）当八４）２素时，解不等式八戈一３）八５一
戈２）≤｛．
解 （１）令ｏ＝６＝ｏ可得八ｏ）＝［八ｏ）］２， 八０）＝０或１．
又八石）是非零函数，所以八０）≠０，得八０）＝ １，且有八戈）八一石）＝八戈一石）＝八０）＝１，即八戈）， 八一戈）的值同号．再由“当戈＜ｏ时以戈）＞１”知， 当戈＜ｏ或戈＞ｏ时均有八戈）＞ｏ；又八ｏ）＝１，所 以当石∈Ｒ时，均有八戈）＞０．
令土＝￡（￡＞ｏ），则ｌ ４＋２ｆ３一Ａｆ２ ｌ≥１恒成立，
４＋２ｆ３一Ａｆ２≥１ｊＡ≤王掣：要＋２ｆ恒成
ｆ
￡
立，ｙ＝毒＋ｆ＋ｆ≥３万（当且仅当ｆ＝弦时等号成 ｆ
立），所以ｏ＜Ａ≤３√３．
４＋２ｆ３一Ａｆ２≤一１ｊＡ≥王±ｇ：妻＋２ｆ恒
ｆ‘
ｆ‘
成立，Ａ无解．
综上，Ａ的取值范围为Ａ≤３籀．
４ 解后反思 自２００３年各省高考开始自主命题以来，在函数
义域上的奇函数，求。的值；
（３）已知。为实数，函数八戈）＝ｌｇ１（＿Ｌ＋ｏ） １一＊
是定义域上的奇函数，求ｎ的值；
，’＾，
（４）已知。为实数，函数八戈）＝１９（二鲁＋ｏ） 见１＿１
是定义域上的奇函数，求ｎ的值． 下面笔者给出大部分学生的作答情况． 第（１）小题，结论全部正确，并且清一色采用巧
解：因为八戈）为奇函数，所以八ｏ）＝％｝二｝＝ｏ，
（２）（３）的解答同上． 作者简介见２０１０年第５期．
巧方法 大问题
浙江省湖州市菱湖中学
３１３０１８
俞永锋
山东省日照实验高级中学
２７６８００
魏祥
戈）＝一八戈），且口赫＝一篙，化简得：。 数学离不开解题，解题教学更离不开概念教学
和解题技巧的训练．而目前的中学数学教学，受某些
因素的影响，重解题轻概念，重技巧轻通法的现象较
＝与筹是定义域上的奇函数，求。的值； 案例１ （题组）（１）已知。为实数，函数八戈） 二（２１ ）＿已１ 知。为实数，函数八石）＝ｊ岩是定
第（４）小题，大约１０％的学生结论正确，正确 的同学采用的是定义式法，得ｏ＝一１；而错误的解 答是巧法：利用八０）＝０，解得ｏ＝１． ２ 解法错因分析
“’二 一１
（２）对任意的实数石。，石：且戈，＜戈：，有矣筹＝
万方数据
八戈，一戈：）＞１以戈，）＞八石：），所以八戈）在Ｒ上是
减函数．
１
１
（３）由八４）＝八２）八２）＝素，可得八２）＝寺，
所以原不等式即八石一３＋５一戈２）≤八２）， 再由（２）的结论，得
戈一３＋５一戈２≥２
０≤戈≤１
所以原不等式的解集为［０，１］． 这是在网上流传很广的一道题目，选用率也很 高，我地某校还把它作为本学期高一数学期中考试 的压轴题．但笔者认为，以上第（１）问的解答是错误 的，产生错误的原因是没有弄清非零函数的概念． 笔者查阅了《数学词典》（谷超豪主编，上海辞 书出版社，１９９２）等工具书，均未找到“零函数”、“非 零函数”的词条．但在《高等代数》（张禾瑞、郝钢新 编，人民教育出版社，１９８０）第３６页有“零多项式” 的定义：系数全为零的多项式没有次数，这个多项式
参考文献 ［１］曹军．不等式叭石，）一八石：）ｌ＜ｌ戈，一戈：ｌ（或＞）
恒成立问题的导数解法之探究［Ｊ］．中学数学杂 志，２０１０，（５）． ［２］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高 等教育出版社．１９９１．３．
何பைடு நூலகம்非零函数？
湖北省十堰市东风高中
４４２００１
甘志国（特级教师）
题目 若非零函数八戈）对任意的实数口，６均 有八ｏ＋６）＝八口）八６），且当戈＜ｏ时以戈）＞１．求 证：
该题题目无误，且是一道好题（因没有零函数 的定义，且新课改的高一学生未学过“命题的否 定”，所以建议该题中给出说明“在定义域上函数值
不恒为零的函数叫做非零函数”），其正确解答是： （１）令ｏ＝６＝ｏ可得八ｏ）＝［八ｏ）］２以ｏ）＝
０或１． 若八０）＝０，得八戈）＝八戈＋０）＝八石）八０）＝
八戈）·ｏ＝ｏ，即函数八石）的值恒为零，与题意不符， 所以八ｏ）＝１，且有八戈）八一戈）＝八戈一戈）＝八ｏ） ＝１，即八戈）以一戈）的值同号．再由“当戈＜ｏ时， 八戈）＞１”知，当石＜０或石＞０时均有八戈）＞０；又 八０）＝１，所以当戈∈Ｒ时，均有八石）＞０．
叫做零多项式． 多项式也是一种特殊的一元函数，由此我们可
以推知零函数的定义应当是：在定义域上函数值恒 为零的函数叫做零函数．根据命题的否定的涵义知， 非零函数的定义应当是：在定义域上函数值不恒为 零的函数叫做非零函数．比如，厂（戈）＝戈（戈∈Ｒ）， 八戈）＝戈２（戈∈Ｒ）以戈）＝１（戈∈Ｒ＋）都是非零函 数．而以上第（１）问的解答中，把非零函数理解为 “在定义域上函数值恒不为零的函数”是错误的．
一２“＝１一ｏ·２。，且Ⅱ（ｏ一１）（２。＋１）＝０，所以口＝
普遍．从而导致了一系列问题的出现．
１
１ 案例呈现 笔者（所带班为新接手班级，平行班）在一次高
三一轮复习奇函数性质的学案题组训练中，有如下
第（３）小题，结论都正确，但解法基本错误．错
解：因为八戈）为奇函数，所以八ｏ）＝ｌｇ（忐＋ｏ）
题组：
＝０，解得：ｏ＝一１．