福建师大附中年高二上数学(文)期末试题及答案.doc

福建师大附中
201X —201X 学年度上学期期末考试
高二数学文试题
（满分：150分，时间：120分钟）
一、选择题：（ 每小题5分，共60分；四个选项中，只有一项符合题目要求 ） 1．已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（***） A.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0≥x
B.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>x
C.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｄ. :p x ⌝∀∈R ，sin 1x >
2.某物体的位移S （米）与时间t （秒）的关系是2
3)(t t t S -=,则物体在2t =秒时的瞬时速度为（***）
A. 1m/s
B. 2m/s
C. 1-m/s
D. 7m/s
3．已知定点A 、B ，且2||=AB ，动点P 满足1||||=-PB PA ，则点P 的轨迹为（***） A. 双曲线 B. 双曲线一支 C.两条射线 D. 一条射线 4．抛物线 2
x y = 的准线方程是（***）
A.4 x + 1 = 0 Ｂ.4 y + 1 = 0 Ｃ.2 x + 1 = 0 Ｄ.2 y + 1 = 0
5．:p 若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零，:q 若2->m ，则022
=-+m x x 有实根，则（***） A.""q p ∨为真 B.""p ⌝为真 C.""q p ∧为真 Ｄ.""q ⌝为假
6. 某公司的产品销售量按函数)(t f y =规律变化，在],[b a t ∈时，反映该产品的销售量的增长速度先快后慢的图象可能是（***）
7. 设 :p “0=k ”, :q “直线1:+=kx y l 与抛物线x y 42
=只有一个公共点”， 则p 是q （***）条件
b
A. 充分且非必要
B. 必要且非充分
C. 充分且必要
D. 既非充分也非必要
8.曲线()ln f x x x =在点(1,0)处的切线方程为（***）
A. 1y x =-+
B.1y x =-
C.y ex e =-
D.y ex e =-+
9．若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 = 1 所表示的曲线不可能．．．是（***） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆或双曲线 D. 抛物线
10.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（***）
C. 1
2 D. 1
2
11.已知数列{}n a 满足2112
,4(2),3n n n a a a n --=
-=≥记132
n n n a T -=，如果对任意的正整数n ，都有n T M ≥，则实数M 的最大值为（***）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12．函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线2
y x =的图象绕原点沿逆时针
方向旋转90就得到函数2
y x =的图象.若把双曲线2
213
x y -=绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是（***）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90 二、填空题（每小题4分，共16分）
13．已知数列{}n a 的前n 项和2
1n S n n =++，则n a = ******
14．点P 在双曲线12
2=-y x 上运动，O 为坐标原点，线段PO 中点M 的轨迹方程是 ***** 15．设12,F F 是椭圆2
2
3448x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，满足123
sin 5
PF F ∠=
，12PF F ∆的面积为6，则2PF = *****
16．已知点),(y x P 满足椭圆方程122
2
=+y x ，则1
-x y
的最大值为***** 三、解答题：（本大题共6题，满分74分） 17. （本题满分12分）
在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos b A B =.
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若3b =，sin 2sin C A =，求,a c 的值.
18. （本题满分12分）
已知{}n a 为等差数列，且13248,12a a a a +=+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值. 19．（本题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
的上顶点坐标为，离心率为12
.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，A 为左顶点，F 为椭圆的右焦点，求AP FP ∙的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知直线l 经过抛物线2
4x y =的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，点O 为坐标原点. （Ⅰ）证明：AOB ∠为钝角.
（Ⅱ）若AOB ∆的面积为4，求直线l 的方程;
21.如图，有一边长为2米的正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形． （Ⅰ）请建立适当的直角坐标系．．．．．．．．．．，求阴影部分的边缘线OC 的方程;
（Ⅱ）如何画出切割路径
EF
，使得剩余部分即直角梯形
ABEF 的面积最大？
并求其最大值．
22. 如图，设AB 、''
A B 分别是圆2
2
:4O x y +=和椭圆2
2:14
x C y +=的弦，且弦的端点在y 轴的异侧，端点A 与'A 、B 与'
B 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号.
（Ⅰ）若弦''
A B 所在直线斜率为1-，且弦''
A B 的中点的横坐标为
45
，求直线''
A B 的方程； （Ⅱ）若弦AB 过定点3(0,)2
M ，试探究弦''
A B 是否也必过某个定点. 若有，请证明；若没有，请说明理由.
B
C
E
x
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7. A
8.B
9.D 10.D 11.A 12.C 13.3,12,2
n n a n n =⎧=⎨
≥⎩; 14.22
441x y -=; 15. 23PF =; 16.
