高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.2.1.1 综合法 第1课时 综合法 情境互动课型

例3 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边 分别为a ，b ，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a ， b ， c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形． 分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C；a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2 =ac.A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明 确表示出来是A+B+C=π.此时，如果能把角和边统一 起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系， 进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于 是，可以用余弦定理为工具进行证明.
即 因此
(a c)2 0
a=c
从而有
A=C
⑤
由②③⑤，得
A B C
所以ABC为等边三角形. 3
【提升总结】
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如 把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成 图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含 条件明确表示出来.
【变式练习】
(2015·烟台高二检测)已知a,b,c均为正实数,且
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中， 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD. 因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC， 而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA， 因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD， 且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD，
1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法之一的综合法. （重点） 2.了解综合法的思考过程、特点. （难点）
探究点1 综合法的含义
引例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2 ≥2ac,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
4

1
2
a
2
b
1
（
a

b
2 )
4

a b

1 4

a
2
2
b

(a

b
2
)

于是SABC

1 2
r2r2 r r a b (a b)2
【变式练习】
求证：a2+b2+3≥ab+ 3 (a+b). 【证明】因为a2+b2≥2ab,a2+3≥2 3 a, b2+3≥2 3 b, 将此三式相加得2(a2+b2+3)≥2ab+2 3 a+2 3 b, 所以a2+b2+3≥ab+ 3 (a+b).
abc
abc
故 (1－1)(1－1)(1－1) 8.
abc
1.设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x与y的大小关系
为( A )
A.x>y
B.x=y
C.x<y
D.以上都不对
【解题关键】可以用作差比较法处理.
2. 函数 f (x) ln(ex 1) x ( B )
2
A.是奇函数，但不是偶函数
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、
公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明
的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定
理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2 Q2 Q3
…
Qn Q
【即时训练】
以下命题中,正确的是( B )
【解析】由于{an}为等差数列,所以a3+a9=2a6>0.
S9=
9(a1 a9 ) 2
=9a5<0.
所以S5最小.
6. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60°，
PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． (1)证明：CD⊥AE. (2)证明：PD⊥平面 ABE.
B.是偶函数，但不是奇函数
C.既是奇函数，又是偶函数
D.既不是奇函数，又不是偶函数
3.已知实数a, b满足等式 (1)a (1)b , 下列五个关系式 23
① 0ba
② ab0
③ 0ab
④ ba0
⑤ ab
其中不可能成立的关系式有（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A.综合法是执果索因的逆推法 B.综合法是由因导果的顺推法 C.综合法是因果互推的两头凑法 D.综合法就是举反例
探究点2 利用综合法进行证明
例1:如图所示,△ABC在平面α外,
AB P,BC Q,AC R.
求证:P,Q,R三点共线. A
Q
B C
P R
分析：本例的条件表明，P,Q,R三点既在平面α 内，又在平面ABC内，所以可以利用两个相交平面 的公理证明.
证明：因为AB∩α = P，BC∩α = Q，AC∩α = R
所以P，Q，R ∈α
（1）
P ∈ AB，Q ∈ BC，R ∈ AC.
（2）
由 （ 2） 得 P， Q， R∈ 平 面 ABC
因 此 P， Q， R是 平 面 ABC与 平 面 α 的 公 共 点 .
因为两平面相交有且只有一条交线，所以 P，Q，R三点在平面ABC与平面α 的交线上， 即P，Q，R三点共线.
想到a·b
a
b
cos C和SABC

1 2
a
b
sin C.利用
sin C 1 cos2 C经适当转化就可以获得结论.
rr
证明：因为SABC

1 2
r a
r b
sin C，cos C

a r

b r
，
ab
所以S 2ABC

1 4
2
a
b 2 sin2 C

1
2
a
b 2（1 cos2 C）
2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法
第1课时 综合法
有趣的数学证明引人入胜
推理
合情推理 （或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳 (特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格 证明的工具.
怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今 天，我们就来认识一些基本的证明方法……
证明：由A，B，C成等差数列，有
2B=A+C
①
因 为A，B，C为ABC的 内角 ， 所 以
ABC
②
由①②，得
B
③
3
由a，b，c成等比数列，有
b2 ac
④
由余弦定理及③，可得
b2 a2 c2 2ac cos B a2 c2 ac
再由④，得
a 2 c 2 a c a c 即 （ a c ）2 0
a+b+c=1.
求证：( 1 -1)( 1 -1)( 1 -1)≥8.
a
b
c
【证明】因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,
所以 (1－1)(1－1)(1－1)
abc
＝a b ca a b cb a b cc
a
b
c
＝b c a c a b 2 bc 2 ac 2 ab ＝8.
【即时训练】
平面内有四边形ABCD和点O, OA OC OB OD 则四
边形ABCD为( D )
A.菱形
B.梯形
C.矩形
D.平行四边形
例2 在Δ ABC中,设CB = a,CA = b,求Βιβλιοθήκη 证:S Δ
ABC
=
1 2
|a|2|b|2 -(a·b)2
分析：由条件CB a,CA b,可得ABC中 CB a ,CA b ,角C为向量a与b的夹角.于是可以
4.已知函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则b的值
为0
.
【解析】由于f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
即ax2-bx+c=ax2+bx+c,故-bx=bx,
所以b=0.
5.已知等差数列{an},Sn表示前n项和,a3+a9>0,S9<0,则
S1,S2,S3,…中最小的是___S_5____.
因为PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥AB 又因为AB⊥AD，
PA AD A
所以AB⊥平面PAD 所以AB⊥PD， 又因为AB∩AE＝A， 综上得PD⊥平面ABE.
综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2 Q2 Q3
…
Qn Q
拥有了太多反而是负担。只拥有一块手表的 人知道现在几点，一个拥有两块手表的人却很难 确定现在的准确时间.