2020版高中数学人教B版选修2-2课件：3.2.1 复数的加法与减法

由复数加减法的几何意义可得
uuur uuur DA＝EA
EuuDur＝1
uuur CA
1
uuur BD
22
＝
1
uuur AC
1
uuur BD＝
1
uuur uuur (AC＋BD).
22
2
所以
DuuAu对r 应的复数为-
(61+8i-4+6i)=-1-7i.
2
所以向量 DuuAu对r 应的复数为-1-7i.
【方法技巧】 1.复数加减运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. (2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类 项.
2.复数加减运算的关注点 (1)在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所 得结果依然是一个复数,其对应的实部与虚部分别是 两复数的实部与虚部的差.注意中间用“+”号,如 z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2 =(a-c)-(b-d)i.
复数的差z1-z2与
义
对
向量 OuuZuur1+
uuuur OZ2
=
uuur OZ
应 的坐标对应
向量 OuuZuur1- OuuZuu=r2 Zuu2uZur1的 坐标对应
【自我检测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)两个复数的加法不满足结合律. ( ) (2)复数的加法运算法则只适用于两个复数相 加. ( )
(2)
uuur CA
表示的复数.
世纪金榜导学号
【解题探究】1.典例1中z1,z2,z在复平面内对应的点 可以构成一个什么图形? 提示:由z=z1-z2及复数减法的几何意义知,构成的是 一个三角形.
2.典例2中点O,A,C对应的坐标分别是什么? 提示:分别是(0,0),(3,2),(-2,4).
【解析】1.因为z1=3+2i,z2=1-3i, 所以z=z1-z2=3+2i-(1-3i)=(3-1)+(2+3)i=2+5i. 所以点Z位于复平面内的第一象限. 答案:一
z1,z2∈C,设 OuuZuur1, OuuZuu分r2 别与复数z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且 Ouu,Zuur1 Ou不uZuur2共线
加法
减法
运算 法则
z1+z2 =(a+c)+(b+d)i
z1-z2 =(a-c)+(b-d)i
几的
何坐
意 标 复数的和z1+z2与
3.2 复数的运算 3.2.1 复数的加法与减法
【自我预习】 1.复数的加法、减法 (1)相反数:a+bi的相反数为_-_a_-_b_i_.
(2)运算法则: 设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R. ①运算z1+z2=_(_a_+_c_)_+_(_b_+_d_)_i_,z1-z2=_(_a_-_c_)_+_(_b_-_d_)_i_. ②法则:两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部 与虚部分别_相__加__(_减__)_.
(2)复数中出现字母时,首先要判断其是否为实数,再 确定复数的实部与虚部,最后把实部与虚部分别相加.
【变式训练】
已知z=11-20i,则1-2i-z等于 ( )
A.z-1
B.z+1
C.-10+18i
D.10-18i
【解析】选C.1-2i-z=1-2i-(11-20i)=-10+18i.
【补偿训练】设m∈R,复数z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i). (1)若z为实数,求m的值. (2)若z为纯虚数,求m的值.
uuuur OZ1
和
uuuur OZ2
的终点并指向
_Ou_uZu_ur1 _的__终__点__的__向__量__所对应的复数.
2.复数加法的运算律 (1)交换律:z1+z2=_z_2+_z_1_. (2)结合律:(z1+z2)+z3=_z_1_+_(_z_2_+_z_3)_.
【思考】 (1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? 提示:仍然是个复数,是一个确定的复数.
(2)由于复数可用向量表示,因而可将复数问题转化为 向量问题,利用向量的方法解决复数问题. (3)在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点 为C,O为坐标原点,则四边形OACB:
①为平行四边形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB 为矩形;③若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;④若 |z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. 提醒:复数的加减运算可类比于向量的坐标运算,这样 更易理解.
综上所述,这个平行四边形的第四个顶点对应的复数
为6或-2+12i或2-8i.
类型三 求参数范围 【典例】在复平面内,若复数z=(m2-mi)+(m2i-4m)-6i 所对应的点在第二象限内,则实数m的取值范围为 ________. 世纪金榜导学号
【解题探究】本典例中如何确定复数z对应点的坐标? 提示:应用复数加减法运算法则,将z化为复数的代数 形式,找出它的实部、虚部,写出它对应点的坐标,列 不等式组,求m范围.
(3)几何意义:
设复数z1,z2对应的向量分别为
uuuur OZ1
,
uuuur OZ2
,且
uuuur OZ1
和
uuuur OZ2
不共线,则复数z1+z2是以OZ1,OZ2为邻边的平行四
边形OZ1ZZ2的_对__角__线__O_Z_所__表__示__的__向__量___Ouu_Zur_所对应的复
数,z1-z2是连接向量
有
uuuur Z1Z4
uuuur Z1Z2
uuuur Z1Z3 ,
所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1), z4=(z2+z3)-z1=6.
②当这个平行四边形是以 Zuu1uZur2和为Zuu2uZ一uur3 组邻边时,
有
uuuuur Z2 Z4
uuuur Z2 Z1
uuuuur Z2Z3.
(3)复数与向量一一对应. ( ) (4)虚数不能比较大小,但虚数的模可以比较 大小.( )
提示:(1)×.复数的加减法满足结合律. (2)×.可以推广到多个复数相加. (3)×. 正确说法是:复数z=a+bi与平面向量:
Ouu=Zur (a,b)一一对应. (4)√.任何虚数的模都可以比较大小.
