浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三适应性测试数学试题含答案

浙江省L16联盟2024年7月新高三适应性测试
数学（答案在最后）
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至
4页.满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{}
1,1,2,3A =-，集合{}
0,2,3,4B =，则B A 的子集个数是（
）A.1 B.2
C.3
D.4
【答案】D 【解析】
【分析】由交集的概念得出交集中元素的个数即可求解.
【详解】集合{}1,1,2,3A =-，集合{}0,2,3,4B =，则{}2,3B A ⋂=，则B A 的子集个数是224=.故选：D.
2.公比为q 的等比数列{}n a 满足0n a >，43223a a a =+，则q =（）
A.1-
B.1
C.3
D.9
【答案】C 【解析】
【分析】由等比数列的通项公式：1
1n n a a q -=⋅，代入43223a a a =+解关于q 的方程，即可得q 的值.
【详解】由0n a >，知10,0a q >>，又43223a a a =+，则3
2
11123a q a q a q ⋅=⋅+⋅，
223q q ∴=+，解得1q =-（舍），或3q =.故选：C.
3.已知n
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭存在常数项，且常数项是320a ，则n =（）
A.4
B.6
C.8
D.10
【答案】B 【解析】
【分析】求得二项式展开式的通项公式，化简整理，由常数项是320a ，得r ，n ．
【详解】n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为21C C r
r n r r n r
r r n n a T x x
a x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭
，0,1,2,,r n = ，令20n r -=，得2n r =，*N n ∈，
所以它的常数项为2C r
r
r a ⋅，又已知常数项是320a ，所以3r =，6n =，故选：B ．
4.已知椭圆E ：()22
2210+=>>x y a b a b
的左右焦点到直线l ：40x y --=的距离之差为2，则E 的焦距
是（）
A.
B.2
C. D.4
【答案】C 【解析】
【分析】设椭圆E 的左右焦点分别为()(),0,,0,0c c c ->，2=，分04
c <<和4c ≥两种情况，分析求解即可.
【详解】设椭圆E 的左右焦点分别为()(),0,,0,0c c c ->，
2=，则()44c c +--=
若04c <<，则()()()44442c c c c c +--=++-==，即c =
若4c ≥，则()()()44448c c c c +--=+--=≠，不合题意；
综上所述：c =E 的焦距是2c =.
故选：C.
5.在ABC V 中，tan A 和tan B 是方程()2
0,1x mx n n -+=≠的两个根，则tan C =（
）
A.
1
m n - B.
1m n
- C.
1n m
- D.
1n m
-【答案】A 【解析】
【分析】由韦达定理，tan tan ,tan tan A B m A B n +=⋅=，结合诱导公式、两角和的正切即可求解.【详解】因为tan A 和tan B 是方程20x mx n -+=的两个根，所以由韦达定理有
tan tan ,tan tan A B m A B n +=⋅=，
所以()()tan tan tan tan πtan 1tan tan 11
A B m m
C A B A B A B n n +=--=-+=-=-=---.
故选：A.
6.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，11A D 中点，M 是DB 靠近B 的四等分
点，P 在正方体内部或表面，()
0DP EF MF ⋅+= ，则DP
的最大值是（
）
A.1
B.
52
C.
D.
【答案】D 【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设(),,P x y z ，从而求得333
0442
x y z -
-+=，再根据向量模长公式结合01,01x y ≤≤≤≤即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，设(),,P x y z ，则()11330,0,0,1,0,
,,0,1,,,02244D E F M ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，所以1113,0,,,,12244EF MF ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则333,,442EF MF ⎛⎫
+=-- ⎪⎝⎭
，
因为()
0DP EF MF ⋅+= ，又(),,DP x y z =
，
所以3330442x y z -
-+=，即2
x y z +=，所以2222222
2x y DP x y z x y +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭
，
又01,01x y ≤≤≤≤，所以22
221111322x y x y ++⎛⎫⎛⎫++≤++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当1x y ==，此时1z =时，等号成立，
所以DP
故选：D.
