高考数学一轮复习 第七章不等式7.2均值不等式及其应用教学案 新人教B版

7.2 均值不等式及其应用
考纲要求
1．了解均值不等式的证明过程．
2．会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．均值不等式ab ≤a ＋b 2
(1)均值不等式成立的条件：__________.
(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．
(3)其中a ＋b 2
称为正数a ，b 的__________，ab 称为正数a ，b 的__________． 2．利用均值不等式求最值问题
已知x ＞0，y ＞0，则
(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当__________时，x ＋y 有__________是__________(简记：积定和最小)．
(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当且仅当__________时，xy 有__________值是__________(简记：和定积最大)．
3．几个常用的不等式
(1)a 2＋b 2__________2ab (a ，b ∈R )．
(2)ab __________⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (3)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22__________a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥a ＋b
2≥ab ≥21a ＋1b
(a ，b ＞0)． (5)b a ＋a
b
≥2(a ，b 同号且不为0)．
1．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是( )． A ．4 B ．8 C ．2 2 D ．4 2
2．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1
(x ＞－1)的图象最低点的坐标是( )． A ．(1,2) B ．(1，－2) C ．(1,1) D ．(0,2)
3．设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )．
A ．40
B ．10
C ．4
D ．2
4．当x ＞2时，不等式x ＋1x －2
≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，2] B ．(－∞，4]
C ．[0，＋∞)
D ．[2,4]
5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m 2的造价分
别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为__________元．
一、利用均值不等式证明不等式
【例1】设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b
2＋ab ≥2 2. 方法提炼
利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
请做演练巩固提升5
二、利用均值不等式求最值
【例2－1】 (2012浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是
( )． A.245 B.285 C ．5 D ．6 【例2－2】(1)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值；
(2)求4a －2
＋a 的取值范围； (3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y
的最小值． 方法提炼
1．在应用均值不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．
2．对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．
3．为了创造条件使用均值不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用均值不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值．
请做演练巩固提升3,4
三、均值不等式的实际应用
【例3－1】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多
少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积
) 【例3－2】 要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏
目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的
宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使整个矩形广告面积最小．
方法提炼
均值不等式实际应用题的特点：
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用均值不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用均值不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
请做演练巩固提升2
忽视题目的隐含条件致误
【典例】 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x
的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．
分析：由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用均值不等式求解即可．
解析：由题意可知f (x )＝2x
的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2x 与Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x ，－2x ， 由两点间距离公式可得
|PQ |＝x ＋x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋2x 2 ＝2x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x 2≥4，
等号当且仅当x 2＝2，即x ＝±2时取得．
答案：4
答题指导：
1．在解答本题时主要有两点误区：
(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解．
(2)有些同学设出直线方程与f (x )＝2x
联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐情况，导致错解．
2．解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意：
(1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；
(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式；
(3)思考要周密，运算要准确、快速．
另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法．
1．设M 是△ABC 内一点，且S △ABC 的面积为1，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分
别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f (M )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )． A ．8 B ．9 C ．16 D ．18
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
3．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋
1＝0上(其中m ，n ＞0)，则1m ＋2n
的最小值等于( )． A ．16 B ．12 C ．9 D ．8
4．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y
的最小值是( )．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
5．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13
(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac .
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．(1)a ＞0，b ＞0 (2)a ＝b (3)算术平均值 几何平均值
2．(1)x ＝y 最小值 2P (2)x ＝y 最大 S 24
3．(1)≥ (2)≤ (3)≤
基础自测
1．B 解析：∵2x ＋4y ≥2·2x ·22y ＝2·2x ＋2y ＝2·24＝8，
当且仅当2x ＝22y ，即x ＝2y ＝2时取等号，∴2x ＋4y 的最小值为8.
2．D 解析：y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1
≥2. 当且仅当x ＝0时等号成立．
3．D 解析：∵x ＋4y ＝40，且x ＞0，y ＞0，
∴x ＋4y ≥2·x ·4y ＝4·xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) ∴4xy ≤40.
∴xy ≤100.
∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2.
∴lg x ＋lg y 的最大值为2.
