数学中考总复习-专项突破汇编--(5)数学活动型问题

备战2021中考初中数学六大题型专项突破

专题五:数学活动型问题

【方法指导】

数学活动问题是对数学问题进行全方位探究，同时要求学生会通过自己动手，从具体的操作中去发现和创造，动脑去探究、发现、归纳，最终解决某一实际问题的一类数学问题．对学生能力有更高的要求，需要进行操作、合理猜测和验证，充分表达了课改新理念．常见的数学活动有以下几种类型：在折叠剪拼中发现问题，在变换中探索问题，在操作中探究问题．

学生通过观察图形在平移、翻折、旋转等图形变化过程中所隐含的规律，猜测所得的结论，并进行证明及其相关计算，是解决此类问题的根本策略.

【典例解析】

类型一：再折叠中探究问题

【例1】〔2021湖北宜昌〕〔11分〕在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E 且在AD上，BE交PC于点F．

〔1〕如图1，假设点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；

〔2〕如图2，①求证：BP=BF；

②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；

③当BP=9时，求BE•EF的值．

【分析】〔1〕先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；〔2〕①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；

②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；

③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．

【解答】解：〔1〕在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，

∵E是AD中点，

∴AE=DE，

在△ABE和△DCE中，，

∴△ABE≌△DCE〔SAS〕；

〔2〕①在矩形ABCD，∠ABC=90°，

∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，

∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，

∴BE∥PG，

∴∠GPF=∠PFB，

∴∠BPF=∠BFP，

∴BP=BF；

②当AD=25时，

∵∠BEC=90°，

∴∠AEB+∠CED=90°，

∵∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠CED=∠ABE，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△DEC，

∴，

设AE=x，

∴DE=25﹣x，

∴，

∴x=9或x=16，

∵AE＜DE，

∴AE=9，DE=16，

∴CE=20，BE=15，

由折叠得，BP=PG，

∴BP=BF=PG，

∵BE∥PG，

∴△ECF∽△GCP，

∴，

设BP=BF=PG=y，

∴，

∴y=，

∴BP=，

在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；

③如图，连接FG，

∵∠GEF=∠BAE=90°，

∵BF∥PG，BF=PG，

∴▱BPGF是菱形，

∴BP∥GF，

∴∠GFE=∠ABE，

∴△GEF∽△EAB，

∴，

∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解此题的关键．

类型二：在变换中探究问题

【例2】〔2021湖南郴州〕〔12.00分〕在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点〔不含C，D两端点〕，过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．〔1〕如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．

求证：△DEF是等腰三角形；

〔2〕如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α〔0°＜α＜180°〕．

②如图3，假设点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．

【分析】〔1〕根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF 是等腰三角形；

〔2〕①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；

②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．

【解答】解：〔1〕由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，

∵PF∥BC，

∴∠DFP=∠ADF，

∴∠DFQ=∠ADF，

∴△DEF是等腰三角形，

〔2〕①假设0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，

∵∠P′DF′=∠PDF，

∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，

∴∠P′DC=∠F′DB，

由旋转的性质可知：

△DP′F′≌△DPF，

∵PF∥BC，

∴△DPF∽△DCB，

∴△DP′F′∽△DCB

∴，

∴△DP'C∽△DF'B

②当∠F′DB=90°时，如下图，

∵DF′=DF=BD，

∴=，

∴tan∠DBF′==，

当∠DBF′=90°，

此时DF′是斜边，

即DF′＞DB，不符合题意，

当∠DF′B=90°时，如下图，

∵DF′=DF=BD，

∴∠DBF′=30°，

∴tan∠DBF′=

【点评】此题考查相似三角形的性质与判定，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．

类型三：在操作中探究问题

【例3】〔2021山东淄博〕〔9分〕〔1〕操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG=NG ；位置关系是MG⊥NG ．

〔2〕类比思考：

如图②，小明在此根底上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

〔3〕深入研究：

如图③，小明在〔2〕的根底上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【考点】KY：三角形综合题．

【分析】〔1〕利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；

〔2〕同〔1〕的方法即可得出结论；

〔3〕同〔1〕的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．

【解答】解：〔1〕连接BE，CD相较于H，