7.已知函数()3
2
3f x x x =-，则
()20252023
k f k =-=∑
（
）A.8098- B.8096
- C.0
D.8100
【答案】A 【解析】
【分析】首先得出()f x 关于()1,2-中心对称，然后即可利用这一性质求解.【详解】()()()()3
3
3231311312f x x x x x x x =-=--+=----，
所以()()3
3
1132324f x f x x x x x ++-=---+-=-，即()f x 关于()1,2-中心对称，
所以
()()()()()()()()
2025
2023
2023202520222024021k f k f f f f f f f =-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-++⋯+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑()()2024418098f =⨯+=-.
故选：A.
8.若正实数a ，b ，c 满足b a bc =，ln b a a c =，则（
）
A.a b ≥
B.a c ≥
C.b c
≥ D.c b
≥【答案】B 【解析】
【分析】借助导数研究函数单调性，进而得到函数值大小即可.【详解】b
a bc =，ln
b a a
c =，则ln bc a c =，则ln 1b a =，则1
e b a =.
则1(e )e b
b b a ==，则1(e )e=b
b
b a b
c ==，则e
c b
=
先比较a ，b ：作差
1e b a b b -=-，设1()e (0)x
f x x x =->，
求导1
21()e 10,(0)x f x x x
'=--<>，则1()e (0)x f x x x =->在(0,)+∞单调递减.
(1)e 10f =->
，(2)20f =-=<，故1()e (0)x
f x x x =->有正负还有零.
即a b -值有正负还有零，故不能比较,a b 大小.故A 错误.
再比较a ，c ：作差1e e b
a c
b -=-，设1e ()e (0)x f x x x =->，求导11
2221e 1
()e (e e )0x x f x x x x
'=-+=-=，
则1
x =由于1
1
011e e 0()0x x f x x '<<⇒>⇒-<⇒<，则()f x 在(0,1)单调递减.
1
1
11e e 0()0x x f x x
'>⇒<⇒->⇒>，则()f x 在(1,)+∞单调递增.
且(1)0f =，则()0f x ≥，即1e
e 0b
a c b
-=-≥，即a c ≥.故B 正确．
最后比较b，c ，由于e
c b
=，假设b c ==满足题意，
假设b c >，即e
b b >
，即2e b >，即b >
假设b c <，即e
b b
<，即2e b <，即0b <<也满足题意．
则,b c 无法比较大小，故CD 错误.故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知均值为()2,5的多组样本点数据()11,x y ，(
)
22,x y …()()1,,2,i i x y i n =⋅⋅⋅经最小二乘法得到的回
归直线21y x =+.现删去样本点数据()2,7，并利用最小二乘法得到新回归直线，则新回归直线（
）
参考数据：回归直线 y a
bx =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
1
22
2
11
()()
(()
n
n
i i
i i
i i n
n i
i
i i x y nx y
x x y
y b
x
n x x x ====---==
--∑∑∑∑ ， a
y bx =- .A.斜率改变 B.截距不变 C.斜率不变 D.截距改变
【答案】CD 【解析】
【分析】依据题意得
2
1
1
(2)(5)2(2)
n n
i
i
i
i i x y x ==--=-∑∑，接着先求出新数据的,x y ，再代入最小二乘法公
式求得11
1
2
1
2
(2)(5)
1(2)
n i
i
i n i
i x y n b
x -=-=--+-=-∑∑ 和
，进而得解.【详解】由题意可得1
2