4．B 解析：∵x ＋1x －2
≥a 恒成立， ∴a 必须小于或等于x ＋1x －2
的最小值． ∵x ＞2，∴x －2＞0.
∴x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2
＋2≥4， 当且仅当x ＝3时取最小值4.
故选择B.
5．1 760 解析：设水池底面的长度、宽度分别为a m ，b m ，则ab ＝4，
令水池表面的总造价为y ，
则y ＝ab ×120＋2(2a ＋2b )×80
＝480＋320(a ＋b )≥480＋320×2ab ＝480＋320×4＝1 760，
当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”．
考点探究突破
【例1】证明：由于a ，b 均为正实数，
所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab
. 当且仅当1a 2＝1b
2，即a ＝b 时等号成立． 又因为2ab ＋ab ≥22
ab ·ab ＝2 2.
当且仅当2ab
＝ab 时等号成立． 所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab
＋ab ≥22，
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝1b 2，
2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．
【例2－1】C 解析：∵x ＋3y ＝5xy ，
∴15y ＋35x
＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1
＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x
＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12
时等号成立． 【例2－2】解：(1)∵0＜x ＜2，
∴2－x ＞0.
∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x ) ≤2·x ＋2－x 2
＝2， 当且仅当x ＝2－x ，
即x ＝1时取等号，
∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值是 2.
(2)显然a ≠2，当a ＞2时，a －2＞0，
∴4a －2＋a ＝4a －2
＋(a －2)＋2 ≥2
4a －2
·(a －2)＋2＝6， 当且仅当4a －2
＝a －2，即a ＝4时取等号； 当a ＜2时，a －2＜0，
∴4a －2＋a ＝4a －2
＋(a －2)＋2 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－a ＋(2－a )＋2 ≤－242－a
·(2－a )＋2＝－2， 当且仅当42－a
＝2－a ， 即a ＝0时取等号，
∴4a －2
＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，
∴3x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x ＋4y (x ＋y ) ＝7＋3y x ＋4x y
≥7＋23y x ·4x y
＝7＋43，
当且仅当3y x ＝4x y
，即2x ＝3y 时等号成立， ∴3x ＋4y
的最小值为7＋4 3. 【例3－1】解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x
. ∴每平方米的平均综合费用
y ＝560＋48x ＋10 800x
＝560＋48⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋225x (x ≥10)， 当x ＋225x
取最小时，y 有最小值． ∵x ＞0，
∴x ＋225x ≥2x ·
225x ＝30， 当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立．
∴当x ＝15时，y 有最小值2 000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
【例3－2】解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，
则ab ＝20 000， ∴b ＝20 000a
. 广告的高为a ＋20，宽为3b ＋30(其中a ＞0，b ＞0)，
广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)
＝30(a ＋2b )＋60 600
＝30⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋40 000a ＋60 600 ≥30×2a ×40 000a
＋60 600 ＝12 000＋60 600＝72 600，
当且仅当a ＝40 000a
，即a ＝200时，取等号，此时b ＝100. 故当广告的高为220 cm ，宽为330 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小． 演练巩固提升
1．D 2．B 解析：由题意得平均每件产品生产准备费用为800x
元， 仓储费用为x 8元，从而费用和为800x ＋x 8≥2800x ·x 8
＝20. 当800x ＝x 8
，即x ＝80时等号成立． 3．D 解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，
∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n ) ＝2＋2＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4m n
＝8，
当n m ＝4m n
，即n 2＝4m 2，即n ＝2m ， 即n ＝12，m ＝14时，1m ＋2n
取得最小值8. 4．B 解析：由a ∥b ，得x ＋y ＝1，
t ＝t (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1x ＋1y (x ＋y ) ＝1＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x ＋x y ≥3＋2y x ·x y
＝5， 当x ＝y ＝12
时，t 取得最小值5. 5．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，
a 2＋c 2≥2ac ，
∴2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ac ，
∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，
即a 2＋b 2＋c 2≥13
(a ＋b ＋c )2. 由a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，
∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，
∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ac )．
∴13
(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac . 综上所述，a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，命题得证．。