17.解： (I)
由sin cos b A B =
及正弦定理
sin sin a b
A B
=
，得sin B B =，
所以tan B =
(0,)B π∈,∴ 3
B π
=
(Ⅱ)由sin 2sin C A =及
sin sin a b
A B
=
，得2c a =，由3b =及余弦定理2222cos b a c a B =+-，得229a c ac =+-,
所以a =
c =
18.解：(I)设数列{}n a 的公差为d ,11
228
2412a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =
所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-= （Ⅱ）由(1)可得1()(22)(1)22
n n n a a n n S n n ++=
==+ 因1a ，k a ，2k S +成等比数列，所以212k k a a S +=，从而2
(2)2(2)(3)k k
k =++，即
2560k k --=，
解得6k =或1k =-（舍去），因此6k =
19.解：（I
）依题意得：2
22
2112b a c e c a a b c ⎧=⎪
=⎧⎪
==⇒⎨⎨
=⎩⎪=+⎪⎩
，∴椭圆方程为22143x y += （Ⅱ）设(,)P x y ，(2,0),(1,0)A F -，则22
2AP FP x x y ∙=+-+---（*）
点P 满足2
2
3412x y +=，2
2
3(1)4
x y ∴=-代入（*）式，得：
2
11(22)4
AP FP x x x ∙=
++-≤≤ 根据二次函数的单调性可得：AP FP ∙的取值范围为[0,4] 20.解：(I)依题意设直线l 的方程为：1y kx =+（k 必存在）
22
1
4404y kx x kx x y
=+⎧⇒--=⎨=⎩，216160k ∆=+>∴设直线l 与抛物线的交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则有22
1212124,1,44
x x x x y y =-==121230x x y y ∴+=-<，依向量的
数量积定义，cos 0AOB ∠<即证AOB ∠为钝角 (Ⅱ) 由（I ）可知
:2124(1)AB x k =-=+
,d =
∴1
4
2
A O
B S A B d ∆=
==
,k ∴= ∴
直线方程为1,1y y =+=+
21. 解：(I)以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意
可设抛物线弧OC 的方程为2
(02)y ax x =≤≤ ∵点C 的坐标为(2,1)， ∴221a =，1
4
a =
故边缘线OC 的方程为2
1(02)4
y x x =
≤≤. (Ⅱ)要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐
标为2
1
(,)(02)4
P t t t <<， ∵12
y x '=
， ∴直线EF 的的方程可表示为211
()42
y t t x t -=-，即
21124y tx t =-， 由此可求得21(2,)4E t t -，2
1(0,)4
F t -. 22
11
|||(1)|144AF t t =---=-，
22
11|||()(1)|144
BE t t t t =---=-++，
设梯形ABEF 的面积为()S t ，则 []1()||||||2S t AB AF BE =
⋅+2211
(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++2155(1)222t =--+≤. ∴当1t =时，5().2
S t =
故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.
答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为
22.5m .
22． 解：（Ⅰ）由题意得：直线''
A B 的方程为y x m =-+
2222
5844044
y x m
x mx m x y =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩，
2
80160m ∆=->，∴设'
'
1122(,),(,)A x y B x y
12441255
x x m m +∴==∴=，将1m =代入∆检验符合题意，
故满足题意的直线''
A B 方程为：1y x =-+
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆O 的方程为：22
4.x y +=分
设11(,)A x y 、22(,)B x y 、'1(,)A x m 、'
2(,)B x n ， ∵点A 在圆O 上， ∴22
114x y +=，………①
∵点'
A 在椭圆C 上， ∴2
2114
x m +=，………② 联立方程①②解得：12y m =
，同理解得：2.2
y n = ∴'11(,)2y A x 、'22(,)2y B x ∵弦AB 过定点3
(0,)2
M ，
∴12x x ≠且AM BM k k =，即
1212
33
22y y x x -
-=， 化简得
1221213
2
y x y x x x -=-
直线''A B 的方程为：21
11
21
22()2y y y y x x x x -
-=--，即212112y y y x x x -=+-1221212()y x y x x x --， 由
12212132y x y x x x -=-得直线''A B 的方程为：212112y y y x x x -=+-3
4
，
∴弦''
A B 必过定点'3
(0,)4
M . 解法二：由（Ⅰ）得：圆O 的方程为：
设11(,)A x y 、22(,)B x y ，
∵圆O 上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的
1
2
倍可得到椭圆C ， 又端点A 与'
A 、
B 与'
B 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，
∴'11(,
)2y A x 、'22(,)2
y B x 由弦AB 过定点3(0,)2M ，猜想弦''
A B 过定点'3(0,)4
M .
∵弦AB 过定点3(0,)2
M ，∴12x x ≠且AM BM k k =，即
1212
33
22y y x x -
-=……①
''
11113312422A M y y k x x --==,''
2222
3312422B M y y k x x --
== 由①得''A M k =''B M k ， ∴弦''A B 必过定点'3
(0,)4
M .。