1
(2)(5)
2(2)
n i
i
i n
i
i x y x ==--=
-∑∑，且1n >，
所以
2
1
1
(2)(5)2(2)
n
n i
i
i
i i x y x ==--=-∑∑，
不妨将样本点数据()2,7作为第n 组数据，即2,7n n x y ==，
则前1n -组数据满足()111111222111n n i i n i i x x x x n n n n -==⎛⎫
==-=-= ⎪---⎝⎭∑∑，()11111125751111n n i i n i i y y y y n n n n n -==⎛⎫
==-=-=- ⎪
----⎝⎭
∑∑，所以1
1
1
1
1
11
1
2
2
1
1
2
2(2)(5)(2)(5)(2)11(2)
(2)
n n n i i i i i i i i n n i
i
i i x y x y x n n b
x x ---===--==--+--+---==
--∑∑∑∑∑ ()1
111
1
2
1
22
(2)(5)2111(2)
n n i i i
i i n i
i x y x n n n x --==-=--+-⨯---=
-∑∑∑
()()1
1
1
2
1
22
(2)(5)212111(2)
n i i i n i
i x y n n n n x -=-=--+⨯--⨯---=
-∑∑1
1
1
2
1
(2)(5)
(2)
n i
i
i n i
i x y x -=-=--=
-∑∑2
771
1
11
2
2
1
1
(2)(5)(2)(5)
2(2)(2)
(2)
n
n
i
i i i i n n i
i
i i x y x
y x x x ==--==------=
=
--∑∑∑∑11
2
2
2
71
11
1
2
2
1
1
2(2)(2)
2(2)2(2)
(2)
n n i i i i n n i
i
i i x x x x x --==--==----=
=
=--∑∑∑∑，
所以 22
5221111
a
y bx n n =-=--⨯=-<-- .综上，新回归直线斜率不变，截距会发生变化，故选项AB 错误，选项CD 正确.故选：CD.
10.如图，在三棱锥P EDF -的平面展开图中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，正方形ABCD 的边长为2，则在三棱锥P EDF -中（
）
A.PEF !的面积为
12
B.PD EF
⊥C.平面PEF ⊥平面DEF D.三棱锥P EDF -的体积为
13
【答案】ABD 【解析】
【分析】直接求BEF △的面积可判定A ，连接BD 交EF 于G ，根据条件证⊥EF 平面GPD 即可判定B ，判定PG DG 、的夹角是否为直角可判定C ，利用棱锥的体积公式可判定D.
【详解】
对于A ，易知11
22
BEF PEF S S BE BF ==
⨯⨯= ，故A 正确；对于B ，连接BD 交EF 于G ，根据正方形的性质易知EF BD ⊥，
所以有,EF GD EF GP ⊥⊥，
又,PG GD ⊂平面PGD ，所以⊥EF 平面GPD ，
PD ⊂平面GPD ，所以EF PD ⊥，故B 正确；
对于C ，由上可知PGD ∠为平面PEF 与平面DEF 的夹角，
易知232
,222PG DG PD =
==≠，则,PG DG 不垂直，故C 错误；对于D ，由题意可知,,PD PE PF 两两垂直，则111
323
P EDF V PD PE PF -=⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD
11.已知曲线C 上的点满足：到定点1,0与定直线y 轴的距离的差为定值m ，其中，点A ，B 分别为曲线
C 上的两点，且点B 恒在点A 的右侧，则（
）
A.若1
2
m =
，则曲线C 的图象为一条抛物线B.若1m =，则曲线C 的方程为24y x
=C.当1m >时，对于任意的()10,A x y ，()20,B x y ，都有12x x >D.当1m <-时，对于任意的()10,A x y ，()20,B x y ，都有12x x >【答案】AC 【解析】
【分析】设曲线C 上的点s ，由题意求出,x y 的方程，分0x ≥、0x <化简后逐项判断可得答案.