【变式训练】
已知复平面上的▱ABCD中,
uuur AC
对应的复数为6+8i,
uuur BD
对应的复数为-4+6i,求向量
uuur DA
对应的复数.
【解题指南】先画出图形,再结合复数加减法的几何
意义求解.
【解析】如图,在平行四边形ABCD中,
设对角线AC,BD的交点为E,则点E为AC,BD的中点,
巧用向量求复数的和与差
求两个复数的和或差,可以先画出与这两个复数
对应的向量
uuuur uuuur OZ1，OZ2，
(1)如果
uuuur uuuur OZ1，OZ2
不在同一直线上,再以这两个向量为
邻边画平行四边形,那么这个平行四边形的对角线OZ
(2)运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍 成立.实数的移项法则在复数中仍然成立. (3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数. (4)适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算.
(5)虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i 看成一个字母,然后去括号,合并同类项即可.
2.复数加减运算的几何意义
2.(1)(-2+3i)-(5-i)=(-2-5)+(3+1)i=-7+4i. (2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+ (2 013-2 014i)-(2 014-2 015i) =(1-2+3-4+…+2 013-2 014)-(2-3+4-5+…+ 2 014-2 015)i=-1 007+1 007i.
【解析】因为z=(m2-4m)+(m2-m-6)i,
所以
m m
2 2
4m 解0,得0<m<3.
m60
2.(变换条件)若将条件“点在第二象限”改为“点在 x轴负半轴上”,其他条件不变,结果如何?
【解析】因为z=(m2-4m)+(m2-m-6)i,
所以
m2
m
2
4m得 0m, =3.
m60
【方法技巧】
【解题探究】1.典例1中z1+z2∈R,z1+z2的虚部是多少? 提示:z1+z2∈R,则z1+z2的虚部为0.
2.典例2中如何进行多个复数的加减法运算? 提示:多个复数的加减法运算与两个复数的加减运算 法则相同,类似于多项式加减运算合并同类项.
【解析】1.z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(a+1)i∈R, 所以a+1=0,得a=-1. 答案:-1
所以z4-z2=(z1-z2)+(z3-z2).
所以z4=(z1+z3)-z2=-2+12i.
③当这个平行四边形是以 Zuu3uZur1和为uZu3uZu一ur2 组邻边时,
有
uuuuur Z3Z4
uuuur Z3Z1
uuuuur Z3Z2.
所以z4-z3=(z1-z3)+(z2-z3).
所以z4=(z1+z2)-z3=2-8i.
2.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位 于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.z1-z2=(3-4i)-(-2+3i)=5-7i,对应点为 (5,-7),在第四象限.
3.设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点, B,D两点对 应的复数分别是3+2i和2-4i,则点C对应的复数是 __________.
【补偿训练】已知平行四边形的三个顶点分别对应 复数2i,4-4i,2+6i.求第四个顶点对应的复数.
【解析】如图,设这个平行四边形已知的三个顶点
分别为Z1,Z2,Z3,它们对应的复数分别是z1=2i,
z2=4-4i,z3=2+6i,第四个顶点所对应的复数为z4,
则
①当这个平行四边形是以 Zuu1uZur2和uZ为u1uZu一r3 组邻边时,
1 2
类型二 复数加、减法的几何意义 【典例】1.已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2 在复平面内对应的点Z位于复平面内的第__________ 象限.
2.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应
的复数为0,3+2i,-2+4i.求:(1)
uuur AO
表示的复数.
【解析】z=(m2-mi)+(m2i-4m)-6i=(m2-
4m)+(m2-m-6)i,对应点的坐标为Z(m2-4m,m2-m-
6)在第mm二22 象4mm限6,
0,
0,
所以
解得3<m<4.
答案:3<m<4
【延伸探究】 1.(变换条件)若将条件“点在第二象限”改为“点在 第三象限”,其他条件不变结果如何?
(2)若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2? 提示:不能.如2+i-i>0,但2+i与i不能比较大小.
【自我总结】 1.对复数的加减运算法则的五点说明 (1)一种规定:复数的加法法则是一种规定,减法是加法 的逆运算; 特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法 法则一致.
【解题指南】根据复数z为实数及纯虚数的概念,利用 它们的充要条件可分别求出相应的m值.利用概念解题 时,要看准实部与虚部.
【解析】z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.
(1)若z为实数,则m2-3m+2=0,所以m=1或2.
(2)若z为纯虚数,则 2mm2 23m3m解22得0m0. , =- .
2.(1)因为
uuur AO
所OuuAu以r ,
表示AuuOu的r 复数为-3-2i.
(2)因为
uuቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr CA
OuuAur所 Ou以uCur,
表示Cuu的Aur 复数为
(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
【方法技巧】 复数加减法的几何意义在复数运算中的应用
(1)复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四 边形法则、三角形法则有关,因此在求解与平行四边 形、三角形有关的复数问题时,主要应根据复数加、 减运算的几何意义求解计算.
【解析】设AC与BD的交点为E,则E点坐标为(5 ,-1),
2
设点C坐标为(x,y),则x=5,y=-2,故点C对应的复数为 5-2i. 答案:5-2i
类型一 复数的加法、减法运算 【典例】1.已知z1=2+i,z2=3+ai(a∈R)且z1+z2∈R, 则a=______. 2.计算:(1)(-2+3i)-(5-i). (2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2 013-2 014i) -(2 014-2 015i).