人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．如图，AB ∥CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点E ，且AD ⊥AB ，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若AD ＝14，则PE 的最小值为（ ）
A ．7
B ．10
C ．6
D ．5
2．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）
A ．PC PD =
B ．O
C O
D = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC P
E =
4．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )
A ．2
B ．4
C ．7
D ．9
5．下列四个命题中，真命题是（ ）
A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0
B ．面积相等的三角形是全等三角形
C ．直角三角形的两个锐角互余
D ．不是对顶角的两个角不相等
6．下列命题中，真命题是（ ）
A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．∠F ＝∠BCF
B ．AE ＝7cm
C ．EF 平分AB
D ．AB ⊥CF 8．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（ ）
A ．图2
B ．图1与图2
C ．图1与图3
D ．图2与图3 9．下列命题中，假命题是（ ）
A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等
10．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )
A ．5:4
B ．5:3
C ．4:3
D ．3:4
11．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．HL
12．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．
A ．AC D
B = B ．A D ∠=∠
C ．B C ∠=∠
D ．AB DC =
二、填空题
13．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．
14．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．
15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．
16．如图，已知ABC 的周长是8，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且3OD =，ABC 的面积是______．
17．如图所示，ABC ≅△AB C ''，20CAC ∠'=︒，BAB ∠'=___度．
18．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．
19．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和
ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．
20．已知△ABC ≌△DEF ，△ABC 的三边分别为3，m ，n ，△DEF 的三边分别为5，p ，q ．若△ABC 的三边均为整数，则m+n+p+q 的最大值为________．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =．
求证：（1）CBA FED ∠=∠；
（2）AM DM =．
22．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．
（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______；
（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______，根据图2证明你的猜想；
（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）
23．如图，已知：AB ＝AD ，BC ＝DE ，AC ＝AE ，试说明：∠1＝∠2．
24．已知：如图，AC＝BD，BD⊥AD于点D，AC⊥BC于点C．求证：∠ABC＝∠BAD．
25．如图，点D，E分别在AB和AC上，DE//BC，点F是AD上一点，FE的延长线交BC延长线BH于点G．
（1）若∠DBE＝40°，∠EBC＝35°，求∠BDE的度数；
（2）求证：∠EGH＞∠ADE；
（3）若点E是AC和FG的中点，△AFE与△CEG全等吗？请说明理由．
26．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B=∠C．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
当EP ⊥BC 时，EP 最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=
12AD ，由AD ＝14，求出即可．
【详解】
解：当EP ⊥BC 时，EP 最短，
∵AB ∥CD ，AD ⊥AB ，
∴AD ⊥CD ，
∵BE 平分∠ABC ，AE ⊥AB ，EP ⊥BC ，
∴EP=EA ，
同理，EP=ED ，
此时，EP=
12AD=12
×14=7， 故选A ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P 点位置并应用角平分线性质求EP 是解题关键． 2．B
解析：B
【分析】
先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：在△ABC 和△ADC 中，
∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABC ≌△ADC （SSS ），
∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA
∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确
在△ABO 与△ADO 中
AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABO ≌△ADO （SAS ），
∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA
∵∠BOA+∠DOA=180°
∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥
故①④正确；
∵AD≠CD
∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误
所以，正确的结论是①②④，共3个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质定理判断A 选项；证明△OPC ≌△OPD 判断B 选项；根据
△OPC ≌△OPD 即可判断C 选项；证明△DPE ≌△CPF 判断D 选项．
【详解】
∵OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，