【详解】对于A ，若1
2
m =，设曲线C 上的点s ，由题意可得12
x -=
，化简得2
324y x x =+-
，当0x ≥时，2
334
=-y x 为抛物线，
当0x <时，2
34=-y x ，因为0x <，所以3
04
-<x ，而20y ≥，显然不成立，综上，若1
2
m =
，则曲线C 的图象为一条抛物线，故A 错误；对于B ，若1m =，设曲线C 上的点s ，
1x -=，
化简得2
22y x x =+，当0x ≥时，24y x =为抛物线，当0x <时，0y =为一条射线，故B 错误；对于C ，若1m >，设曲线C 上的点s ，
x m =，
化简得2
2
221y x m x m =++-，因为1m >，
当0x ≥时，()2
1212m y m x -⎛⎫
=+-
⎪⎝
⎭
，为开口向右，顶点为1,02m -⎛⎫
⎪⎝⎭
的抛物线的一部分，，
当0x <时，()2
1212m y m x +⎛
⎫
=--
⎪⎝
⎭
，为开口向左，顶点为1,02m +⎛⎫
⎪⎝⎭
的抛物线的一部分，，
且1,02m -⎛⎫
⎪⎝⎭与1,02m +⎛⎫
⎪⎝⎭
关于12x =对称,其图象大致如下，
因为()10,A x y ，()20,B x y 两点的纵坐标相同，根据对称性可得12x x >，故C 正确；
对于D ，若1m <-，设曲线C 上的点s ，()
2
21x y x m -+=，
化简得2
2
221y x m x m =++-，因为1m <-，
当0x ≥时，()2
1212m y m x -⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，
为开口向左，顶点为1,02m -⎛⎫
⎪⎝⎭
的抛物线的一部分，当0x <时，()2
1212m y m x +⎛⎫
=--
⎪⎝
⎭
，为开口向右，顶点为1,02m +⎛⎫
⎪⎝⎭
的抛物线的一部分，且1,02m -⎛⎫
⎪⎝⎭与1,02m +⎛⎫
⎪⎝⎭
关于12x =对称,其图象大致如下，
因为()10,A x y ，()20,B x y 两点的纵坐标相同，根据对称性可得12x x <，故D 错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线C 上的点s ，求出P 点的轨迹方程，数形结合求出答案.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.计算：234562024i i i i i i i -+-+-+⋅⋅⋅-=______（i 为虚数单位）.【答案】0【解析】
【分析】利用i 的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值.【详解】因为234i i i i i i 101-+---+==，所以(
)()()
234
5
6782021202220232024
i i i i
i i i i i i i i -+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-()(
)()
23442342020234i i i i i i i i i i i i i i 50600=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=⨯=.
故答案为：0.
13.三棱锥P ABC -的底面ABC 是边长为2的正三角形，4PA PB +=，则三棱锥体积的最大值是______.【答案】1【解析】
【分析】点P 在以,A B 为焦点长轴长为4的椭球上（去掉长轴端点），可得侧面PAB ⊥平面ABC 时三棱锥的体积最大，求出最大值即可.
【详解】由题意可得，点P 在以,A B 为焦点长轴长为4的椭球上（去掉长轴端点），设PA x =，4PB x =-，椭球的焦距为22c =，
可得椭球的短轴长b =
=，
所以当侧面PAB ⊥平面ABC 时三棱锥的体积最大，
此时，最大值为1113
2213322
==⨯⨯⨯⨯ ABC V S b .故答案为：1.
14.已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______.
【答案】①.0.24##
625
②.0.36##
925
【解析】
【分析】设相应事件，由题意可得()()()
,|,|P A P B A P B A ，根据对立事件结合条件概率公式分析求解.【详解】设“第一问做出”为事件A ，“第二问做出”为事件B ，由题意可得：()()()
6
0.6,|0.1,|0.610
P A P B A P B A =
===，则()()
()0.4,|0.9,|0.4P A P B A P B A ===，
所以()()()|0.24P AB P A P B A ==，即此题得满分的概率是0.24；所以()()()
|0.36P AB P A P B A ==，即此题得满分的概率是0.36.故答案为：0.24；0.36.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15..如图，底面1111D C B A 固定在底面α上的盛水容器口为正方形ABCD ，侧棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 相互平行.
