2020-2021学年北京市石景山区八年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京市石景山区八年级（下）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1.在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,3)关于原点对称的点的坐标为()
A. (−2,−3)
B. (2,−3)
C. (2,3)
D. (−2,3)
2.下列标识中是中心对称图形的是()
A. B.
C. D.
3.已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
4.如图，小山为了测量某湖两岸A，B两点间的距离，先在
AB外选定一点C，然后测量得到CA，CB的中点D，E，
且DE=8m，从而计算出A，B两点间的距离是()
A. 8m
B. 12m
C. 16m
D. 20m
5.不解方程，判断关于x的一元二次方程x2+ax−1=0的根的情况为()
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
6.如图是某动物园的示意图，若分别以正东、正北方
向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示
狮虎山的点的坐标为(0,1)，表示熊猫馆的点的坐标
为(2.5,−0.5)，则表示百鸟园的点的坐标为()
A. (−2,−1)
B. (−1,−2)
C. (2,−1)
D. (−1,2)
7.在下列关于变量x，y的关系式中，能够表示y是x的函数关系的是()
A. y2=x
B. y=±√x
C. y=x
D. |y|=x
8.在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为AD边上任意
两个不重合的动点(不与端点重合)，EO的延长线与BC
交于点F，MO的延长线与BC交于点N．
下面四个推断：
①EF=MN；
②EN//MF；
③若▱ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；
④对于任意的▱ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．
其中，所有正确的有()
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9.函数y=2x
的自变量x的取值范围是______．
x−3
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，
AC=6，BC=8，则CD=______ ．
11.如图，请给矩形ABCD添加一个条件，使它成为正方形，则
此条件可以为______ ．
12.如图，在▱ABCD中，∠A=70°，DB=DC，CE⊥BD于E，则∠BCE=______ ．
13.已知一次函数y=(k−3)x+1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是______ ．
14.关于x的一元二次方程x2−x+a−2=0的一个根为1，则a的值为______ ．
15.平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当
k>0且b<0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y=
kx+b图象上的点为______ ．
16.为庆祝中国共产党建党100周年，某高校组织党史知识竞赛.根据小明、小刚5次预
赛成绩绘制成统计图．
下面有四个推断：
①小明、小刚5次成绩的平均数相同
②与小刚相比，小明5次成绩的极差大
③与小刚相比，小明5次成绩的方差小
④与小明相比，小刚的成绩比较稳定
其中，所有合理推断的序号是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）
17.下面是小阳设计的作矩形的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC，∠ABC=90°．
求作：矩形ABCD．
作法：
①以A为圆心，BC的长为半径画弧，再以C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧
交于点D；
②连接DA，DC．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小阳设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是______ ．
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形______ ．
18.选择适当的方法解方程：x2−8x+5=0．
19.已知：如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且∠1=∠2．
求证：AE=CF．
20.一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=−3x的图象平行，且过点(2,−4)．
(1)求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)画出一次函数y=kx+b的图象；
(3)结合图象解答下列问题：
①当y<0时，x的取值范围是______ ；
②当0<x<2时，y的取值范围是______ ．
21.关于x的一元二次方程mx2−3x+2=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求此时方程的根．
22.袁隆平是我国研究与发展杂交水稻的开创者，被誉为“杂交水稻之父”，成功选育
了世界上第一个实用高产杂交水稻品种.某农业基地现有杂交水稻种植面积20公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至24.2公顷，求该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率．
23.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过
点B作BF⊥AE于点H，交AD于点F，连接EF．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)连接CF，若CE=1，CF=2，AB=√5，求菱形ABEF的面积．
24.某校为了解初二年级学生的身高情况，从中随机抽取了40名学生的身高数据，并
对数据进行整理、描述和分析.给出了部分信息．
a.40名学生身高的频数分布表和频数分布直方图；
40名学生身高的频数分布表(表1)：
身高x(cm)频数频率
150≤x<15540.100
155≤x<160a0.300
160≤x<16570.175
165≤x<170b m
170≤x<17580.200
175≤x<18020.050
合计40 1.000
b.40名学生身高在160≤x<165这一组的数据如表(表2)所示：
身高(cm)160161162163164频数10123
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表1中a的值为______ ；
(2)补全该校40名学生身高频数分布直方图；
(3)样本数据的中位数是______ ；
(4)若该校初二年级共400名学生，估计身高不低于165cm的学生有______ 人.