∴PC=PD ，故A 选项正确；
∵∠ODP=∠OCP=90︒，
又∵OP=OP ，PC=PD ，
∴Rt △OPC ≌Rt △OPD ，
∴OC=OD ，故B 选项正确；
∵△OPC ≌△OPD ，
∴CPO DPO ∠=∠，故C 选项正确；
∵∠PDE=∠PCF=90︒，PD=PC ，∠DPE=∠CPF ，
∴△DPE ≌△CPF ，
∴PE=PF ，
∵PF>PC ，
∴PE>PC ，故D 选项错误；
故选：D ．
【点睛】
此题考查三角形角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
求出DE 的值，代入面积公式得出关于AB 的方程，求出即可．
【详解】
解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12=1
2×AB×DE+
1
2
×AC×DF，
∴24=AB×2+3×2，
∴AB=9，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
5．C
解析：C
【分析】
根据有理数的乘法、全等三角形的概念、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．【详解】
解：A、如果ab＝0，那么a＝0或b＝0或a、b同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、面积相等的三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D、不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．D
解析：D
【分析】
根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．
【详解】
A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误；
B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B选项错误；
C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C选错误；
D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
证明EF ∥BC 即可得到A 正确，证明()Rt ACB Rt FEC HL ≅，得AC ＝EF ＝12cm ，CE ＝BC ＝5cm ，得到B 正确，根据∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°即可证明D 正确．
【详解】
解：∵EF ⊥AC ，∠ACB ＝90°，
∴∠AEF ＝∠ACB ＝90°，
∴EF ∥BC ，
∴∠F ＝∠BCF ，故A 正确；
在Rt ACB 和Rt FEC 中，
CB EC AB FC =⎧⎨=⎩
， ∴()Rt ACB Rt FEC HL ≅，
∴AC ＝EF ＝12cm ，
∵CE ＝BC ＝5cm ，
∴AE ＝AC ﹣CE ＝7cm ．故B 正确；
如图，记AB 与EF 交于点G ，
如果AE ＝CE ，
∵EF ∥BC ，
∴EG 是△ABC 的中位线，
∴EF 平分AB ，
而AE 与CE 不一定相等，
∴不能证明EF 平分AB ，故C 错误；
∵Rt ACB Rt FEC ≅，
∴∠A ＝∠F ，
∴∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°，
∴∠ADC ＝90°，
∴AB ⊥CF ，故D 正确．
∴结论不正确的是C ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． 8．C
【分析】
利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
【详解】
解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，利用作法得AE=AF，AM=AN，则可判断△AMF≌△ANE，所以∠AMD=∠AND，再根据ME=AM-AE=AN-AF=FN，∠MDE=∠NDF可判断△MDE≌△NDF，根据三角形面积公式则可判定D点到AM和AN的距离相等，则可判断AD平分∠BAC．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
9．D
解析：D
【分析】
根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；
B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；
C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；
D、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．B
【分析】
过D 作DF AB ⊥于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式求出ABD 和ACD 的面积，最后求出答案即可.
【详解】
解：过D 点作DF AB ⊥于F ,
∵AD 平分CAB ∠，C 90∠=（即AC BC ⊥），
∴DF CD =，
设DF CD R ==，
在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=， ∴22AB 5AC BC =+=， ∴ABD 115S
AB DF 5R R 222=⨯⨯=⨯⨯=，ACD 113S AC CD 3R R 222=⨯⨯=⨯⨯=， ∴ABD ACD 5S :S R 2⎛⎫= ⎪⎝⎭：3R 5:32⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 故选：B.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF ＝CD 是解此题的关键.
11．D
解析：D
【分析】
直接证明全等三角形，即可确定判断方法.
【详解】
解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，
∴
ABC 与△DCB 均为直角三角形，
又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,
故选：D.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.
12．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．
【详解】
根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，
∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE （由AC=BD 也可以得到），
或任意一组对应角，即∠A=∠D ，∠B=∠C ，
∴选项A 、B 、C 可以判定，选项D 不能判定，
故选：D ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．
二、填空题
13．4【分析】当PC 垂直于OB 时PC 最小根据角平分线的性质可求最小值【详解】解：当PC ⊥OB 时PC 最小∵PC ⊥OB ∴PC=PD=4故答案为：4【点睛】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质能够根据垂线段最
