初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题五(含答案) (62)

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题五
（含答案）
如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE=DF．求证：
∠BAE=∠DCF．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
要证明∠BAE=∠DCF，可以通过证明∠ABE∠∠CDF，由已知条件BE=DF，∠ABE=∠CDF，AB=CD得来．
【详解】
解：∠四边形ABCD是平行四边形
∠AB∠CD，AB＝CD
∠∠ABE＝∠CDF
∠BE＝DF
∠∠ABE C∠∠CDF
∠∠BAE＝∠DCF
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，该题较为简单，是常考题，主要考查学生对全等三角形的性质和判定以及平行四边形性质的应用．
102．如图，在菱形ABCD中，∠ABC+∠ADC=120°，将一透明三角板
60°角的顶点落在点A 上，并绕着点A 旋转，三角板的两边分别交BC 、CD 于点E 、F ．
（1）如图1，求∠BAD 的度数；
（2）如图2，求证：BE +DF =AB ；
（3）如图3，在（2）的条件下，取AB 中点G ，作等边△EGH ，连接AH ，延长GH 刚好与平行四边形ABCD 交于点D ，若AH ⊥AB ，△EGH 的面积为
DH 的长．
【答案】（1）120° （2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】
（1）根据菱形和平行线的性质可得180ABC ADC ABC BAD =+=︒∠∠，∠∠，再根据120ABC ADC ∠+∠=︒，可得60ABC ADC ∠=∠=︒，即可求出BAD ∠的度数；
（2）连接AC ，根据菱形的性质和三角板的性质可得△ACD 和△ABC 是等边三角形，即可证明ACE ADF ≌，可得CE DF =，即可得证BE DF AB +=；；
（3）延长AH 与CD 交于点O ，连接AC 、OG ，通过证明四边形AGOD
是平行四边形，可得GH HD =，再根据勾股定理求出GH 的长度即可．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是菱形
∠180ABC ADC ABC BAD =+=︒∠∠，∠∠
∵120ABC ADC ∠+∠=︒
∴60ABC ADC ∠=∠=︒
∴180120BAD ABC =︒-=︒∠∠；
（2）连接AC
根据三角板的性质得60EAF ∠=︒
∵四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒
∴,60AD CD ADC ==︒∠
∴△ACD 和△ABC 是等边三角形
∴,60AC AD AB BC CD ACB ADC CAD =======︒∠∠∠
∴EAC DAF ∠=∠
在△ACE 和∠ADF 中
EAC DAF AC AD
ACB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴ACE ADF ≌
∴CE DF =
∴BE DF BE CE BC AB +=+==
∴BE DF AB +=；
（3）延长AH 与CD 交于点O ，连接AC 、OG
∵AH AB ⊥
∴90BAH =︒∠
∴30DAH BAD BAH =-=︒∠∠∠
∴30CAH CAD DAH =-=︒∠∠∠
∴30CAH DAH ==︒∠∠
∵四边形ABCD 是菱形
∴120BAD ∠=︒
∴△ACD 是等边三角形
∴OC OD =
∵G 是AB 的中点 ∴1122
AG AB CD OD === ∴四边形AGOD 是平行四边形
∴GH 、HD 是平行四边形AGOD 的对角线
∴GH HD =
∵△EGH 是等边三角形，△EGH 的面积为
∴12EGH S GH =⨯=△解得GH =
∴HD GH
==．
【点睛】
本题考查了菱形与三角板的问题，掌握菱形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、等边三角形的性质以及判定定理、平行四边形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
103．如图，已知四边形AECF是平行四边形，D，B分别在AF，CE的延长线上，连接AB，CD，且∠B=∠D．
求证：（1）∠ABE∠∠CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到∠AEC=∠AFC，AE=CF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得到AB=CD，BE=DF，根据平行四边形的判定定理
即可得到结论．
【详解】
证明：（1）∠四边形AECF 是平行四边形，
∠∠AEC =∠AFC ，AE =CF ，AF =CE ，
∠∠AEC +∠AEB =180°，∠AFC +∠CFD =180°，
∠∠AEB =∠CFD ，
在∠ABE 和∠CDF 中，
B D AEB CFD AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∠∠ABE ∠∠CDF (AAS )；
（2）由（1）知∠ABE ∠∠CDF
可得：AB =CD ，BE =DF ．
∠AF =CE ，
∠AF +DF =CE +BE ，
∠AF +DF =CE +BE ，
即AD =BC ，
∠四边形ABCD 是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
104．如图1，在矩形纸片ABCD 中，12AB cm =，20AD cm =，折叠纸片
使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作//EF AB 交PQ 于F ，连接BF ．
图1 图2
（1）求证：四边形BFEP 为菱形；
（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动；