x交于点P(2,m)．25.平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=2x+b与直线l2：y=1
2
(1)求m，b的值；
(2)直线x=n(n≠0)与直线l1，l2分别交于M，N两点，当MN=3时，若以M，N，
P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
26.小明从学校出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆，小明出发的同时，同学小阳
以每分钟80米的速度从图书馆沿同一条道路步行回学校，两人离学校的路程y(单位：米)与时间x(单位：分钟)的函数图象如图所示．
(1)阅读分析题目的文字及图象信息，直接写出能推理得到的三条不同的结论；
(2)若小明在图书馆停留5分钟后沿原路按原速返回，请补全小明离学校的路程y
与x的函数图象；
(3)小明从学校出发，经过多长时间在返校途中追上小阳？
27.已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且CE<BC，连接DE.点
F与点E关于直线DC对称，过点F作FH⊥DE于点H，直线FH与直线DB交于点M．
(1)依题意补全图1；
(2)若∠EDC=α，请直接写出∠DMF=______ (用含α的式子表示)；
(3)用等式表示BM与CF的数量关系，并证明．
28.对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ与点R，给出如下定义：若PR=PQ，则称
点R为线段PQ的“P−等长点”．
如图1，已知点A(1,0)，B(0,2)．
(1)在点R1(2,0)，R2(−1,0)，R3(1,−1)中，线段AO的“A−等长点”为______ ；
(2)若直线y=x+b上存在线段BO的“B−等长点”，求b的取值范围；
(3)连接AB，
①若第一象限内的点R是线段BA的“B−等长点”，且△ABR是直角三角形，则
点R的坐标为______ ；
②矩形CDEF中，DE=2，C(t,1)，D(t+1,1)，若矩形CDEF上存在线段BA的
“B−等长点”，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：点A(−2,3)关于原点对称的点坐标是(2,−3)，
故选：B．
两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点(a,b)关于原点对称的点是(−a,−b)．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】D
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为(n−2)⋅180°，多边形的外角和为360°，
∴(n−2)⋅180°=360°×2，
解得n=6．
∴此多边形的边数为6．
故选：D．
求出边数
本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记．
4.【答案】C
【解析】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
AB，
∴DE=1
2
∵DE=8m，
∴AB=16(m)，
即A、B两点间的距离是16m，
故选：C．
AB，再代入求出答案即可．
连接AB，根据三角形的中位线性质得出DE=1
2
AB是解此题本题考查了三角形的中位线性质，能根据三角形的中位线性质得出DE=1
2
的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5.【答案】A
【解析】解：∵x2+ax−1=0，
∴Δ=a2−4×1×(−1)=a2+4，
∵不论a为何值，a2+4>0，
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
先求出Δ=a2−4×1×(−1)=a2+4，在根据根的判别式的内容得出选项即可．
两个不相等的实数根，②当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ= b2−4ac<0时，方程没有实数根．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示：百鸟园的点的坐标为(−2,−1)．
故选：A．
直接利用狮虎山的点坐标得出原点位置，进而建立平面
直角坐标系，得出百鸟园的点的坐标．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解
题关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、y2=x，给一个x的值，可能是会有两个y的值与其对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
B、y=±√x，给一个x的值，可能是会有两个y的值与其对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
C、y=x，对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与其对应，所以y是x的函数，故此选项符合题意；
D、|y|=x，对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，所以y不是x的函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据对于x的每一个确定的值，y是否有唯一的值与其对应进行判断．
本题考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接EN，MF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠EAC=∠FCA，
