2020-2021学年莆田八中九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年莆田八中九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.已知sina=√3
，且a是锐角，则a=()
2
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
2.关于中心对称的描述不正确的是
A. 把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形对称
B. 关于中心对称的两个图形是全等的
C. 关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心
D. 如果两个图形关于点O对称，点A与A′是对称点，那么OA=OA′
3.下列各选项中，其主视图如图所示的是()
A.
B.
C.
D.
4.下列事件中，随机事件是()
A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B. 实心铁球投入水中会沉入水底
C. 一滴花生油滴入水中，油会浮在水面
D. 两负数的和为正数
5.一元二次方程的根为()
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6.抛物线y=2x2−4x+3的对称轴为()
A. 直线x=−1
B. 直线x=1
C. 直线x=−2
D. 直线x=2
7.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD
的长为()
A. 2√2
B. 4
C. 4√2
D. 8
8.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是S甲2=
0.56，S乙2=0.45，S丙2=0.50，S丁2=0.60；则成绩最稳定的是()
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
9.如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为()
A. 1：16
B. 1：8
C. 1：4
D. 1：2
10.如图，一副眼镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB//x轴，AB=4，最低点C
在x轴上，高CH=1，BD=2，则右轮廓线DEF所在抛物线的函数解析式为
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.A为反比例函数y=k
图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB=4，则k的值为______．
x
12.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和−3，则分解因式：x2+bx+c=
______ ．
13.如图，已知△ABC中，∠BAC=60°，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC
于E、F．
(1)若AD=4，则EF的长为______．
(2)若∠ABC=45°，AB=2√2，则EF的最小值为______．
14.已知四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD=3.若CB−CD=2，则四边形ABCD的面积为
______．
15.如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为
半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的
面积是______．
16.请写出一个y随x的增大而增大的反比例函数的表达式：______．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
17.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个分别标有数字1，−1的小球，乙口袋中装有3个分
别标有数字−1，0，1的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字为x，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字为y．
(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种)，表示出点P可能出现的所有坐标；
(2)求点P(x,y)在函数y=−x图象上方的概率．
四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）
18.计算：√1
3+√12−√(−3)2+√−8
3．
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在
点B的左侧)，经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
(1)求出点A的坐标和点D的横坐标；
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5
，求a的值；
4
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩
形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
20.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC=BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，
连接BD．
(1)求证：△ACE≌△BCD．
(2)若CD=2，BD=3√2，求⊙O的半径．
(3)若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD=a，BD=b，求CF+FO.(用含有a，b的代数式表示)
21.“友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元．“五一”期间，决定采取适当
的降价措施．经调查发现，每件该商品每降价1元，平均每天可多售出10件．设每件降价x元．据此规律，求每件降价多少元时，日盈利可达到2240元？
22.如图1，△ABC的三个顶点都在正方形网格线的交点上，我们把这样的三角形称为格点三角形．
(1)请在图1中画一个与△ABC面积相等且不全等的格点三角形．
(2)请在图2和图3的网格图中画出与△ABC相似(且都互不全等)的三角形，并写出所画三角形与△
ABC的相似比．
图2相似比：______ ；
图3相似比：______ ．
23.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿
正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向，求海轮行