①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；
②若限定P ，Q 分别在边BA ，BC 上移动，则点E 在边AD 上移动的最大距离是_______．
【答案】（1）见解析；（2）①203
EP cm =
；②点E 在边AD 上移动的最大距离为8cm
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质得出PB PE =，BF EF =，BPF EPF ∠=∠，由平行线的性质得出BPF EFP ∠=∠，证出EPF EFP ∠=∠，得出EP EF =，因此
BP BF EF EP ===，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出20BC AD cm ==，12CD AB cm ==，90A D ∠=∠=︒，由对称的性质得出20CE BC cm ==，在Rt CDE ∆中，由勾股定理求出16DE cm =，得出4AE AD DE cm =-=；在Rt APE ∆中，由勾股定理得出方程，解方程得出203
EP cm =即可； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时4AE cm =；当点P
与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，12AE AB cm ==，
124=8cm -即可得出答案．
【详解】
（1）证明：折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，
∴点B 与点E 关于PQ 对称，
PB PE ∴=，BF EF =，BPF EPF ∠=∠．
又//EF AB ，
BPF EFP ∴∠=∠，EPF EFP ∴∠=∠，
EP EF ∴=，BP BF EF EP ∴===，
∴四边形BFEP 为菱形．
（2）解：①四边形ABCD 是矩形，
20BC AD ∴==，12CD AB ==，90A D ∠=∠=︒．
点B 与点E 关于PQ 对称，
20CE BC ∴==．
在Rt CDE ∆中，
16DE ==，
20164AE AD DE ∴=-=-=．
在Rt APE ∆中，
4AE =，1212AP PB PE =-=-，
2224(12)EP EP ∴=+-． 解得，203
EP cm =． ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，如图2，由①知，此时4AE =．
当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，如下图：此时四边形ABQE 为正方形，12AE AB ==，
∴点E 在边AD 上移动的最大距离为124=8cm -．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定的难度．
105．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝12，∠BAC ＝130°，AB 的垂直平分线交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ．
(1)求△AEN 的周长；(2)求∠EAN 的度数；(3)判断△AEN 的形状．
【答案】（1）12；（2）80°；（3）∠AEN 是等腰三角形.
【解析】
分析：（1）根据题意，利用线段垂直平分线性质得到AE =BE ，AN =CN ，等量代换即可确定出三角形AEN 周长；
（2）由等边对等角，以及三角形内角和定理求出所求角度数即可；
（3）通过证明△ABE≌△CAN．得到AE=AN，且∠EAN=80°，即可确定出△AEN的形状．
详解：（1）∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，
∴AE=BE，AN=CN．
∴△AEN的周长=AE+EN+AN=BE+EN+CN=BC=12．
（2）∵AB=AC，∠BAC＝130°，
∴∠B=∠C=25°．
∵AE=BE，AN=CN，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
∴∠BAE=∠CAN=25°．
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=130°-25°-25°=80°．
（3）∵∠BAE=∠CAN=25°，∠ABE=∠CAN=25°，AB=AC，
∴△ABE≌△CAN．
∴AE=AN，且∠EAN=80°．
∴△AEN是等腰三角形．
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
106．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E 是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是？
【答案】
【解析】
【分析】
根据E是AB边的中点，F是AC边的中点可以得到EF为三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的长；根据对称点的性质，当点D与点C重合是，此时△EFD的周长最短，根据三角形斜边的中线等于斜边的一半求得ED的长和CD 的长后即可求得周长的最小值．
【详解】
作点F关于BC的对称点G，连接EG，交BC于D点，D点即为所求，
∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∵BC=2，
∴EF= 1
2
BC=1
2
×2=1；
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠EFG=∠C=90°，
又∵∠ABC=60°，BC=2，
=
∴
【点睛】
本题考查了三角形的中位线的性质及最短路径问题，解题的关键是根据题意找到点D位于哪一位置时三角形的周长最短．
107．（本题满分10分）如图，将□ABCD沿过点A的直线折叠，使点D 落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若BE平分∠ABC，求证：
【答案】见解析
【解析】
试题分析：（1）根据翻折变换的性质以及平行线的性质得出
∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，然后根据平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（2）根据平行线的性质利用勾股定理得出答案．
试题解析：（1）∠将∠ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上
的点D′处，
∠∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∠DE∠AD′，∠∠DEA=∠EAD′，∠∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∠∠DAD′=∠DED′，∠四边形DAD′E是平行四边形，∠DE=AD′，
∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB DC，∠CE D′B，∠四边形BCED′是平行四边形；
（2）∠BE平分∠ABC，∠∠CBE=∠EBA，
∠AD∠BC，∠∠DAB+∠CBA=180°，
∠∠DAE=∠BAE，∠∠EAB+∠EBA=90°，∠∠AEB=90°，∠AB2=AE2+BE2．
考点：1.平行四边形的判定与性质2.勾股定理
108．如图，在□ABCD中，∠B＝60°．
（1）作∠A的角平分线与边BC交于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：△ABE是等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）作∠A的角平分线与边BC交于点E即可；
（2）根据平行四边形的性质即可证明∠ABE是等边三角形．
【详解】
解：（1）如图
（2）如图，∠四边形ABCD是平行四边形，
∠//
AD BC，
∠∠1＝∠2．
∠AE平分∠BAD，
∠∠1＝∠3，
∠∠2＝∠3，
∠AB＝EB．
∠∠B＝60°，
∠∠ABE是等边三角形．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图、等边三角形的判定、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握以上知识．
109．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠（F 在CD 边上），点D 落在BC 边上的点E 处，过点E 作EG CD 交AF 于点G ，连接DG ．
（1）求证：四边形EFDG 是菱形；
（2）若点G 恰好是AF 的中点，且3AB =，求四边形EFDG 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接DE ，与AF 交于点O ，根据折叠的性质证明Rt FDO Rt GEO ≌△△，因此OF OG =，即可证明结论；
（2）先证明DGF △是等边三角形，再利用勾股定理得出AD 、DF 的值，再计算面积即可．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接DE ，与AF 交于点O ，
由折叠（轴对称）性质得：DE AF ⊥，OD OE =，
∵EG CD ，∴ODF OEG ∠=∠，
∴Rt FDO Rt GEO ≌△△，
∴OF OG =，
∴四边形EFDG 是菱形；
（2）∵点G 是AF 的中点，且AF 是Rt AFD 的斜边，
∴DG AG FG ==，
又四边形EFDG 是菱形，
∴DG DF =，
∴DGF △是等边三角形，
∴60AFD ∠=︒，
又90BAD ADC ∠=∠=︒，
∴30BAE EAF FAD ∠=∠=∠=︒，
∵在Rt AEB 中，3AB =，2AE BE =，
∴由勾股定理求得：BE =，AE =
∴AD AE ==
∴在Rt AFD 中，由勾股定理求得：2DF GF ==，
又ADE 是等边三角形，
∴DE AD ==，
则菱形EFDG 的面积为：2
12⨯= 【点睛】
本题考查的知识点是正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定及性质、菱形的判定、勾股定理、等边三角形的判定及性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
110．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，以OD ，CD 为邻边作
平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE．
（1）求证：F为BC中点．
（2）若OB⊥AC，OF＝1，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）见解析；（2）平行四边形ABCD的周长为8．
【解析】
【分析】
（1）先证明OB=OD，再证得EC//OD，EC=OD，进而得到OB//EC，OB=EC，说明四边形OBEC为平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明；
（2）先证明四边形ABCD平行四边形，再证明平行四边形DOEC是矩形，求得BC，即可求得菱形ABCD的周长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵四边形DOEC为平行四边形，
∴OD∥EC，OD＝EC，
∴EC∥OB，EC＝OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
∴BF＝CF，即F为BC中点；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，OB⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵四边形OBEC为平行四边形，OB⊥AC，
∴四边形OBEC为矩形，
∴BC＝OE＝2OF，
∵OF＝1，
∴BC＝2，
∴平行四边形ABCD的周长＝4BC＝8．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、矩形的性质与判定等知识，综合应用所学的性质和判定是解答本题的关键．。