在△EAO和△FCO中，
{∠EAC=∠FCA AO=CO
∠AOE=∠COF
，
∴△EAO≌△FCO(ASA)，
∴EO=FO，
同理可得OM=ON，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∴EN//MF，EF与MN不一定相等，故①错误，②正确，
若四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点E，M为AD边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)，
∴∠EOM<∠AOD=90°，
∴不存在四边形ENFM是菱形，故③错误，
当EO=OM时，则EF=MN，
又∵四边形ENFM是平行四边形，
∴四边形ENFM是矩形，故④正确，
故选：D．
由“ASA”可证△EAO≌△FCO，可得△EAO≌△FCO，可证四边形EMFN是平行四边形，可得EN//MF，EF与MN不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确，即可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形ENFM是菱形是解题的关键．
【解析】解：根据题意得：x−3≠0，
解得：x≠3．
故答案是：x≠3．
根据分式有意义的条件：分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查了求函数中自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10.【答案】5
【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，
∵点D是斜边AB的中点，
AB=5．
∴CD=1
2
故答案为：5．
直接利用勾股定理得出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案即可．
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
11.【答案】AB=BC(答案不唯一)
【解析】解：添加的条件可以是AB=BC.理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB=BC(答案不唯一)．
根据正方形的判定添加条件即可．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=70°，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠BCD=70°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE=20°．
故答案为：20°．
由平行四边形ABCD中，易得∠BCD=∠A=70°，又因为DB=DC，所以∠DBC=
∠DCB=70°；再根据CE⊥BD，可得∠BCE=20°．
此题主要考查了是平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
13.【答案】k<3
【解析】解：∵一次函数y=(k−3)x+1中y随x的增大而减小，
∴k−3<0，
解得，k<3；
故答案是：k<3．
根据已知条件“一次函数y=(k−3)x+1中y随x的增大而减小”知，k−3<0，然后解关于k的不等式即可．
本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在y=kx+b 中，k>0时y随x的增大而增大，当k<0时y随x的增大而减小．
14.【答案】2
【解析】解：把x=1代入一元二次方程x2−x+a−2=0得1−1+a−2=0，
所以a=2．
故答案为：2．
把x=1代入一元二次方程x2−x+a−2=0即可得到a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
次方程的解．
15.【答案】D
【解析】解：∵k>0且b<0，
∴图象过一、三、四象限，
∵D点在第二象限，
故答案为：D．
根据一次函数性质解答即可．
本题考查了图象上的点的坐标特征，掌握图象过哪些象限是解题的关键．
16.【答案】①③
=94(分)，
【解析】解：小明5次预赛成绩的平均数为：92+94+100+91+93
5
极差为：100−91=9(分)，
[(92−94)2+(94−94)2+(100−94)2+(91−94)2+(93−94)2]=10，方差为：1
5
=94(分)，
小刚5次预赛成绩的平均数为：88+100+93+98+91
5
极差为：100−88=12(分)，
[(88−94)2+(100−94)2+(93−94)2+(98−94)2+(91−94)2]=19.6，方差为：1
5
因此①正确；②不正确；③正确；④小明的方差较小，其成绩比较稳定，因此④不正确；
所以正确的有：①③，
故答案为：①③．
分别求出小刚和小明的平均数、方差、极差后进行判断即可．
本题考查平均数，极差、方差，理解平均数、极差、方差的意义，掌握平均数、极差、方差的计算方法是正确判断的前提．
17.【答案】平行四边形(有一个内角为直角的平行四边形为矩形)
【解析】解：(1)如图，矩形ABCD为所作；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形(有一个内角为直角的平行四边形为矩形)．
故答案为平行四边形；有一个内角为直角的平行四边形为矩形．
(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)利用作法先证明四边形ABCD是平行四边形，然后利用∠B=90°可判断四边形ABCD 是矩形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与性质．
