图论--图的基本概念

图论--图的基本概念
1.图：
1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。

注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。

某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。

例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。

从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。

1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是笛卡尔积
V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。

通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。

与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：
（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。

通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。

⽤
V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。

（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。

（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。

1阶零图N1称作平凡图。

平凡图只有⼀个顶点，没有边。

（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。

（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称
作⾮标定图。

（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。

（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。

若两条边⾄少有⼀个公共端点，则称这两条边相邻。

1.3在⽆向图中，如果关联⼀对顶点的⽆向边多余1条，则称这些边为平⾏边，平⾏边的条数称为重数。

在有向图中，如果关联⼀对顶点的有向边多余1条，并且这些边的始点与终点相同（也就是它们的⽅向相同），则称这些边为平⾏边。

含平⾏边的图称作多重图，既不含平⾏边也不含环的图称作简单图。

1.4设G=<V,E>为⽆向图，∀v∈V,称v作为边的端点的次数为v的度数，简称为度，记作dG(v)。

在不发⽣混淆的时候，略去下标G，简记为d(v)。

设D= <V,E>为有向图，∀v∈V，称v作为边的始点的次数为v的出度，⼰作d D+(v)，简记为d+(v)。

称v作为边的终点的次数为v的⼊度，记作d D-(v)，简记为d-(v)。

称d+(v)+d-(v)为v的度数，⼰作d D(v)，简记为d(v)。

注意：在⽆向图中，顶点v上的环以v作2次端点。

在有向图中，顶点v上的环以v作⼀次始点和⼀次终点，共作2次端点。

另外，称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它相关联的边称作悬挂边。

度为偶数（奇数）的顶点称作偶度（奇度）顶点。

1.5设G=<V1,E1>,G2=<V2,E2>为两个⽆向图（两个有向图），若存在双射函数f：V1→V2，使得∀v i,v j∈V1,(v i,v j)∈E1当且仅当
(f(v i),f(v j))∈E2(<v i,v j>∈E1当且仅当<v i,v j>∈E2)，并且(v i,v j)与(f(v i),f(v j))(<v i,v j>与<f(v i),f(v j)>的重数相同，则称G1与G2同构，记作G1≅G2。

注意：≅是等价关系，具有⾃反性、对称性和传递性。

⾄今都没有找到判断两个图是否同构的便于检查的充分必要条件。

显然阶数相同、边数相同、度数列相同等都是必要条件，但都不是充分条件。

1.6（1）设G为n阶⽆向简单图，若G中每个顶点均与其余的n-1个顶点相邻，则称G为n阶⽆向完全图，简称为n阶完全图，记作K n(n≥1)。

（2）设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点均与其余的n-1个顶点相邻，则称D为n阶有向完全图。

（3）设D为n阶有向简单图，若D的基图为n阶⽆向完全图K n，则称D为n阶竞赛图。

1.7设G=<V,E>，G'=<V',E'>为两个图（同为⽆向图或同为有向图），若V'⊆V且E’⊆E，则称G‘为G的⼦图，G为G‘的母图，记作G‘⊆G。

⼜若V'⊂V或E’⊂E，则称G‘为G的真⼦图。

若V'=V，则称G’为G的⽣成⼦图。

设G=<V,E>，V1⊂V且V1≠∅，称以V1为顶点集，以G中两个端点都在V1中的边组成边集E1的图为G的V1导出的⼦图，记作G[V1]。

⼜设E1⊂E且
E1≠∅，称以E1为边集，以E1中边关联的顶点为顶点集V1的图为G的E1导出的⼦图，记作G[E1]。

1.8设G=<V,E>为n阶⽆向简单图，令E*={(u,v)|u∈VΛv∈VΛu≠vΛ(u,v)∉E}，称G*=<V,G*>为G的补图。

若G≅G*，则称G为⾃补图。

2.握⼿定理：
2.1在任何⽆向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍。

2.2在任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍；所有顶点的⼊度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数。

推论：任何图（⽆向图或有向图）中，奇度顶点的个数是偶数。

3.通路与回路：
3.1设G= (P,L)是图，v,v'是G中两点。

如果(1)v0=v,v n=v'(2)v i与v i+1相邻，0≤i≤n。

则由G中点组成的序列(v0,v1,....v n) 称为从v到v'的长度为n的路。

这⾥ v, v'是图G中未必不同的两点，v0,v1,....v n中也允许有重复。

3.2设G = (P,L)是图，如果(1)v0,....v n-1互不相同(2)v1,....v n互不相同。

则(v0,v1,.....v n) 是 G 中从v0到v n的路，称此路为简单路。

显然，⼀条简单通路(v0,v1,.....v n)，除v0与v n可以相同外，其他任意两点都不相同。

3.3设G=(P,L)是图，G中从点v到⾃⾝的长度不⼩千3的简单路，称为回路。

显然，⼀个图G是连通的，当且仅当G中任意两点都是相连的。

参考资料：离散数学第⼆版（屈婉玲）离散数学结构第⼆版（欧阳丹彤）。