驶的路程AB(结保留根号)．
24.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在AD上，BE与AC交于点F．
(1)若AC⊥BE，求AE的长；
(2)设△DEF和△DCF的面积分别为S1和S2，当AE=m时，求S1：S2；
(3)当AE的长是多少时，△DCF是等腰三角形？
25.如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合
)，我们定义：这样的两条抛物L1，L2互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．
(1)如图2，已知抛物线L3：y=2x2−8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的
点D的坐标；
(2)请求出以点D为顶点的L3的友好抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变
量的取值范围；
(3)若抛物y=a1(x−m)2+n的任意一条友好抛物线的解析式为y=a2(x−ℎ)2+k，请写出a1与
a2的关系式，并说明理由．
参考答案及解析
1.答案：B
解析：
本题考查特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
，得出a的值．
根据sin60°=√3
2
解：∵sina=sin60°=√3
，a是锐角，
2
∴a=60°．
故选B．
2.答案：A
解析：A、一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．故本选项错误；
B、关于中心对称的两个图形是全等的，故本选项正确；
C、关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心，故本选项正确；
D、根据中心对称的性质可得此说法正确，故本选项正确．
故选A．
3.答案：B
解析：解：A.正方体的主视图是正方形，因此A不符合题意；
B.四棱柱的主视图是长方形的，且看不见的轮廓线用虚线表示，因此选项B符合题意；
C.四棱柱的主视图是长方形的，且能看见的轮廓线用实线表示，因此选项C不符合题意；
D.圆柱的主视图是长方形，因此D不符合题意；
故选：B．
根据主视图的意义逐项进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解能看到的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是做出选择的关键．
解析：解：∵经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，
∴选项A符合题意；
∵实心铁球投入水中会沉入水底是必然事件，
∴选项B不符合题意；
∵一滴花生油滴入水中，油会浮在水面是必然事件，
∴选项C不符合题意；
∵两负数的和为正数是不可能事件，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项判断即可．
此题主要考查了随机事件，要熟练掌握，事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件．
5.答案：B
解析：本题考查解一元二次方程的知识，解答本题的关键是熟练掌握若两个式子的积为0，至少有一个式子为0．
解：
∵(x−1)(x+2)=0，
∴x−1=0或x+2=0，
解得，，
故选B．
解析：解：∵抛物线y =2x 2−4x +3，
∴该抛物线的对称轴是直线x =−−42×2=1，
故选：B ．
根据抛物线的对称轴是直线x =−b 2a 求得即可．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7.答案：C
解析：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理.根据圆周角定理得∠BOC =2∠A =45°，由于⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，根据垂径定理得CE =DE ，且可判断△OCE 为等腰直角三角形，所以CE =√22OC =2√2，然后利用CD =2CE 进行计算．
解：如图，
∵∠A =22.5°，
∴∠BOC =2∠A =45°，
∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，
∴CE =DE ，△OCE 为等腰直角三角形，
∴CE =√22OC =2√2，
∴CD =2CE =4√2．
故选C ．
8.答案：B
解析：解：∵S 甲2=0.56，S 乙2=0.45，S 丙2=0.50，S 丁2=0.60，
∴S 乙2<S 丙2<S 甲2<S 丁2，
∴成绩最稳定的是乙；
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9.答案：D
解析：解：∵两个相似三角形面积的比为1：4，
∴它们的相似比=√1
4=1
2
．
故选D．
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比=√1
4
，然后化简即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
10.答案：C
解析：∵高CH=1cm，BD=2cm，
而B、D关于y轴对称，
∴D点坐标为(1,1)，
∵AB//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，
∴AB关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为(−3,0)，
∴右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0)，
设右边抛物线的解析式为y=a(x−3)2，
把D(1,1)代入得1=a×(1−3)2，解得a=1
4
，
故右边抛物线的解析式为y=1
4
(x−3)2．
11.答案：±8
解析：解：由反比例函数的系数k的几何意义可得，|k|
2
=4，
解得：k=±8．
故答案为：±8．
在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面
积是|k|
2
，且保持不变，从而可得出k的值．
此题考查了反比例函数的系数k的几何意义，属于基础题，关键是根据题意得出S△AOB=|k|
2
，难度一般．
12.答案：(x−2)(x+3)
解析：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和−3，
∴x2+bx+c=(x−2)(x+3)，
故答案为：(x−2)(x+3)．
本题考查了对一元二次方程的解和分解因式的关系的理解和运用，当x1、x2是方程x2+ax+b=0的两个根，则x2+ax+b分解因式为(x−x1)(x−x2)，代入求出即可．
本题考查了分解因式和解一元二次方程的解的应用，注意：当x1、x2是方程x2+ax+b=0的两个根，则x2+ax+b分解因式为(x−x1)(x−x2).
