离散型随机变量的方法
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人教A版选修2-3 第二章
2.3.1 离散型随机变量的均值
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。 例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水 平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成 绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的 方差。
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y的分布列是什么？ （2） E(Y)=？
X x1 x2 ··· xi ··· xn
问题思考1：随机变量的均值与样本的平均值有何区别？ 提示：随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是 一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样本，但随 着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均 值．
问题思考2：若c为常数，则E(c)为何值？ 提示：由离散型随机变量的均值的性质E(aX＋b)＝aE(X) ＋b可知，若a＝0，则E(b)＝b，即若c为常数，则E(c)＝c.
aE( X ) b
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
E( X ) x1 p1 x2 p2 L xi pi L xn pn
二、数学期望的性质
E(aX b) aE(X ) b
要点 离散型随机变量均值的性质应用
小结：
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
0
P
p
1－p
则 EX 1 p 0(1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续 罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 均
10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元 /kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混 合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X
18
24
36
P
3
2
1
6
6
6
X 18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则E(ξ)= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则E(η)= 5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a
9
10
b
0.2
E(ξ)=7.5,则a= 0.b1= 0.4.
与两点分布、二项分布有关的均值
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不 中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则 他罚球1次的得分X的均值是多少？
2
3
6
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型 随机变量取值的平均水平。
(2)E(X)＝(－2)×
14 ＋(－1)× 13
＋0×
15 ＋1×
1 6
＋2× 210
＝－
17 30.
(3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，
得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－1370－3 ＝－6125.
方法二：由于Y＝2X－3，
所以Y的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
p1
p2 ··· pi
··· pn
X x1
x2 ··· xi ··· xn
Y ax1 b ax2 b ··· axi b ··· axn b
P p1
p2 ··· pi ··· pn
E(Y ) (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
【思路启迪】 解答本题可先由分布列的性质求出m的 值，然后由随机变量的均值计算公式求出相应的期望值，而 对于(3)可以直接利用公式E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3，也可 以先写出Y的分布列，再求E(Y)．
【解】 (1)由随机变量分布列的性质，得 14＋13＋15＋m＋210＝1， 解得m＝16.
P
1 4
1 3
1 5
11 6 20
所以E(Y)＝(－7)×
1 4
＋(－5)×
1 3
＋(－3)×
1 5
＋(－1)×
1 6
＋
1×210＝－6125.
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常 数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b 求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取 值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(η)．
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.32
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2) E( X ) 0 0.33 1 C310.7 0.32 2 C32 0.72 0.3 3 0.73
E( X ) 2.1 3 0.7
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B
（n,p），则 E( X ) np
谢谢观看！ 2020
基础训练：
一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，
从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望
是
3.
一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项 是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作 出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选 对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲 和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的 某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
X 1111222334 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：
X
1
2
3
4
权数
P
4
3
2
1
加
10
10
10
10
权 平
求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布 列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均 值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aX＋b的分 布列，再用定义求解．
已知随机变量X的分布列如下：
X －2 －1 0 1 2
P
1 4
1 3
1 5
m
1 20
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
2.3.1 离散型随机变量的均值
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。 例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水 平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成 绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的 方差。
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y的分布列是什么？ （2） E(Y)=？
X x1 x2 ··· xi ··· xn
问题思考1：随机变量的均值与样本的平均值有何区别？ 提示：随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是 一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样本，但随 着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均 值．
问题思考2：若c为常数，则E(c)为何值？ 提示：由离散型随机变量的均值的性质E(aX＋b)＝aE(X) ＋b可知，若a＝0，则E(b)＝b，即若c为常数，则E(c)＝c.
aE( X ) b
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
E( X ) x1 p1 x2 p2 L xi pi L xn pn
二、数学期望的性质
E(aX b) aE(X ) b
要点 离散型随机变量均值的性质应用
小结：
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
0
P
p
1－p
则 EX 1 p 0(1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续 罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 均
10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元 /kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混 合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X
18
24
36
P
3
2
1
6
6
6
X 18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则E(ξ)= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则E(η)= 5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a
9
10
b
0.2
E(ξ)=7.5,则a= 0.b1= 0.4.
与两点分布、二项分布有关的均值
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不 中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则 他罚球1次的得分X的均值是多少？
2
3
6
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型 随机变量取值的平均水平。
(2)E(X)＝(－2)×
14 ＋(－1)× 13
＋0×
15 ＋1×
1 6
＋2× 210
＝－
17 30.
(3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，
得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－1370－3 ＝－6125.
方法二：由于Y＝2X－3，
所以Y的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
p1
p2 ··· pi
··· pn
X x1
x2 ··· xi ··· xn
Y ax1 b ax2 b ··· axi b ··· axn b
P p1
p2 ··· pi ··· pn
E(Y ) (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
【思路启迪】 解答本题可先由分布列的性质求出m的 值，然后由随机变量的均值计算公式求出相应的期望值，而 对于(3)可以直接利用公式E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3，也可 以先写出Y的分布列，再求E(Y)．
【解】 (1)由随机变量分布列的性质，得 14＋13＋15＋m＋210＝1， 解得m＝16.
P
1 4
1 3
1 5
11 6 20
所以E(Y)＝(－7)×
1 4
＋(－5)×
1 3
＋(－3)×
1 5
＋(－1)×
1 6
＋
1×210＝－6125.
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常 数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b 求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取 值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(η)．
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.32
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2) E( X ) 0 0.33 1 C310.7 0.32 2 C32 0.72 0.3 3 0.73
E( X ) 2.1 3 0.7
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B
（n,p），则 E( X ) np
谢谢观看！ 2020
基础训练：
一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，
从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望
是
3.
一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项 是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作 出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选 对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲 和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的 某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
X 1111222334 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：
X
1
2
3
4
权数
P
4
3
2
1
加
10
10
10
10
权 平
求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布 列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均 值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aX＋b的分 布列，再用定义求解．
已知随机变量X的分布列如下：
X －2 －1 0 1 2
P
1 4
1 3
1 5
m
1 20
(1)求m的值；
(2)求E(X)；