1.3 高斯定理

不闭合曲面，电通量的正负与法线n的选取有关
0 2 0 2 0 2
通过封闭曲面的电通量表示为： e E dS
s
规定法线n向外
均匀场强 E n S
S cos
S

n
S cos E e ES cos E S 投影面积
轴对称的电场

例题8求无限长均匀带 电棒外的场强分布

在柱坐标下分析 作平面П1和П2
柱体对П1镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下Eφ分量反向，只有Eφ＝0 柱体对П2镜像反射变换是不变的——场分布也不变
但此变换下Ez分量反向，只有Ez＝0
剩下唯一不可能等于0的分量只有Er 无限长圆柱体具有沿z方向的平移不变性
S S
2
E0
E0

结论：球壳内E=0；球壳外 与点电荷场相同
例题7 均匀带电球体


利用例题6的结果，球外一样 在球内任意取半径为r的Gauss面 注意计算r<R时，高斯面内所包围 的电量为 体电荷 4r 3 q' e 3 1 Q 4 r 2 (r R ) 0 E 1 Qr (r R ) 4 0 R 3

注意选取合适的Gauss面

Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计算 各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。

上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如 求两块无限大带电平面板的场分布 求均匀带电球体内外的场分布 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布 整体不具有对称性，但局部具有对称性的电荷分布的电场， 可以分别求出场强再叠加
闭合曲面不包围点电荷

闭合曲面不包围点电荷 ， dS´与dS所对的立体角
d' d 则电通量也有 ' E E

对于闭合面S’+S，总通量为 E 0

结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的 电通量为零
多个点电荷 被任意闭合曲面包围


设带电体系由n个点电荷组 成 ，其中 k个在闭合面内， n-k个在闭合面外 由场强叠加原理，通过闭合 面的总通量为
e ES
场定义在物理空间上的函数


温度T 温度分布——温度场（标量场） 流速v 流速分布——流速场（矢量场） 电荷产生的场具有什么性质？

期望从不同的角度揭示电场的规律性 通过与流速场类比找到用矢量场论来描述电场
流速场
0 通量 v dS 0 S

0 环流 v d l 0 L
2E1S 2 xS
E1 x
0
| x | d 2
方向：x 0时沿x正向，x 0时沿负向。
(2)平板外
2E2 S d S
d E2 2 0
讨论：


以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、面 对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。 用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
0
点电荷q被 任意曲面包围
ˆ q r dS q dS ' q d E d 2 2 4 0 r 4 0 r 4 0
对整个闭合面S有

4
E d E
S S
q 4 0
d
q 4 0
d
S
q
0

包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于 q 0 2 结果与电力平方反比律分不开 f r

q E E d S EdS dS 2 4 0 r S S S 4r 2 1 q q 1 q dS E r 2 2 4 0 r 4 0 r S 0

1
一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为 q 中心的任意球面的电通量等于

S

上
E cosdS E cosdS E cosdS
下 前 后

E cosdS E cosdS
左 右
前E cosdS 后E cosdS 0 2
E cosdS E cosdS
上 下
S
x d
§3.高斯定理
一 立体角定义 dS ' r 2 sin dd ˆ dS ' r dS d 2 2 (球面度） r r
二. 通量
n E
ds
S:
e E dS E cosdS
s s
S

d e E dS E cosdS
S S S
E E d S E1 d S E k d S E k 1 d S E n d S
S S
1
0
q
S内
i
=0
讨论： Gauss 定理说明




闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只要 S内电荷不为零 ， 则通量不为零——有源 正电荷 —— 喷泉形成的流速场—— 源 负电荷 —— 有洞水池中的流速场——汇 闭合面外的电荷虽然对通量没有贡献，但并不意味着不影响闭合 面上的电场，高斯面上的场强是空间所有带电体所产生的 高斯定理是静电场的一条重要的定理，有其重要的理论地位，是 静电场基本方程之一 ，它是由库仑定律导出的， 反映了电力平 方反比律 ，如果电力平方反比律不满足，则高斯定理也不成立。 但高斯定理只给出了源和通量的关系，并没有反映静电场是有心 力场这一特性，它只反映静电场性质的一个侧面,所以不能说高 斯定理与库仑定律完全等价
球对称的电场

例题6：求均匀带正电球壳 内外的场强，设球壳所带电 量为Q，半径为R
在球坐标下分析：E ( p ) ~ Er， E， E
球壳电荷均匀分布，围绕任一直径都是旋转不 变——场强分布也不变，但旋转时E和E变—— 只有E＝0和E＝0 只有径向分量Er不为零，r相同Er相同——场呈球 对称分布
e S E E d S qi 0 S内 0 S
1
上底
E d S E d S E d S 2ES
下底 侧面
EΔS
e E , 方向如图 2 0


结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大小 与场点到平面的距离无关 图示c板间场强为何？

等r处Er相等——轴对称性
设棒上线电荷密度为+e

作高斯面——以细棒为对称轴的圆柱（l长） 求出通过Gauss面的通量
el E E d S qi 0 S内 0 S
1
上底
E d S E d S E d S 2rlE
E1 cos1 S 2 or：－ ＝ E2 cos 2 S1

E1 S 2 ＝ E2 S1
电场线起始于正电荷或无穷 远，止于负电荷或无穷远
Gauss定理应用列举

定理反映了静电场的性质——有源场 提供求带电体周围的电场强度的方法

球对称的电场 轴对称的电场 无限大带电平面的电场
有源（或汇）、有旋 、两者兼而有之 类比：流线——电力线 流量——电通量
三 高斯定理
E E d S
通过任意 闭合曲面 的电通量
S
Gauss 面 上 的场 强 ， 是 所有电荷产生的场
面内电量的代 数和，与面外 电荷无关
1
0
q
S内
i
Gauss 面
证明： 从特殊到一般
点电荷q被任意球面包围 设q >0，场具有球对称性

根据场的对称性做高斯面 求出通过Gauss面的通量 1 Q r R E E d S qi 0 S内 0 S Q 2 EdS E dS 4r E E 4 0 r 2 S S

rR
EdS E dS 4r
通过不包含电荷的任意闭合曲面S电通量恒为零
S
E
电力线不会在没有电荷的 地方中断,穿入S电力线 必定从其它地方穿出去
七 从Gauss定理看电场线的性质
一束电场线围成的管状区域叫电场管 电场管各截面的电通量相同

电场线疏的地方场强wenku.baidu.com，密的 地方场强大
E E1 cos1S1 E2 cos 2 S2 0(管内无电荷 ）
如图，一点电荷q位于立方体的A角上，则通过abcd面
的E通量 e 是多少。 作7个体积相同的立方体，
使A点位于一个大立方体的正中。 点电荷q位于立方体中 心，则通过每一侧面的通量都为总通量 q 1 e 的 。 0 6
a
d
所以通过abcd的通量为
q 24 0
A
b
c
计算无限大均匀带电平板（厚度为d）的电场。 (1)平板内 E cosdS E cosdS
下底 侧面
1 e E 2 0 r
E⊥dS
E 是常数
无限大带电平面的电场


设带电板的面电荷密度为 +e 对称性分析



在直角坐标下分析 对yz平面，镜像反射变换不 变,场也不变 ——Ex=0 对zx平面镜像反射变换不变，无限大平面自身具有平 移不变性， Ez与场点的 场也不变 坐标无关 ——Ey=0 只有Ez不为零，