13.答案：2√3√3
解析：解：(1)作直径EP，连接PF，如图1：
∵EP为⊙O的直径，
∴∠EFP=90°，
∵∠P=∠BAC=60°，
∴∠PEF=30°，
∴PF=1
2PE，EF=√3PF=√3
2
PE，
∵PE=AD=4，
∴EF=√3
2
×4=2√3；故答案为：2√3；
(2)∵EF=√3
2PE=√3
2
AD，
∴当AD最小时，EF最小，
当AD⊥BC时，AD最小，如图2，
：
∵∠ABC=45°，AB=2√2，
∴AD=√2
2
AB=2，
∴EF=√3
2
×2=√3．
故答案为：√3．
(1)作直径EP，连接PF，由圆周角定理可得∠EFP=90°，解直角三角形PEF即可；
(2)当AD最小时，EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，解直角三角形ABD，求得AD的长，即直径的长，再根据EF与直径AD的数量关系即可求得答案．
本题考查了圆周角定理、解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
14.答案：8
解析：解：∵∠A=90°，AB=AD=3，
∴BD=√AB2+AD2=√32+32=3√2，
设CB=x，则CD=x−2，
∵∠C=90°，
∴CD2+BC2=BD2，
∴(x−2)2+x2=(3√2)2，
解得，x=1+2√2或x=1−2√2(舍去)，
∴x−2=2√2−1，
∴四边形ABCD的面积为：AD⋅AB
2+BC⋅CD
2
=3×3
2
+(1+2√2)(2√2−1)
2
=8，
故答案为：8．
根据题意，利用勾股定理可以求得BD的长，然后根据CB−CD=2，再由勾股定理可以求得BC和CD 的长，再分别求得△ABD和△BCD的面积，即可得到四边形ABCD的面积．
本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．15.答案：4π−4
解析：解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积−△ABD的面积=90⋅π⋅42
360−1
2
×4×2=
4π−4，
故答案为：4π−4
利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积−△ABD的面积．
本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.答案：y=−1
x
(x>0)(答案不唯一)
解析：解：只要使反比例系数小于0即可．如y=−1
x
(x>0)，答案不唯一．
故答案为：y=−1
x
(x>0)(答案不唯一)．
反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k< 0；反之，只要k<0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
本题主要考查了反比例函数y=k
x
(k≠0)的性质：
①k>0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；
②k<0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．
17.答案：解：(1)画树状图为：
共有6种等可能的结果数，它们为(1,1)，(1,0)，(1,−1)，(−1,1)，(−1,0)，(−1,−1)；
(2)在函数y=−x图象上方的点有(1,1)和(1,0)，
所以点P(x,y)在函数y=−x图象上方的概率=2
6=1
3
．
解析：(1)画树状图展示所有6种等可能的结果数；
(2)根据直线上的点的坐标特征可判断在函数y=−x图象上方的点有(1,1)和(1,0)，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
18.答案：解：原式=√3
+2√3−3−2
3
−5．
=7√3
3
解析：直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19.答案：解：(1)当y=0时，ax2−2ax−3a=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∵直线l：y=kx+b过A(−1,0)，
∴0=−k+b，
即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2−2ax−3a=kx+k，
即ax2−(2a+k)x−3a−k=0，
∵CD=4AC，
∴点D的横坐标为4；
(2)由(1)知，点D的横坐标为4，
=−1×4，
∴−3−k
a