解析：4
【分析】
当PC 垂直于OB 时，PC 最小，根据角平分线的性质可求最小值．
【详解】
解：当PC ⊥OB 时，PC 最小，
∵AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，PC ⊥OB ，
∴PC=PD=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能够根据垂线段最短的性质判断出点C 的位置，并根据角平分线的性质得出PC=PD 是根关键．
14．6【分析】根据CF ∥AB 得到∠DAE=∠FCE 结合AE=CE ∠AED=∠FEC 可得△AED ≌△CEF 根据即可得出结果【详解】解：∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠FCE 又∵AE=CE ∠AED=∠FEC ∴△A
解析：6
【分析】
根据CF ∥AB ，得到∠DAE=∠FCE ，结合AE=CE ，∠AED=∠FEC ，可得△AED ≌△CEF ，AED CEF S S =，根据 ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S =+=+=四边形四边形四边形，即可得出结果．
【详解】
解：∵CF ∥AB ，
∴∠DAE=∠FCE ，
又∵AE=CE ，∠AED=∠FEC ，
∴△AED ≌△CEF ，
∴AED CEF S
S =， ∴26ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S cm =+=+==四边形四边形四边形，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得△AED ≌△CEF ．
15．4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=延长CD 到H 使DH=CD 由线段中点的定义得到AD=BD 根据全等三角形的性质得到AH=BC=4【详解】
∵DC ⊥BC ∴∠BCD=∵∠ACB=∴∠ACD=如图延长CD
解析：4
【分析】
根据垂直的定义得到∠BCD=90︒，延长CD 到H 使DH=CD ，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．
【详解】
∵ DC ⊥BC ，
∴ ∠BCD=90︒，
∵ ∠ACB=120︒，
∴ ∠ACD=30︒，
如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，
∵ D 为 AB 的中点，
∴ AD=BD ，
在 ΔADH 与 ΔBCD 中，
CD DH ADH BDC AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ ΔADH ≅ΔBCD(SAS)，
∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，
∴点A 到CD 的距离为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
16．12【分析】连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3再根据三角形的面积公式求出即可【详解】解：连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F∵OBOC分别平分
解析：12
【分析】
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB， OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OD=3，
∴OE=OD=3，OF=OD=3，
∵△ABC的周长是8，
∴AB+BC+AC=8，
∴△ABC的面积S=S△ABO+S△BCO+S△ACO
=1
2
×AB×OE+
1
2
×BC×OD+
1
2
×AC×OF
=1
2
×AB×3+
1
2
×BC×3+
1
2
×AC×3
=1
2
×3×（AB+BC+AC）
=1
2
×3×8
=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能根据角平分线的性质求出OE=OD=OF=3是解此题的关键．
17．20【分析】根据△得到由此推出得到答案【详解】解：△∴；∵∴故答案为：20【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等熟记性质定理是解题的关键
解析：20
【分析】
根据ABC ≅△AB C ''得到CAB C AB ∠=∠''，由此推出CAC C AB BAB C AB ''∠'+∠=∠'+∠得到答案．
【详解】
解：ABC ∆≅△AB C ''，
∴CAB C AB ∠=∠''；
∵CAC C AB CAB '∠'+∠=∠，BAB C AB C AB '∠'+∠=∠''，
∴CAC C AB BAB C AB ''∠'+∠=∠'+∠，
20CAC BAB ∴∠'=∠'=︒．
故答案为：20．
【点睛】
此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，熟记性质定理是解题的关键． 18．AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理（SASASAAASSSS ）即可得出答案【详解】解：添加条件：AB ＝AC 在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△A
解析：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）
【分析】
根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）即可得出答案．
【详解】
解：添加条件：AB ＝AC ，
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ）；
添加条件：∠B ＝∠C ，
在△ABE 和△ACD 中，
B C A A AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （AAS ）；
添加条件：∠AEB ＝∠ADC ，
在△ABE 和△ACD 中，
AEB ADC AE AD
A A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABE ≌△ACD （ASA ）；
故答案为：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19．【分析】连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到ABACBC的距离都相等（即OE＝OD＝OF）从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3代入求出即
解析：33
【分析】
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【详解】
解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D
∴OE＝OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是22，
∴S△ABC＝1
2×AB×OE＋
1
2
×BC×OD＋
1
2
×AC×OF
＝1
2
×（AB＋BC＋AC）×3
