第一讲 视图与投影(尺规作图)

模块七图形与变换
第一讲视图与投影（尺规作图）知识梳理夯实基础
知识点1：尺规作图
1.尺规作图的工具
没有刻度的直尺和圆规。

2.五种基本的尺规作图
（5）经过一点作已知直线的垂线
尺规作图中的易错之处
1.混淆尺规作图与一般画图.
尺规作图要求只能用无刻度的直尺和圆规来画图,在操作过程中是不允许度量的.而一般画图可以用一切画图工具,包括三角尺、量角器等,在操作过程中可以度量.
2.缺少作图痕迹.
尺规作图一般不要求写步骤,但每一步的作图痕迹都要保留下来,痕迹要清晰.
3.缺少“点睛之笔”.
解答中除了作图之外,最后的答案一定要强调题目所要求作的是哪条线段、哪个角、哪个点或哪个图形
知识点2：投影与视图
1.投影
一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子，这个影子称为物体的投影。

平行投影由平行的光线所形成的投影。

如：物体在太阳光的照射下所形成的影子。

中心投影由一点（点光源）发出的光线所形成的投影。

如：物体在灯泡发出的光的照射
下形成的影子。

2.三视图的概念
一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图。

三视图画法的规律
主视图与俯视图要长对正，主视图与左视图要高平齐，俯视图与左视图要宽相等.
注：看得见的部分的轮廓线要画成 ，看不见的线要画成 。

3.常见几何体的三视图
几何体主视图左视图俯视图
正方体
圆柱
圆锥
主视图从几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图左视图从几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图俯视图
从几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图
球体
长方体
三棱柱
圆台
4.
由三视图确定几何体
由三视图想象几何体时，首先分别根据主视图、左视图、俯视图想象几何体的正面、左侧和底面,然后综合起来考虑整体。

知识点3：几何体的展开与折叠
1.常见几何体的展开图
几何体展开图的特点
图示（选其中一种）
正方体
6个大小相同的正方形
圆柱
2个大小相同的圆和1个矩形
主视图可以分清几何体的长和高，提供正面的形状。

左视图可以分清几何体的高和宽，提供左侧的形状。

俯视图
可以分清几何体的长和宽，提供底面的形状。

圆锥
1个圆和1个扇形
三棱柱
2个全等的三角形和3个矩形
2.正方体展开图的常见类型
（1）“一四一”型
（2）“二三一”型
（3）“二二二”型
（4）“三三”型
3.立体图形的折叠
一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开和折叠是一个互逆的过程。