18.【答案】解：x2−8x+5=0，
x2−8x=−5，
x2−8x+16=−5+16，
(x−4)2=11，
开方，得x−4=±√11，
解得：x1=4+√11，x2=4−√11．
【解析】先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出两个方程的解即可．本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠2，
∴AE//CF，
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【解析】先由平行四边形的对边平行得出AD//BC，再根据平行线的性质得到∠DAE=∠1，而∠1=∠2，于是∠DAE=∠2，根据平行线的判定得到AE//CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE=CF．
本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，难度适中．证明出AE//CF 是解题的关键．
20.【答案】x>2
−4<y<2
3
【解析】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象
与正比例函数y=−3x的图象平行，
∴k=−3，
∴y=−3x+b，
把点(2,−4)代入y=−3x+b得−6+b=−4，
解得b=2，
∴一次函数y=kx+b的表达式为：y=−3x+2；
(2)令x=0时，y=2，过(0,2)，(2,−4)作直线，
即为一次函数y=kx+b的图象，如图；
(3)由图像可知：
①当y<0时，x>2
；
3
②当0<x<2时，−4<y<2；
；−4<y<2．
故答案为：x>2
3
(1)根据两条直线相交或平行问题由一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=−3x 的图象平行得到k=−3，然后把点(2,−4)代入一次函数解析式可求出b的值；
(3)根据函数图像中的信息即可得到结论．
本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
21.【答案】解：(1)根据题意得m≠0且△=(−3)2−4m×2≥0，
且m≠0；
解得m≤9
8
(2)∵m≤9
且m≠0，m为正整数，
8
∴m=1，
∴原方程化为x2−3x+2=0，
即(x−1)(x−2)=0，
∴x−1=0或x−2=0，
∴x1=1，x2=2．
【解析】(1)先根据判别式的意义得到△=(−3)2−4m×2≥0，然后解不等式即可；(2)先确定m=1，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了解一元二次方程．
22.【答案】解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，
依题意，得：20(1+x)2=24.2，
解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不合题意，舍去)．
答：该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率10%．
【解析】设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至24.2公顷，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAF=∠EAB，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=∠FBE，∠AFB=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴AF=BE，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
(2)连接CF，
CE=1，CF=2，AB=√5，
∵AB=EF=√5，
CE2+CF2=EF2，
∴CF⊥BC，
∴菱形ABEF的面积=√5×2=2√5．
【解析】(1)先证明△ABE是等腰三角形，再证明△ABF是等腰三角形，得出平行四边形ABEF，由此即可解决问题．
本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，通过等量代换推出角相等推出等腰三角形是解决问题的关键．
24.【答案】12 163.5cm170
【解析】解：(1)a=40×0.3=12，
故答案为：12；
(2)b=40−(4+12+7+8+2)=7，
补全图形如下：
(3)由题意知，第20、21个数据分别为163、164，
=163.5(cm)，
所以样本数据的中位数是163+164
2
故答案为：163.5cm；
=170(人)，
(4)估计身高不低于165cm的学生有400×7+8+2
40
故答案为：170．
(1)根据频数=样本容量×频率求解即可；
(2)先根据频数之和等于样本容量求出b的值，从而补全图形；
(3)找到这组数据的第20、21个数据，求平均数即可得出答案；
(4)总人数乘以样本中身高不低于165cm的学生人数所占比例．
本题考查了频数分布直方图、频率分布表等知识，要具有读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
x得m=1，
25.【答案】解：(1)将P(2,m)代入y=1
2
∴点P坐标为(2,1)，
再将(2,1)代入y=2x+b得1=4+b，
解得b=−3，
∴m=1，b=−3．
(2)由(1)知：直线l1为y=2x−3，
n|，