∴k=a，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a；
过E作EF//y轴交直线l于F，设E(x,ax2−2ax−3a)，
则F(x,ax+a)，EF=ax2−2ax−3a−ax−a=ax2−
3ax−4a，
∴S△ACE=S△AFE−S△CEF=1
2(ax2−3ax−4a)(x+1)−1
2
(ax2−3ax−4a)x=1
2
(ax2−3ax−
4a)=1
2a(x−3
2
)2−25
8
a，
∴△ACE的面积的最大值=−25
8
a，
∵△ACE的面积的最大值为5
4
，
∴−25
8a=5
4
，
解得a=−2
5
；
(3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2−2ax−3a=ax+a，即ax2−3ax−4a=0，解得：x1=−1，x2=4，
∴D(4,5a)，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设P(1,m)，
①若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q(−4,21a)，
m=21a+5a=26a，则P(1,26a)，
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∴52+(5a)2+32+(26a−5a)2=22+(26a)2，
即a2=1
7
，
∵a<0，
∴a=−√7 7
∴P(1,−26√7
7
)；
②若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q(2,−3a)，
m=5a−(−3a)=8a，则P(1,8a)，∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∴(−1−1)2+(8a)2+(1−4)2+(8a−5a)2=52+(5a)2，
即a2=1
4
，
∵a<0，
∴a=−1
2
，
∴P(1,−4)，
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P(1,−26√7
7
)或(1,−4)．
解析：本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)解方程即可得到结论；根据直线l：y=kx+b过A(−1,0)，得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；
(2)过E作EF//y轴交直线l于F，设E(x,ax2−2ax−3a)，得到F(x,ax+a)，求出EF=ax2−3ax−4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
(3)令ax2−2ax−3a=ax+a，即ax2−3ax−4a=0，得到D(4,5a)，设P(1,m)，①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
20.答案：解：(1)证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACE=90°−∠ECB=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
{∠ACE=∠BCD AC=BC
∠CAE=∠CBD
，
∴△ACE≌△BCD(ASA)；(2)∵△ACE≌△BCD，
∴CE=CD，AE=BD，
∵CE⊥CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD=2，BD=3√2，
∴DE=2√2，AE=3√2，
∴AD=5√2，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴AB=√AD2+BD2=2√17，
∴⊙O的半径为√17；
(3)过O作OH⊥AD于H，如图：
∵△ECD是等腰直角三角形，CD=a，∴ED=√2a，CF=√2
2
a，
∵F为DE的中点，
∴CF=DF=1
2DE=√2
2
a，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=b，
∴AD=ED+AE=√2a+b，∵OH⊥AD，∠ADB=90°，∴OH//BD，
∵AO=OB，
∴OH=1
2OB=1
2
b，DH=1
2
AD=√2
2
a+1
2
b，OH=1
2
BD=1
2
b，
∴HF=DH−DF=(√2
2a+1
2
b)−√2
2
a=1
2
b，
在Rt△OHF中，FO=√OH2+HF2=√2
2
b，
∴CF+FO=√2
2
a+
√2
2
b.
