求两线圈的互感系数

M
21
I1

12
I2
21
i1
M
21
d I1 /d t

12
d I 2 /d t
例1 长为 l、横截面积为 S 的长直螺线管，插有 磁 导率为 的磁介质，绕有N1匝线圈，在螺线 管中部再绕上N2匝线圈，求两线圈的互感系数。 解： 设线圈 1 中的电流为 i1
21 N 2 B1S
自感系数也可以写为 L
L
dI / dt
自感一般由实验测定，简单情况可以计算。 计算思路: 设i B L
例1. 已知:长直螺线管的 l、 S、 n、.. 求：自感 L. 【解】 设电流 i
nB=ni NhomakorabeaS
i
l
=N =NBS =N n i S (l / l) = n2i Sl
i1
21 MI1
M 称为两线圈的互感（系数）
它取决于两线圈的形状、大小、匝数、相对位置 以及周围磁介质的分布情况，它与电流 I1无关。
若线圈 2中的电流 I2 随时间 t 变化， 在线圈1中产生的互感电动势为 1。
12 M ' I 2
理论和实验都可以证明,
M M'
1 2
互感的单位(SI制): 亨利(H)
Nb 0 I b 解：(1) 设b线圈通有电流Ib，则圆心处 B 2 Rb
因为a线圈相对b线圈面积很小 N a N b 0 I b ab N a BSa Sa
M
ab
Ib
N a N b S a 0 6.28106 ( H ) 2 Rb
2 Rb
a
b
d ab N a N b 0 S a dIb 4 3 . 14 10 (V ) （ 2） a dt 2 Rb dt
m
r

V
m
I 2l R 1 Ir 0 2rldr 2 16 2 2R
2
例 3 矩形截面螺绕环， N 、 D1 、 D2 、 h 、 I 已 知，求螺绕环的自感系数。 解： 做半径为r的同心闭合回路，根据安培环路定理
B dl B 2r 0 I
解得
0 NI B 2r
R2
1
( R1 r R2 )
0 NI hdr 磁链 m N R 2r 0 N 2 Ih R2 ln 2 R1
d A Li d t
di L i d t Li d i dt
自感电动势作的总功为
1 2 A d A Li d i LI 2 I
0
它也就是自感为L的线圈,电流为 I 时的磁能:
1 2 Wm LI 2
如果我们知道了磁能，也可以求自感
2Wm L 2 I
2 N 解得 L 0 h ln R2 2 R1
r
o r dr
3 磁场的能量
I L
实验中开关拉开后，灯泡 还会闪亮一下。说明：通 电线圈中储藏着能量。 自感为 L 的线圈，电流为 I 时的磁能多大？
I
磁能=拉闸后电流消失过程中自感电动势作的功。 设拉闸后，dt 内通过灯泡的电流为 i (可看作常 量)，则 dt 内自感电动势作的功为
（对整个磁场空间积分）
例 计算半径为 R、长为 l、通有电流 I 、磁导 率为 的均匀载流圆柱导体内磁场能量。 解：导体内沿磁力线作半径为 r 的环路
H dr I
2
r H 2r 2 I R Ir B H 2R 2
H
Ir 2R 2
I
将圆柱导体分割为无限多长 为 l 、厚度为dr 的同轴圆柱 面 W w dV
考虑，怎样计算下 图的互感系数？
当导线放在矩形导线框中 部，互感系数为多大。
2 自感
一个线圈的电流发生变化时，通过线圈自身的全磁 通也会发生变化，线圈内产生的感生电动势称为自 感电动势。 L 若周围无铁磁质，就有
LI
L

I
i1
L:线圈的自感系数，简称自感。 它取决于线圈的形状、大小、匝数以及 周围磁介质的情况，与电流 i 无关。
10.4 互感和自感
1 互感
一个回路中的电流变化时，它附近的另一 回路中产生的感生电动势称为互感电动势。 线圈1、2固定不动。假设线圈1 中的电流 I1 随 时间 t 变化，在线圈2中产生的互感电动势为 2。 若周围无铁磁质, 则由毕 -萨定律可知: 1 2 电流 I1 的磁场B正比于 I1,
21
N1 N 2 I1 S l
l

S
S N1 N 2 M l i1
2
n1
n2
为什么不假设线圈 2 中的电流为 i2 ？
例2 一圆形线圈a由50匝细线绕成，截面积为4cm2， 放在另一个匝数等于100匝，半径为20cm的圆形线圈b 的中心，两线圈同轴共面，求：1)两线圈的互感系数； 2)当线圈b中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈a中 的感生电动势。
对一个长直螺线管来说 2 1 2 1 B Wm LI n2VI 2 V 2 2 2
长直螺线管的磁场是在螺线管内，而且是均匀的， 所以单位体积的磁场能量（磁场能量密度）为
B2 wm （有普遍性） 2
因此，任意磁场的能量计算公式为
B2 Wm wm d V dV 2
L= /i = n2V (与电流 i 无关)
例2 由两共轴的长圆筒组成的传输线，内外圆筒 半径分别为Rl和R2，求长为h 的一段的自感系数.
0 I 解： R1 r R2时 B 2r
长为h 的一段的磁通量为
m
R2 R1
0 Ih R2 Bhdr ln 2 R1
r
m 0 h R2 L ln I 2 R1
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