∴x=n时，MN=|2n−3−1
2
n|=3，
∴|2n−3−1
2
解得n=4或n=0(由已知n≠0，舍去)，
∴M(4,5)，N(4,2)，
以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，如图：
当MN为对角线时，将线段PN相上平移2个单位，再向右平移4个单位，可得Q1(6,6)，当MN、PN为边时，将线段MN向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得Q2(2,4)，当MN为边，PN为对角线时，将MN向下平移2个单位，再向下平移4个单位，可得Q3(2,−2)；
综上所述，以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则Q的坐标为：(6,6)或(2,4)或(2,−2)．
x求出m，再将点坐标代入y=2x+b求解．
【解析】(1)先将点P坐标代入y=1
2
n|=3，解得n=4或n=0(由已知n≠0，舍去)，可得M(4,5)，N(4,2)，(2)由|2n−3−1
2
以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，分别画出图形，由平移的性质即可得Q 得坐标．
本题考查一次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握平行四边形的判定及平移的性质．
26.【答案】解：(1)由题意可知，①小明出发10分钟后到达图书馆；②点C的横坐标为：2400÷80=30；③小明骑行的速度为：2400÷10=240(米/分)；
(2)由题意可知，小明在15分钟时返回，在25分钟到达，补全小明离学校的路程y与x 的函数图象如下：
(3)根据题意，得240(x−15)=80x，
解得x=22.5，
22.5−15=7.5(分钟)，
答：小明从学校出发，经过7.5分钟在返校途中追上小阳．
【解析】(1)根据图象解答即可；
(2)根据题意可知，小明在15分钟时返回，在25分钟到达，据此可得相应的图象；
(3)根据题意列方程解答即可．
本题考查一次函数的应用、待定系数法、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会构建一次函数或方程解决问题，属于中考常考题型．
27.【答案】45°−α
【解析】解：(1)补全图形如图1，
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，
∵FH⊥DE，
∴∠MHD=90°，
∴∠DMF+∠MDH=90°，
∴∠DMF+∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠DMF+45°+α=90°，
∴∠DMF=45°−α．
故答案为45°−α．
(3)BM与CF的数量关系为BM=√2CF．
证明：如图2，在CD上取点G，使得CG=CE，连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BDC=45°，∠DCB=90°，BC=DC，
∵CG=CE，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∴∠DGE=∠MBF=135°，
∴BF=GD，
∵点F与点E关于直线DC对称，
∴CF=CE=CG，且点F在BC上，
∵MH⊥DE于点H，
∴∠MHD=∠BCD=90°，
∴∠BFM=∠HFE=∠CDE，
∴△BMF≌△GED(ASA)，
∴MB=EG，
∵GE=√2CE=√2CF，
∴BM=√2CF．
(1)由题意补全图形即可；
(2)由正方形的性质得出∠BDC=45°，由直角三角形的性质可得出答案；
(3)在CD上取点G，使得CG=CE，连接GE，由正方形的性质得出∠DBC=∠BDC=45°，∠DCB=90°，BC=DC，证明△BMF≌△GED(ASA)，由全等三角形的性质得出MB=EG，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等
的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
28.【答案】R1，R3(2,3)
【解析】解：(1)由题知，OA=1，
∵点R1(2,0)，R2(−1,0)，R3(1,−1)，
∴AR1=1，AR2=2，AR3=1，
∴线段AO的“A−等长点”为R1、R3，
故答案为：R1，R3；
(2)如图1，过点B作直线y=x+b的垂线，
垂足为H，
设直线与x轴的交点为M，与y轴的交点
为N，
∴M(−b,0)，N(0,b)，
∴OM=ON，
∴∠BNM=45°，
当BH=BO=2时，BN=2√2，
(Ⅰ)若b<2，则b=2−2√2，
(Ⅱ)若b>2，则b=2+2√2，
∴2−2√2<b<2+2√2；
(3)①如图2，
∵R在第一象限内，且△ABR是直角三角形，
即将AB绕B点逆时针旋转90°得到BR，
由图象可知，R(2,3)，
故答案为：(2,3)；
②如图3，
(Ⅰ)当矩形CDEF在AB左侧时，
作BH⊥DE于H，
由题知BH=AB=√5，
∴此时t的最小值为−√5−1，
(Ⅱ)当矩形CDEF在AB右侧时，
同理可得t的最大值为√5，
∴t的取值范围为：−√5−1<t<√5．
(1)根据题意，分别求出AR1，AR2，AR3的长度判断即可；
(2)过点B作直线y=x+b的垂线，垂足为H，设直线与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，结合图象分类讨论b的取值即可；
(3)①由题知R在第一象限内，且△ABR是直角三角形，也就是将AB绕B点逆时针旋转90°得到BR，由图象可知R点坐标；
②根据图象得出t的临界值，进而求得t的取值范围．
本题主要考查一次函数和坐标系的知识，正确理解“P−等长点”的概念是解题的关键．。