直击中考胜券在握
1．（2021·四川巴中中考）某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·河北中考）一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（）
A．A代表B．B代表
C．C代表D．B代表
3．（2021·山东日照中考）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（ ）
A．10B．12C．14D．18
4．（2021·四川绵阳中考）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（）
A．2B．3C D
5．（2021·四川德阳中考）图中几何体的三视图是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·山东潍坊中考）如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．主视图B．左视图C．俯视图D．不存在
7．（2021·黑龙江牡丹江中考）如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）
A．6B．3C．4D．5
8．（2021·贵州黔东南中考）由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（）
A ．18
B ．15
C ．12
D ．6
9．（2021·内蒙古呼伦贝尔中考）根据三视图，求出这个几何体的侧面积（ ）
A ．500p
B ．
C ．100p
D ．200p
10．（2021·内蒙古赤峰中考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）
A ．227cm p
B ．248cm p
C ．296cm p
D ．2
36cm p 11．（2021·四川雅安中考）甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（ ）
A ．甲和乙左视图相同，主视图相同
B ．甲和乙左视图不相同，主视图不相同
C．甲和乙左视图相同，主视图不相同D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
12．（2021·辽宁本溪中考）如图，该几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
13．（2021·黑龙江大庆中考）一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）
A．B．C．D．
14．（2021·齐齐哈尔中考）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（）
A．7个B．8个C．9个D．10个
15．（2021·山东菏泽中考）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）
A．12p B．18p C．24p D．30p
16．（2021·四川眉山中考）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（）
A．7.2p B．11.52p C．12p D．13.44p
17．（2021·福建中考）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）
A．B．
C．D．
18．（2021·四川资阳中考）如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
19．（2021·江苏南京中考）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）
A．B．C．D．
20．（2021·山东泰安中考）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
21．（2021·黑龙江佳木斯三模）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的主视图和左视图，这些相同的小正方体的个数最多是（）
A．9个B．10个C．11个D．12个
22．（2021·江苏新吴二模）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（）
A．10p B．15p C．20p D．24p
23．（2021·广东香洲二模）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积是（）
A．B．8C．D．16
24．（2021年浙江省嘉兴市桐乡市中考一模数学试题）如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（）．
A．主视图不变B．俯视图不变
C．左视图改变D．以上三种视图都改变
25．（2021年山西省晋一大联考中考数学模拟试题）如图所示的几何体由6个相同的小正方体搭成，关于该几何体的三种视图，下列说法正确的是（）
A．仅主视图与左视图相同
B．仅主视图与俯视图相同
C．仅左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
26．（恩施州中考）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
27．（宁夏中考）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
28．如图，已知在ABC V 中，90ABC ∠<°，,AB BC BE ¹是AC 边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点,B C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径作弧，相交于点,M N ；②过点,M N 作直线MN ，分别交BC ，BE 于点,D O ；③连结,CO DE ．则下列结论错误的是（ ）
A ．O
B O
C =B ．BO
D COD ∠=∠C ．//D
E AB D ．DB DE
=29．（2021·山东潍坊中考）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O 上任取一点A ，连接AO 并延长交⊙O 于点B ；②以点B 为圆心，BO 为半径作圆弧分别交⊙O 于C ，D 两点；③连接CO ，DO 并延长分别交⊙O 于点E ，F ；④顺次连接BC ，CF ，FA ，AE ，ED ，DB ，得到六边形AFCBDE ．连接AD ，EF ，交于点G ，则下列结论错误的是 ．
A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点D．EF
AB=，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点30．（2021·贵州安顺中考）如图，已知线段6
,A B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．则b的长可能是（）
A．1B．2C．3D．4
∠，用尺规作它的角平分线．
31．（2020·河北中考）如图1，已知ABC
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
∠内部交于点P；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ABC
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（）
A ．a ，b 均无限制
B ．0a >，12b DE >的长
C ．a 有最小限制，b 无限制
D ．0a ³，12
b DE <的长32．（2021·湖南邵阳中考）如图，已知线段AB 长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，大于12
AB 长为半径画弧，两弧分别相交于点E ，F ；②过E ，F 两点作直线，与线段AB 相交于点O ．则AO 的长为______．
33．（2021·天津模拟）小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC ，在距地面2米的A 处有一盏灯，圆桌的影子为DE ，依据题意建立平面直角坐标系，其中D 点坐标为（2,0），则点E 的坐标是_____．
34．（2021沈阳市和平区（二模））如图，在Rt ABC V 中，90,22,C B PQ ∠∠=°=°垂直平分AB ，垂足为Q ，交BC 于点P ．按以下步骤作图：以点A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC ，AB 于点D ，E ；
分别以点D ，E 为圆心，以大于12
DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ；作射线AF ，射线AF 与直线PQ 相交于点G ，则AGQ ∠的度数为__________度．
35．（2021·重庆中考）如图，四边形ABCD 为平行四边形，连接AC ，且2AC AB =．请用尺规完成基本作图：作出BAC ∠的角平分线与BC 交于点E ．连接BD 交AE 于点F ，交AC 于点O ，猜想线段BF 和线段DF 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
36．（2021·内蒙古赤峰市中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，且AC =AD ．
（1）作∠BAC 的平分线，交BC 于点E ；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE ，证明AB DE ^．
37．如图，路灯下，广告标杆AB 的影子是BC ，小明（用线段DE 表示）的影子是EF ，在M 处有一棵树，
它的影子是MN ．
（1）请在图中画出表示树高的线段．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若已知点N 、F 到路灯的底部距离相等，小明身高1.6米，影长EF 为1.8米，树的影长MN 是6米，请计算树的高度．
38．（2021·山东济宁中考）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD A B C D ¢¢¢¢-（图1）．因为在平面AA C C ¢¢中，//CC AA ¢¢，AA ¢与AB 相交于点A ，所以直线AB 与AA ¢所成的BAA ¢∠就是既不相交也不平行的两条直线AB 与CC ¢所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD A B C D ¢¢¢¢-，求既不相交也不平行的两条直线BA ¢与AC 所成角的大小．
（2）如图2，M ，N 是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M 到AB ，BC 的距离分别是2和5，点N 到BD ，BC 的距离分别是4和3，P 是AB 上一动点，求PM PN +的最小值．。