（1）证明：底面四边形1111D C B A 是平行四边形；
（2）若已知四条侧棱垂直于面ABCD ，且114AA DD ==，112BB CC AB ===.现往该容器中注水，求该容器最大盛水体积V 及此时侧面11BB C C 与底面α所成角θ的余弦值（水面平行于底面α）.【答案】（1）证明见解析
（2）8V =，cos 2
θ=【解析】
【分析】（1）只需证明平面11//ABB A 平面11CDD C ，再结合面面平行的性质即可得证；
（2）取11,AA DD 的中点,E F ，说明该容器最大盛水体积V 就是平行六面体1111EBCF A B C D -的体积，当
1111A B B C ⊥时，1111EBCF A B C D V -最大，此时可以说明AEB θ∠=，结合解三角形知识以及平行六面体的体积
公式即可求解.【小问1详解】
因为11//AA DD ，1AA ⊄平面11CDD C ，1DD ⊂平面11CDD C ，所以1//AA 平面11CDD C ，
同理//AB CD ，AB ⊄平面11CDD C ，CD ⊂平面11CDD C ，所以//AB 平面11CDD C ，
而1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11//ABB A 平面11CDD C ，
又平面11ABB A 平面11A B α=，平面11CDD C 平面11C D α=，所以1111//A B C D ，同理1111//A D B C ，所以底面四边形1111D C B A 是平行四边形；【小问2详解】
取11,AA DD 的中点,E F ，因为1111//,A E BB A E BB =，所以四边形11A EBB 是平行四边形，所以11//EB A B ，而EB ⊄平面1111D C B A ，11A B ⊂平面1111D C B A ，所以//EB 平面1111D C B A ，
同理1111//,A E D F A E D F =，所以四边形11A EFD 是平行四边形，所以11//EF A D ，而EF ⊄平面1111D C B A ，11A D ⊂平面1111D C B A ，所以//EF 平面1111D C B A ，
又EB EF E = ，,EB EF ⊂平面EBCF ，所以平面//EBCF 平面α，
所以该容器最大盛水体积V 就是平行六面体1111EBCF A B C D -的体积，
由题意2,AE AB AE AB ==⊥，所以BE =，
因为1111//,AA DD AA DD =，所以四边形11ADD A 是平行四边形，而,E F 分别是11,AA DD 的中点，所以2EF AD ==，当1111A B B C ⊥时，1111EBCF A B C D V -最大，而1BB BC ⊥，11//BC B C ，所以111BB B C ⊥，
所以11A B B ∠的补角就是侧面11BB C C 与底面α所成角θ，因为1111//,//BB AA A B EB ，
所以AEB θ∠=，cos
2
AE EB θ=
==
，注意到()0,πθ∈，所以π4θ=，
此时11112A B EB B C BC ====，平行六面体的高为1sin 22
BB θ=⨯=
平行六面体的底面积为1111A B B C ⋅=，
所以平行六面体的体积为8V =
=.
16.现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为
1
2
，若抛中的是正面，则收益80%的手中金额；否则亏损50%的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币100次，发现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为100元，记x 为抛硬币次数，y 为经历x 次抛硬币后手中的金额.
（1）若2x =，求y 的分布列；
（2）如图，横坐标表示x ，纵坐标表示y ，在图中描出所有可能取值对应的(),x y ，并求出当0x =、1、2、3时盈利的概率；
（3）综合（1）（2）数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因（直接写结论）.
【答案】（1）分布列见解析
（2）图象见解析，()00P x ==，()112P x ==，()124
P x ==，()1
32P x ==
（3）答案见解析【解析】
【分析】（1）根据条件知y 的可能取值为25,90,324，再求出相应的概率，即可求出结果；
（2）通过取一些特殊值，即可得到部分图象，再根据条件，即可求出0x =、1、2、3时盈利的概率；（3）根据题设条件，即可写出结果.【小问1详解】
易知y 的可能取值为25,90,324，
111(25)224P y ==⨯=，12
111
(90)C 222P y ==⨯⨯=，111
(324)224
P y ==⨯=，
所以y 的分布列为y
2590324P
14
12
14
【小问2详解】
当0x =时，100y =，当1x =时，50y =或180y =，当2x =时，y 的可能取值为25,90,324，L ，所以图象如下图
易知()00P x ==，()112P x ==，()1112224P x ==⨯=，()1
311111113C 2222222
P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=.【小问3详解】
x 越大，最终手中金额大于初始金额的概率会越小，则最终亏损的可能性越大，最后亏损的组数多于盈利
的组数，即甲同学实验现象（答案不唯一）.