＝1
2
×22×3＝33．
故答案为：33．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．
20．22【分析】由三角形全等性质可得mn中有一边为5pq中有一边为3mn与pq中剩余两边相等再由三角形三边关系可知mn与pq中剩余两边最大为7如此即可得到m+n+p+q的最大值【详解】∵△ABC≌△DE
解析：22
【分析】
由三角形全等性质可得m 、n 中有一边为5，p 、q 中有一边为3，m 、n 与p 、q 中剩余两边相等，再由三角形三边关系可知m 、n 与p 、q 中剩余两边最大为7，如此即可得到m+n+p+q 的最大值．
【详解】
∵△ABC ≌△DEF ，
∴m 、n 中有一边为5，p 、q 中有一边为3，m 、n 与p 、q 中剩余两边相等，
∵3+5=8，
∴两三角形剩余两边最大为7，
∴m+n+p+q 的最大值为：3+5+7+7=22．
【点睛】
本题考查三角形全等与三角形三边关系的综合运用，灵活运用三角形全等的性质及三角形三边关系的应用是解题关键 ．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据HL 定理可得Rt △ABC ≌ Rt △DEF ，从而得到∠CBA=∠FED ；
（2）由（1）所得结论和已知条件可以证得△AEM ≌△DBM ，从而可得AM=DM ．
【详解】
证明：（1）在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒
AC DF AB DE =⎧⎨=⎩
∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△
∴CBA FED ∠=∠．
（2）∵CBA FED ∠=∠
∴ME MB =，且AEM
DBM ∠=∠ 又∵AB DE =
∴AB EB DE EB -=-
即AE DB =
在AEM △和DBM △中
AE DB AEM DBM ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AEM DBM SAS △≌△
∴AM DM =．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理HL 、SAS 及三角形全
等的性质是解题关键．
22．（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β
【分析】
（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=︒；
（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据
OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；
（3）根据（1）与（2）直接得到结论．
【详解】
（1）证明：设AF 交BO 于G ，
∵60AOB DOE ∠=∠=︒，
∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵
OGA FGB ∠=∠，
∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，
∴60AFB AOB ∠=∠=︒， 故答案为：AD BE =，60°；
（2）AD BE =，90°
证明：设AF 交BO 于G ，
∵90AOB DOE ︒∠=∠=，
∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵OGA DGB ∠=∠，
∴90AFB AOB ∠=∠=︒；
故答案为：AD BE =，90°；
（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=
故答案为：AD BE =，β．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
23．详见解析
【分析】
先利用SSS 证明△AB ≌和△ADE ，得到∠B=∠ADE ，根据AB=AD ，证得∠B=∠ADB ，再利用∠1+∠B+∠ADB=180︒，∠2+∠ADB+∠ADE=180︒，即可推出∠1=∠2．
【详解】
在△ABC 和△ADE 中，
AB AD BC DE AC AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△ABC ≌△ADE(SSS)，
∴∠B=∠ADE ，
∵AB=AD ，
∴∠B=∠ADB ，
∵∠1+∠B+∠ADB=180︒，∠2+∠ADB+∠ADE=180︒，
∴∠1=∠2．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
24．详见解析
【分析】
利用HL 证明Rt △ABD ≌Rt △BAC ，即可得到结论．
【详解】
∵BD ⊥AD ，AC ⊥BC ，
∴∠D=∠C=90︒，
在Rt △ABD 和Rt △BAC 中，
AB BA BD AC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABD ≌Rt △BAC （HL ），
∴∠ABC ＝∠BAD ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，根据题中的已知条件确定两个三角形的对应相等的条件，根据全等的判定定理证得这两个三角形全等是解题的关键．
25．（1）∠BDE ＝105°；（2）见解析；（3）全等，理由见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠DEB=∠EBC=35°，再根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的外角性质得出∠EGH ＞∠ABC ，又根据平行线的性质得出
∠ABC=∠ADE ，即可得出答案；
（3）根据全等三角形判定的“SAS”定理即可得到结论．
【详解】
（1）解：∵DE//BC ，∠EBC ＝35°，
∴∠DEB ＝∠EBC ＝35°，
又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE ＝180°，∠DBE ＝40°，
∴∠BDE ＝105°；
（2）证明：∵∠EGH 是△FBG 的外角，
∴∠EGH ＞∠ABC ，
又∵DE//BC ，
∴∠ABC ＝∠ADE ，
∴∠EGH ＞∠ADE ；
（3）全等．
证明：E 是AC 和FG 的中点，
∴AE ＝CE ，FE ＝GE ，
在△AFE 和△CEG 中，
AE CE AEF CEG FE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AFE ≌△CGE （SAS ）．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，全等三角形的判定，三角形内角和定理，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键．
26．见解析
【分析】
通过角平分线上点的性质、D 为BC 中点、DE ⊥AB 、DF ⊥AC 证明出BDE CDF ≌，从而
证明∠B=∠C．
【详解】
∵AD是AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
∵△BDE与△CDF是直角三角形
≌
∴BDE CDF
∴∠B=∠C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线上点的性质，正确证明全等三角形并得出各角之间的关系是本题的关键．。