2010点集拓扑(A卷)答案

2010年秋季 点集拓扑 答案（A 卷）
一、单项选择题：（每题3分，共15分）DCBAD
1． 下列关于实数集上的有限补空间X 的说法正确的是 ( D )
A. X 是第一可数空间
B. X 是第二可数空间
C. X 是可度量化空间
D. X 是道路连通空间
2． 如果Y 是X 的一个连通子空间，则下述说法必定正确的是（ C ）
A. X 是一个连通空间
B. Y 是X 的一个连通分支
C. Y 是X 中连通子集
D. Y 是X 中连通子集
3. 下列关于可数集的说法不正确的是 ( B )
A. 可数个可数集的并依然可数
B. 可数个可数集的笛卡尔积可数
C. 实数集不是可数集
D. 自然数集在一切映射下的像可数
4．设X 为第二可数空间，则X 必然（ A ）
A. 既是可分空间也是第一可数空间
B. 既是度量空间也是可分空间
C. 是局部道路连通空间
D. 不是可度量化空间
5. 下列关于映射f 的说法正确的是 （ D ）
A. 如果f 是开映射，则f 也是闭映射
B. 如果f 是商映射，则f 也是开映射
C. 如果f 既是开映射，也是闭映射，则f 是连续映射
D. 如果1f
-是开映射，则f 是连续映射
二、判断题：（每题3分，共15分，T 表示正确，F 表示错误）TFFTF
1. （ T ） 在集合X 与其幂集()X ℘之间一定不存在一一映射。

2.
（ F ） 如果集合A 和B 是拓扑空间X 中连通子集，则A B ⋃在X 中连通。

3.
（ F ） 如果A B ⋃和A B ⋂均为X 中道路连通子集，则A 在X 中道路连通。

4.
（ T ） 可分性质是开子空间可遗传的，而Lindel öf 性质是闭子空间可遗传的。

5. （ F ） 实数下限拓扑空间是连通的，第一可数的，但不是第二可数的。

三、解答题：（每题15 分，共30分）
1. 设X 为包含不可数多个点的可数补空间，A X ⊂。

（1）求,()o
A d A ，()A ∂和A 。

（2）X 是否连通？是否局部连通？判定并简要说明理由。

解：（1） A A A A ︒'∅⎧=⎨'⎩不可数可 数， () A d A X A ∅⎧=⎨⎩可 数不可数， A A A X A ⎧=⎨⎩可 数不可数，
() A A A A A X A A ⎧⎪''∂=⎨⎪'⎩
可 数 可 数 与均不可数。

（2）X 连通，因为X 中没有非空的既开且闭真子集。

X 局部连通，因为x X ∀∈，x 的每个邻域都连通。

2. 用同一个例子说明一个Lindel öf 空间可以既不是可分空间，也不是1A 空间，而且不是
2A 空间，简述理由。

解：设X 为不可数集，a X ∈，{}Y X a =-，X 上拓扑为T {} U a U U '=∉或可数。

（1）X 是Lindel öf 空间：如果A 是X 的一个开覆盖，则存在A ∈A 满足x A ∈。

由拓扑T 的定义，未被A 覆盖的A '可数，从而可以被可数多个A 中元素所覆盖。

（2）X 不是可分空间：X 中可数集均为闭集，从而不稠密。

（3）X 不是第一可数空间：点a 处没有可数邻域基。

事实上，若V 是点a 处可数邻域基， 则U ∀∈V ，U '为可数集。

又x Y ∀∈，{}x '是a 的一个开邻域，所以存在x U ∈V 使得 {}x U x '⊂，从而x x U '∈，所以x x Y Y U ∈'=。

但等式左边是不可数集，而等式右边是可数
多个可数集的并从而可数，矛盾。

（4）X 不是第二可数空间：每个第二可数空间都是可分空间。

注：包含不可数多个点的可数补空间也是一个例子。

四、证明题：（每题10分，共40分）
1． 如果拓扑空间X 中任意子集的导集都是闭集，则X 为0T 空间。

证明：任取X 中两点x 和y 。

则{}()d x 与{}()d y 均为闭集。

因为{}()x d x ∉且{}()y d y ∉，所以{}()A d x '=与{}()B d y '=分别是x 和y 的开邻域。

如果x B ∉或y A ∉，则证毕。

否则,x y A B ∈⋂，这说明{}()x d y ∉且{}()y d x ∉，从而x 有邻域不
含y ，且y 有邻域不含x 。

综上，X 为0T 空间。

2．设,Y Z X ⊂，其中Z 连通。

如果Y Z ⋂≠∅且Y Z '⋂≠∅，则()Y Z ∂⋂≠∅。

证明：设()Y Z ∂⋂=∅，则Y Z Y Z ︒⋂=⋂与Y Z Y Z ''⋂=⋂是Z 中非空无交开集， 且()()Y Z Y Z Z '⋂⋃⋂=，从而Z 不连通，矛盾。

故()Y Z ∂⋂≠∅。

3．设A 是第二可数空间X 中不可数子集，则存在x A ∈，使得x 的每个邻域U 都满足U A ⋂不可数。

证明：假设B 是X 的一个可数基。

如果结论不成立，则x A ∀∈，都有x 的一个邻域x V 使得x V A ⋂可数，从而存在x B ∈B 使得x x x B V ∈⊂且x x B A V A ⋂⊂⋂可数。

不难看出 ()x x A A B A ∈=⋂，但是等式左边是不可数集，而右边是可数多可数集的并从而可数，矛盾。

这说明结论成立。

4． 证明自然数集
的幂集()℘不可数。

证明：如果()℘可数，则存在满射():f →℘。

定义集合{}()A n n f n =∈∉，则显然()A ∈℘，但是n ∀∈，()f n A ≠，这与f 是满射矛盾。

所以()℘不可数。