17.已知a 为实数，*n ∈N ，设函数()ln n
f x x a x =-.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()e,n ∞+【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；
（2）根据（1）的结果，转化为函数的最小值小于0，并且结合函数零点存在性定理说明存在2个零点.【小问1详解】
()1
n n a nx a
f x nx
x x
--'=-=
，0x >，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增，当0a >时，令()0f x '>，得1
n
a x n ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，
令()0f x '<，得10n
a x n ⎛⎫<< ⎪
⎝⎭
，
所以函数的单调递减区间是10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间是1
,n a n ⎛⎫⎛⎫
⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
综上可知，0a ≤时，()f x 的增区间是()0,∞+；
0a >时，()f x 的单调递减区间是10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间是1
,n a n ⎛⎫⎛⎫
⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
【小问2详解】
由（1）可知，若()f x 有两个零点，则0a >，
且当1
n
a x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值，111
ln 0n
n n n a a a f a n n n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
得e a n >，
且0x →时，()f x →+∞，·当x →+∞，()f x →+∞，
所以10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有1个零点，1
,n a n ⎛⎫⎛⎫
⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
也有1个零点，
所以若()f x 有两个零点，则e a n >.
18.已知点()4,4A ，B ，C ，D 均在抛物线W ：()2
20x py p =>上，A ，C 关于y 轴对称，直线AB ，
AD 关于直线AC 对称，点D 在直线AC 的上方，直线AD 交y 轴于点E ，直线AB 斜率小于2.
（1）求ABE 面积的最大值；
（2）记四边形BCDE 的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，若1
2
2S S =，求sin BAD ∠.【答案】（1）16（2）
12
13
【解析】
【分析】（1）设()():44,0AB y k x k =-+>，则():44AD y k x =--+，令0x =可得,E F 的坐标，由韦达定理可表示出12x x -，从而可求得ABE 面积2S 的表达式，结合基本不等式即可求解；
（2）设ABCD 的面积为S ，由题意23S S =，由韦达定理以及同理思想可得()()2
2
2341,41y k y k =-=+，
由公式321
2
S AC y y =
-可知S 也可以用k 表示，进而可以得出关于k 的方程，解出k ，结合二倍角公式、平方关系即可求解.【小问1详解】
由题意2424p =⨯，解得2p =，所以抛物线W ：24x y =
，
因为A ，C 关于y 轴对称，直线AB ，AD 关于直线AC 对称，所以,AD AB 斜率互为相反数，不妨设()():44,0AB y k x k =-+>，则():44AD y k x =--+，
设AB 与y 轴交于点F ，而直线AD 交y 轴于点E ，
所以()()0,44,0,44E k F k +-，
联立():44AB y k x =-+与抛物线W ：24x y =，化简并整理得2416160x kx k -+-=，
()2
2Δ166********k k k k =-+=->⇒≠，
设1,1,2,2，则12124,1616x x k x x k +==-，
设ABE 面积为2S ，
则21211822
S EF x x k =
⋅⋅-=⋅
()2
2416216216162k k k k k k +-⎛⎫==-=-≤= ⎪⎝⎭
，等号成立当且仅当1k =，
所以ABE 面积的最大值为16；【小问2详解】
由（1）可知12241616x x x k ==-，解得244x k =-，设点D 的坐标为()33,x y ，同理可得()34444x k k =--=--，所以()()2
2
2341,41y k y k =-=+，
设ABCD 的面积为S ，而四边形BCDE 的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，由题意12
22
2S S S S S -==，所以23S S =，而()()()22
32118414164,0222
S AC y y k k k k ⎡⎤=
-=⨯⨯+--=<<⎣⎦，
而()2162S k k =-，所以()643162k k k =⨯-，即232k k =，解得2
3
k =，
由题意//AC x 轴，且BAC DAC ∠=∠，设π,0,
2BAC DAC θθ⎛⎫∠=∠=∈ ⎪⎝
⎭
，
所以2
tan 3
k θ=
=，所以2
22224
22sin cos 2tan 1233sin sin 213sin cos tan 1132193BAD θθθθθθθ⨯
∠======++⎛⎫+ ⎪⎝⎭
.19.已知正整数m ，设1a ，2a ，…，2m a ，1b ，2b ，…，2m b 是4m 个非负实数，221
1
0m m
i
i
i i S a b
===
=>∑∑.若
对于任意1,2,,2i m =⋅⋅⋅，取211m a a +=，222m a a +=，211m b b +=，都有21i i i i a a b b ++≥+，则称这4m 个数构成(),S m —孪生数组.