解析：(1)∠ACE=90°−∠ECB=∠BCD，∠CAE=∠CBD，AC=BC，利用“ASA“即可证明；(2)先求出AE和AD，在Rt△ABD中用勾股定理可得AB，从而求出⊙O半径；
DE，利用OH是△ABD中位线求出OH和HF，再在Rt△OHF中用勾(3)过O作OH⊥AD于H，CF=1
2
股定理求出OF，从而可得答案．
本题考查圆、全等三角形、勾股定理等综合知识，解题的关键是勾股定理的应用．
21.答案：解：设每件商品降价x元，则降价后每件商品盈利(20−x)元，商场日销售量增加10x件，根据题意得：(20−x)(100+10x)=2240，
整理得，x2−10x+24=0，
解得x1=4，x2=6．
答：每件商品降价4或6元时，商场日盈利可达到2240元．
解析：等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2240，由此列出方程求解即可．
考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2240的等量关系是解决本题的关键．
22.答案：2：1√2：1
解析：解：(1)如图1中，△DEF即为所求．
(2)如图2中，△DEF∽△ABC，相似比为2：1．
如图3中，△DEF∽△ABC，相似比为√2：1
故答案为2：1，√2：1．
(1)利用等高模型解决问题即可．
(2)利用数形结合的思想解决问题，首先确定相似比，然后画出符合条件的三角形即可．
本题考查作图−相似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.答案：解：在Rt△APC中，∠APC=45°，
∴CA=CP=√2
AP=20√2，
2
在Rt △APC 中，tanB =CP
CB ， 则CB =CP
tanB =20√6，
∴AB =AC +CB =20√2+20√6，
答：海轮行驶的路程AB 为(20√2+20√6)海里．
解析：根据等腰直角三角形的性质分别求出CA 、CP ，根据正切的定义求出CB ，计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确理解方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.答案：解：(1)∵四边形ABCD 是矩形；
∴△ABE 是直角三角形； ∵AC ⊥BE ， ∴∠AFB =90°，
∴ABE +∠AEB =∠ABE +∠BAC =90°， ∴∠AEB =∠BAC ， ∴△ABC∽△EAB ， ∴AB
EA =BC
AB ， ∴
3
EA =4
3
， ∴EA =9
4
．
(2)过F 作BC ，AD 的垂线，长度分别为ℎ1和ℎ2 ∵△AEF∽△CBF ， ∴ℎ1ℎ2
=m
4，
∵ℎ1+ℎ2=3， ∴ℎ1=12m+4，ℎ2=3m
m+4； ∵△AGF∽△CBA ，
∴AG BC =ℎ
1
AB ，
∴AG =16
m+4， ∴DG =4−16
m+4，
∴S1：S2=4−m
m+4×12×1
2
：(9−16
m+4
)×3×1
2
，
∴S1：S2=m(4−m)：16．
(3)本题分三种情况：
①当CD=CF=3时，AF=2，由(1)得AE：BC=AF：FC，∴AE=8
3
．
②当DF=CF时，F为AC的中点，此时E、D重合，
∴AE=4．
③当DF=CD=3时，作DM⊥AC于G，
则CM=FM=9
5，AF=7
5
，
由(1)得AE：BC=AF：FC，∴AE=14
9
．
综上，AE=8
3或4或14
9
．
解析：(1)利用已知条件，得到，△ABC∽△EAB，得到AB
EA =BC
AB
，代入求值即可得到AE；
(2)过F作BC，AD的垂线，长度分别为ℎℎ1和ℎ2，根据△AEF∽△CBF和△AGF∽△CBA，得到AG=16
m+4
，
可以求得DG=4−16
m+4
，代入可得到比值；
(3)分三种情况进行讨论，分别是CD=CF=3，DF=CF，DF=CD=3分开讨论即可得到结果．本题主要考查了相似三角形的判定及性质定理，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质是解题的关键．
25.答案：解：(1)∵抛物线L3：y=2x2−8x+4，
∴y=2(x−2)2−4，
∴顶点为(2,4)，对称轴为x=2，
设x=0，则y=4，
∴C(0,4)，
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：(4,4)；
(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,−4)，
∴L4的解析式为y=−2(x−4)2+4，
由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；
(3)a1与a2的关系式为a1+a2=0或a1=−a2.…8分
理由如下：
∵抛物线y=a1(x−m)2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x−ℎ)2+k，
∴y=a2(x−ℎ)2+k过点(m,n)，且y=a1(x−m)2+n过点(ℎ,k)，即
k=a1(ℎ−m)2+n…①
n=a2(m−ℎ)2+k…②
由①+②得(a1+a2)(ℎ−m)2=0.
又“友好”抛物线的顶点不重合，
∴ℎ≠m，
∴a1+a2=0或a1=−a2．
解析：(1)设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y=2x2−8x+4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
(2)由(1)可知点D的坐标为(4,4)，再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
(3)根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得(a1+a2)(ℎ−m)2=0.可得a1=−a2．
本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是(3)问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．。