（1）写出8个不全相等的数，使得这8个数构成()8,2—孪生数组；
（2）求最小的S ，使得1a ，2a ，…，6a ，1b ，2b ，…，6b 构成(),3S —孪生数组；
（3）若4≥m ，且1a ，2a ，…，2m a ，1b ，2b ，…，2m b 构成()16,m —孪生数组，求()1,2,,2i a i m =⋅⋅⋅的最大值.
参考公式：（i ）()()2
1231223313x x x x x x x x x ++≥++，当且仅当123x x x ==时取等；（ii ）当正偶数4n ≥时，设(
)*
2n k k =∈N
，有()()12
2311321242n k k x x
x x x x x x x x x x -++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+；当正奇数
4n >时，设()*
21n k k =+∈N ，有()122311321n k x x x x x x x x x +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+()242k x x x ++⋅⋅⋅+.
【答案】（1）2，2，2，2，0，4，0，4（答案不唯一）（2）12（3）4
【解析】
【分析】（1）根据(),S m —孪生数组的含义写出即可；
（2）由题知3m =，进而可以求出S ，再结合参考公式（i ）即可证明；（3）由题知3S =，结合（2）可得21
22211
1
()m
m
i i i i i i S b
b a a -+===+≤∑∑.再利用参考公式（ii ）放缩，进而求解
最大值.【小问1详解】
根据(),S m —孪生数组的含义可知:2,2,2,2,0,4,0,4构成()8,2—孪生数组，当然其答案不唯一;【小问2详解】若3m =，由题知:
131224233534;;;a a b b a a b b a a b b ≥+≥+≥+464551566261
;;a a b b a a b b a a b b ≥+≥+≥+所以()()()()1
2
3
4561316
351
5i
i S b b b
b b b a a a a a b a ==
=+++++≤++∑.
由参考公式（i ），有()()2
135********a a a a a a a a a S ++≥++≥，记T 是数列{}n a 中奇数项的和，即135T a a a =++，
不妨设2S T ≤，则有2234
S T S ≥≥，
因为0S >，解得12S ≥，当且仅当()21,2,,6i a i == 时取等.故最小的S 为12.【小问3详解】类比前问，得:21
221211
1
()m
m
i i i i i i S b
b a a --+===
+≤∑∑.
由参考公式（ii ），有若m 为正偶数，
2121
1
m
i i i a
a
-+=∑()()15233721m m a a a a a a --≤++++++ .
由基本不等式，得()()2
152337214
m m T a a a a a a --++++++≤ .
当且仅当15233721m m a a a a a a --+++=+++ 时等号成立.
所以22121
2
1416m
i i i T S S a a -+=≤≤≤∑，因为0S >，解得16S ≥;同理，当m 为正奇数，解得16S ≥，
由122122,,,,,,,m m a a a b b b 构成()16,m -孪生数组，所以等号需要全部成立.对于参考公式（ii ），左边的项在右边全部出现，若等号成立，则其余项均需为0.若4n =，则等号直接成立.
不妨设120x x ≠，则451,,0n x x x -= ，当n 为正奇数时，0n x =；
当n 为正偶数时，若6n ≥，则30n x x =，不妨使0n x =，则此时仅123,,0x x x ≠，其余项均为0.
故()()1532644,4,7,8,20,5,6,20j i a a a a a a a j m b i m +==+====== .
所以()341,2,,24
i a i m a a =≤== ()1,2,,2i a i m = 的最大值为4
【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，第二问关键是将2211m m
i i i i S a b ====∑∑表
示出来，再利用参考答公式（i ）进行放缩；第三问需要用到第（2）问结论，要注意对m 时是正奇数和正偶数讨论.。